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一般矩阵可逆的判定精品资料一般矩阵可逆的判定Good（11统计 数学与统计学院 1111060231）摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。关键字：阶方阵； ； ； ； 0 引言逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。1 矩阵的概念1.0矩阵的定义定义1：令F是一个数域，用F上的个数排成行列的矩阵列，则称为阵，也称为一个F上的矩阵，简记为。1.1逆矩阵的定义定义2：设是数域F上的阶方阵，若数域F上同时存在一个阶方阵,使得则称是的逆矩阵，记作：。2 矩阵可逆的判定2.0矩阵可逆判定的前提对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。内容不一样，但思想是相通的。这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。2.1由定义判定由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵，使得矩阵，那么就可以称矩阵是可逆的，矩阵就是矩阵的逆矩阵。记作：。如果不存在方阵使得，那么就说矩阵是不可逆的。但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。下面通过一个例子来分析。例子1：设存在一个方阵和方阵，如下所示： 解析：从题目可知矩阵和矩阵同时满足可逆的前提条件。但对于矩阵来说，定义无法直接给出矩阵的逆矩阵，因而无法判断是否可逆。但是却可以马上判断出矩阵是可逆的，并且可以马上写出矩阵的逆矩阵，即：2.2矩阵秩的判定定理1：设是数域F上的阶方阵，若可逆，那么。从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。在例子1中，矩阵很明显是满秩。即，即矩阵是可逆的。那么对于矩阵是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵是否是满秩的。经过初等变换，可以得出,那么矩阵也是可逆的。2.3行列式判别法定理2：设是数域F上的阶方阵，若，那么是可逆的。对于例子1中的方阵和方阵，可以求出，那么方阵可逆。对于方阵，要求相对应的行列式的值。通过行列式的性质可将化简。由于，所以通过行列式判断也是可逆的。2.4特征值判别法定理3：设是数域F上的阶方阵，若存在特征向量使得，若特征向量中的任意的一个元素，那么是可逆的。对于例子1中的矩阵有，即：解析：通过求解矩阵的特征值，对于，所以矩阵是可逆的。3 逆矩阵的求解3.1定义法求逆矩阵从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。3.2初等变换求逆矩阵定义3：矩阵的初等变换 对调矩阵中任意两行（列）的位置。 用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。 将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。定义4：若是数域F上可逆的阶方阵，则可以通过初等变换为单位矩阵,在变换的过程中，当转换为时，相应的也转换为。记为：对于例子1中的矩阵，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵的逆矩阵。解析：3.3伴随矩阵求逆矩阵定理4：阶矩阵可逆的充要条件是非奇异,那么，为矩阵的伴随矩阵。定义5：伴随矩阵：,是中的代数余子式。为矩阵的伴随矩阵。定义6：若,则；，其中分析步骤：设阶矩阵是非奇异阵，那么可逆。那么如下所示：根据定义6可知的值为。若,则；若， 例子1中的矩阵通过前面的判别分析可以知道矩阵是可逆的。矩阵是非奇异的。下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵的逆矩阵。求出伴随矩阵。求出矩阵的行列式。根据定理4求出矩阵的逆矩阵验证结论用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的，只不过伴随矩阵的方法比较繁琐，当矩阵的阶数高于3阶时，初等变换法相对较方便。除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方法，比如：分块矩阵求逆矩阵，分解矩阵求逆矩阵，递推法求逆矩阵，特征多项式法等多种方法。这里就不一一介绍这些方法了。在实践中只有最简便的方法，才是最实用的，很多的方法虽然可以求出逆矩阵，但是方法太过复杂，但不能忽略那些思想，也许在某一个领域，这种思想才是最实用的。4 总结在求解一个矩阵的逆矩阵，很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆，甚至有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵，他就不会想到一个矩阵要可逆，最基本的前提：矩阵必须是一个方阵。然而也有很多的人知道这个前提，虽然知道怎么求解一个矩阵的逆矩阵，但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。这样做很多时候只会浪费时间去求一个不可逆的矩阵。本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法，虽然不是很全面，但是对一般矩阵可逆的判断已经足够了。在知道矩阵可逆之后，再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。对于矩阵的逆矩阵求解，本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法，初等变换法，伴随矩阵法，对于不是研究的人员这已经足够了。最后，在面对一个2阶方阵求逆矩阵时，也可以直接套公式，这是伴随矩阵法求二阶逆矩阵的过程，也是较为方便的。参考文献1姚慕生，高等代数学M,上海：复旦大学出版社（第二版），20022张禾瑞，郝炳新，高等代数M,北京：高等教育出版社（第五版），20073同济大学数学系编，线性代数M,北京：高等教育出版社（第五版），2007仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 7 -