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从课堂到奥数7年级

目 录

第1讲 有理数和数轴 2
第2讲 绝对值 5
第3讲 有理数的运算 8
第4讲 奇数与偶数 10
第5讲 代数式 13
第6讲 整式的概念和整式的加减 16
第七讲 一元一次方程的概念和解法 18
第8讲 一元一次方程的应用（1） 20
第9讲 一元一次方程的应用（2） 23
第10讲 立体图形 26
第11讲 几何图形计数 30
第12讲 线段和角 34
第13讲 面积问题和面积方法 37
第14讲 相交线和平行线 41
第15讲 平面直角坐标系 44
第16讲 三角形的概念 47
第17讲 多边形的概念 50
第18讲 一次方程组的概念和解法 53
第19讲 一次方程组的应用 56
第20讲 一次不定方程 59
第21讲 数的整除性 62
第22讲 一元一次不等式（组） 65
第23讲 一元一次不等式（组）的应用 68
第24讲 数据的收集 整理与描述 71
第25讲 探索、猜想与归纳 74

第1讲 有理数和数轴

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1. 正数和负数
自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．
如+5，+78，+2.4等带有正号的数叫正数；正号通常可以省略。如-65，-78，-92.4等带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数。
2．有理数的分类
（1） （2）
3. 数轴
规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴
建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.
数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数.
4．相反数
只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0. 互为相反数的和为0，
在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.

经典例题解析
例1 若a、b互为相反数，c,d互为负倒数, 则(a+b)1996+(cd)323=______
解 因a、b互为相反数，故a+b=0； 因c,d互为负倒数， 故cd = -1，于是
(a+b)1996+(cd)323= 01996+(-1)323= -1
评注 互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，互为负倒数的两数积为-1，解答此类问题要注意从整体考虑。

例2 三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，，b的形式，那么a+3b=
解 由题意知，a与a+b中必有一个等于0，b与中必有一个等于1，
但显然a≠0，故a+b=0，从而=－1，于是b=1，这样就有a=－1，
∴a+3b=2。

例3．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在 ( )
(A)文具店． (B)玩具店．
(C)文具店西边40米． (D)玩具店东-60米．

解 选（A）．
由题意可以画出下图：

因为，向东走了--60米就是向西走了60米．所以，小明从书店向东走了40米，再向西走60米，结果是小明的位置在书店西边20米，也就是文具店的位置，

例4 如下图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数量接近的整数是（ ）
（A） -1 （B） 0 （C） 1 （D） 2

解 选C。
AF的长度为11-（-5）=16， 所以每两个相邻的点之间的距离为，于是C点对应的数为-5+2×=。所以与点C所表示的数量接近的整数是1。
评注：解有关数轴的问题，需要仔细观察点在数轴上的位置，判断点所对应的数的符号，了解不同点所对应的数之间的大小关系和数量关系。

例5数轴上的点A，B，C分别对应数 0，-1，x。 C 与A 的距离大于 C 与B 的距离，则（ ）
（A） x>0 （B） x>-1 （C） x< （D）x<-1
解. C
如图， 因CA>CB, 故点C 在 AB 中点D的左侧，而D所对应的数是，所以x<。

例6 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3。先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合，再让数轴逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数-2006将与圆周上数字 重合。

解 填3
不难看出：数轴上的数中4的倍数，对应于圆周上的数是1；数轴上的数中被4除余3的倍数，对应于圆周上的数是2；数轴上的数中被4除余2的倍数，对应于圆周上的数是3；数轴上的数中被4除余3的倍数，对应于圆周上的数是4。
因为-2006 =-502×4+2， 所以数轴上的数-2006与圆周上的数3相对应。

例7 如果将数轴上的每一点都染成红和蓝两种颜色，求证：必然存在同色的三个点其中一个点是以另两点为端点的线段的中点。
证明：在数轴上取颜色相同的两点A、B，它们对应的数分别为a,b. 不妨设它们都是红色点，且AB=2。下面考虑AB的中点C,它所对应的数为。
若C的颜色是红色的，则题目的结论显然成立；
若C的颜色是蓝色的，那么：
以A为一个端点，B为中点的线段的另一端点D所对应的数为2b-a，
以B为一个端点，A为中点的线段的另一端点E所对应的数为2a-b。
若D或E是红色的 ，则题目的结论显然成立；
若D与E都是蓝色的，则D，C，E同色且C是DE的中点，题目的结论也成立.

例8．如图，数轴上标有2n+1个点，它们对应的整数是-n, -(n-1), …,-2,-1,0,1,2,…,n-1,n
为了确保从这些点中可以任取2006个，而且其中任何两个点之间的距离都不等于4，则n的最小值是 。

解 首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7 。从中可取前4个数0，1，2，3， 其中任何两个点的 距离都不等于4。
又由于这8个点可以分为4组，每组两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4。
因为 2006=4×501+2, 8×501+2=4010
故在n=2005时，2n+1=4011，从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4。
另一方面，如果n≤2004，那么2n+l≤4009．从左到右，每8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点．因此不论怎么取2 006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有2个点的距离为4．
综合上面所说，n的最小值是2005。

第2讲 绝对值
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1．绝对值的定义：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零．即
2．绝对值的几何意义：
在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
3．绝对值的性质：
（1）|ab|=|a|·|b|； |an|=|-a|n； |a-b|=|b-a|
（2）|a|=|b|等价于a=b或a=-b， 即a2=b2
（3）|a-b| 就是数轴上表示数a的与表示数b的两点之间的距离
（4）|a| 是一个非负数。

经典例题解析
例1 计算= 。
解：原式=（－）+（－）－（－）= 0， 故填0。

例2． 已知a,b 互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，则(a+b)x3+x2-cdx可以取得的那个较大的值是 。
解 因a,b 互为相反数，故a+b=0； 因c,d互为倒数，故cd=1；
于是 原式=x2-x
因x的绝对值等于1，故x=±1，
当x=1时，原式=0；当x=－1时，原式=2。
所以，应填2。

例3 a、b是有理数，如果那么对于结论：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）。
（A）只有（1）正确 （B）只有（2）正确
（C）（1），（2）都正确 （D）（1），（2）都不正确
解 当a≥b时，有a-b=a+b.于是 b=0, a≥0
当a<b时，有-（a-b）=a+b. a=0, b≥0
所以a,b两数中一个为0，另外一个是非负数，所以（1）正确，（2）不正确。应选（A）。
评注：去掉绝对值的符号，是处理绝对值问题的基本方法。这就需要探究绝对值符号内的数的正负，分类讨论，往往是必须的。
例4 已知且则S的最大值与最小值的差是 。
解 由知x-2<0, x+2>0 于是，
得
因为 于是，当|x|=0时，S取最大值4；当|x|=2时，S取最小值3．
其差为4-3=1。故填1。

例5 设k是自然数，且ka+b=0，则 等于（ ）
（A） 3 （B） 2 （C） 3+ （D）2-
解 由得 显然k≠0（否则b=0, 代数式无意义），又k是自然数，于是k>0.
所以
(*)
当a>0时，(*)变为

当a<0时，(*)变为

故原式=3，选(A)．

例6 已知(a+b)2+|b+5|=b+5, 且|2a-b-1|=0, 那么ab= .
解 ∵|2a-b-1|=0
∴2a-b-1=0.
∴b=2a-1.
将b=2a-1代入(a+b)2+|b+5|=b+5, 得
(a+2a-1)2+|2a-1+5|=2a-1+5
即(3a-1)2+|2a+4|=2a+4.
(1)当3a-1>0即 ,
∵(3a-1)2>0, |2a+4|>0, 2a+4>0.
∴(3a-1)2+|2a+4|>2a+4, 矛盾：
(2)当3a-1<0即时,
①若2a+4≤0, 则上面等式左边大于0, 右边小于或等于0, 矛盾；
②若2a+4>0,
∵(3a-1)2>0, |2a+4|>0=2a+4,
∴(3a-1)2+|2a+4|>2a+4, 矛盾；
(3)当3a-1=0, 即时, 上式成立.
∴
∴

例7 在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6, 打乱次序后, 将纸片翻过来, 在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数, 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值, 得到6个数, 请你证明: 所得的6个数中至少有两个是相同的.

证明：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3 ,a4 ,a5,a6 ,　反面写的数是b1，b2，b3 ,b4, b5, b6 ,　则6张卡片正面写的数与反面写的数的差的绝对值分别为|a1-b1|，|a２-b２|，|a３-b３|，|a４-b４|，|a5-b5|，|a6-b6|．设这6个数两两不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值.于是
|a1-b1|+|a２-b２|+|a３-b３|+|a４-b４|+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15
是个奇数.
另一方面，|ai-bi|与ai-bi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以
|a1-b1|+|a２-b２|+|a３-b３|+|a４-b４|+|a5-b5|+|a6-b6|
与
（a1-b1）+(a２-b２)+(a３-b３)+(a４-b４)+(a5-b5)+(a6-b6)
= (a1+ a２+ a３+ a４+ a5+ a6)-(b1+ b２+ b３+ b４+ b5+ b6 )
=（1+2+3+4+5）-（1+2+3+4+5）
= 0
的奇偶性相同，是个偶数，矛盾.
所以, |a1-b1|，|a２-b２|，|a３-b３|，|a４-b４|，|a5-b5|，|a6-b6|这6个数中至少有两个是相同的.

例8 某环形道路上顺次排列着四所中学：A1,A2,A3,A4.它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台。为使各校的彩电数相同，允许一些学校向相邻中学调出彩电，问应怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？并求出调出彩电的最少总台数。
解 设A1校调往A2校 x1台（若x1<0，则是A2校调往A1校-x1台，下同），A2校调往A3校 x2台，A3校调往A4校 x3台，A4校调往A1校 x4台。于是有
15- x1+ x4=10， 8- x2+ x1=10，5- x3+ x2=10，12- x4+ x3=10。
从而有 x2= x1-2，x3 = x2 -5= x1-7，x4= x1-5，
调出的彩电总台数为
y=|x1 |+|x2 |+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|,其中-8≤x1≤15。
在数轴上，| x1 |+| x1-7|表示数x1到0和7的距离之和；当0≤x1≤7时，它有最小值7； | x1-2 |+| x1-5|表示数x1到2和5的距离之和；当2≤x1≤5时，它有最小值3。于是当2≤x1≤5时，y有最小值10。
所以调出彩电的最少总台数为10，当x1=2，3，4，5时可以得到四个调运方案：
（1）A1校调往A2校 2台，调往A4校 3台；A4校调往A3校 5台。
（2）A1校调往A2校 3台，调往A4校 2台；A2校调往A3校 1台；A4校调往A3校 4台。
（3）A1校调往A2校 4台，调往A4校 1台；A2校调往A3校 1台；A4校调往A3校 4台。
（4）A1校调往A2校 5台，A2校调往A3校 3台，A4校调往A3校 2台。

第3讲 有理数的运算

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在初中数学学习的开始阶段，由相反意义的量引入了负数的概念，将我们所学习过的数推广到了有理数。
有理数运算是中学数学中一切运算的基础。它不仅要求同学们在理解有理数的有关概念和运算法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算；还要善于根据题目条件，选择合理而又简捷的算法来解决问题，从而提高运算的速度和准确性。

经典例题解析
例1 计算 1-2+3-4+…[phone]= .
解1 原式 =（1-2）+（3-4）+…+（1993-1994）
= （-1）+（-1）+ …+（-1）
= -997
解2 原式=(1+2+3+4+…+1993+1994)-2×(2+4+…+1994)
= (1+2+3+4+…+1993+1994)-4×(1+2+…+997)
=
= 1995×997-1996×997
= -997
评注 在有理数的运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，找出其中的规律，使复杂的问题变得较简单．

例2 计算：=
解 原式:

例3 计算并把结果写成小数：=
解： 原式=
=
= 104÷（99+1）=1.04 .
评注 直接计算比较繁，这里是采用逆用分配律并从整体考虑的方法使计算变得简单。

例4
____
解 设a, = b
原式= = b－a =
评注 解答此题使用的是换元法：将题中某些相同的式子用字母表示，从整体考虑，从而可以减少计算过程的书写量。
例5 有理数的值等于 。
解 原式 = 2006×+
= 2005 +
= 2005 +
= 2005 +
= 2005 +2
=2007
例6 计算：的值为多少？
解： 原式 =

评注 本例使用的方法叫做拆项法的，其目的是使加数中出现一些互为相反数的项，这样便可以相互抵消，这种方法在有理数巧算中是一种很常用的方法．

例7计算2-22-23-24-…-218-219+220= .
解法1 原式=220-219-218-…-24-23-22+2
=219(2-1) -218-…-24-23-22+2
=219 -218-…-24-23-22+2
= 218-…-24-23-22+2
= ……
= 23-22+2
= 22+2
= 6
解法2 设 S = 22+23+24+…+218+219 （1）
则 2S = 23+24+…+218+219+220 （2）
（2）-（1），得：S=220 – 22
2-22-23-24-…-218-219+220=2-S+220=2-220 + 22+220=6
评注 解法2常被称为“错位相减法”，是处理此类问题的常见方法。

例8电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位到k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4,…,按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是 。
解 设k0点表示的有理数为x，则k1, k2,…, k100,点所表示的有理数分别为x-1，x-1+2,x-1+2-3,…, x-1+2-3+4-…-99+100
由题意得x-1+2-3+4-…-99+100=19.94，解得 x=-30.06

第4讲 奇数与偶数

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能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
要注意运用奇数与偶数的下列性质解题：
1．两个整数的和与差有相同的奇偶性；
2．奇数个奇数的和还是奇数，偶数个奇数的和是偶数；
3．当为n偶数时，(-1)n=1; 当为奇数时，(-1)n = -1.
4．两个整数相加，若加数的奇偶性相同，那么它们的和是偶数；加数的奇偶性不同，那么它们的和是奇数。
5．两个整数相乘，若乘数中有一个是偶数，那么乘积是偶数；如果乘数都是奇数，那么乘积是奇数。
6．奇数≠偶数。

经典例题解析

例1．扑克牌中的A，J，Q，K分别表示1，11，12，13。甲取13张红桃，乙取 13张黑桃，分别洗和后甲、乙依次各取个各一张牌，使红、黑牌配成13对。证明这13对数的差的积必为一个偶数。
证法1：由于13张牌中的点数有7个奇数，6个偶数，所以当红、黑牌配成13对后，至少有一对数的奇偶性相同，这对数的差是偶数，于是这13对数的差的积必为一个偶数。
证法2：由于13对数的和是0，所以不可能每对数得差都是奇数，否则它们的和 为一个奇数。于是至少有一对数的差为偶数，即这13对数的差的积必为一个偶数。

例2 某电影院共有1985个座位。某天，这家电影院上下午各演一场电影，看电影的是甲乙两所中学的各1985名学生（同一个学校的学生有的看上午场，有的看下午场），试证明：电影院一定有这样的座位，这天看电影时上，下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。
证明：甲，乙两校看电影的学生都是1985人，电影院的座位也恰是1985.作如下统计：

上午场
下午场
甲校
n个座位
(1985-n) 个座位
乙校
(1985-n)个座位
n个座位

假设每个座位上，下午坐的都是同一学校的学生。对每个学生上午场与下午场人数应相等，则n=1985-n.即 2n=1985.
等式的左边是偶数，而右边是奇数，这个等式不可能成立。所以，至少存在这样一个座位，上，下午坐的是甲，乙不同学校的学生。

例3．设沿江有A1，A2，A3，A4，A5．A6六个码头，相邻两码头间的距离相等．早晨有甲、乙两船从A1出发，各自在这些码头间多次往返运货．傍晚，甲船停泊在A6码头，乙船停泊在A1码头．求证：无论如何，两船的航程总不相等(假定船在相邻两码头航行时，中途不改变航向)．
证明 六个码头把A1到A6这段水路分成5个小段，设每段水路的长为a，由于船在任意一个码头出发，又返回码头时，往返每小段的水路总是相同的，因此，乙船的航程是a的偶数倍．甲船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程，即5a+a的偶数倍=a的奇数倍，a的偶数倍≠a的奇数倍，故甲、乙船的航程总不相等．

例4．你能找到三个整数a,b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗？
如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．
解：找不到满足条件的三个整数理由如下：
如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．
因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数．
不妨设a+b+c为偶数，则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数，同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数。
b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数．
因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．
故不存在三个整数a，b，c满足关系式
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388．

例5．在3×3的表格（1）和（2）中，每格填有“+”号或“-”号， 然后每次将表格中的任意一行或任意一列的各格全部变号，试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变为另一张表？

表（1） 表（2）
解 考察两张表中位于左上角的2×2的小正方形，如下图中的黑框所示：

表（1） 表（2）
表（1）中的小正方形中有4个“+”号，实施变号步骤后，“+”号的个数仍然是偶数；表（2）中的小正方形中有1个“+”号，实施变号步骤后，“+”号的个数仍然是奇数。故它们不能从一个变到另外一个。
显然2×2的小正方形互变无法实现，所以3×3的大正方形的互变也无法实现。

例6． 小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线l, 他发现：这2007个点中的每一个关于直线 l对称点，仍然在这2007个点中。请你说明：这2007个点中至少有一个点在直线l上。
解 假设这2007个点都不在直线l上。
由于其中每个点Ai(i=1,2,…,2007)关于直线 l对称点Ai’仍在这2007个点中，所以Ai’ 也都不在直线l上。
也就是说，不在直线l上的Ai(i=1,2,…,2007)与Ai关于直线 l对称点Ai’成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾。
因此，“这2007个点都不在直线l上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有一个点在直线l上。

例7 设有n个实数：x1,x2,…,xn，其中每一个不是+1，就是-1，且，求证：n是4的倍数。

证明 首先证n为偶数：
因n个实数：x1,x2,…,xn，其中每一个不是+1，就是-1，
所以n个分数：， ，…， ， 中的每一个不是+1，就是-1。
而这n个分数和为0，所以n为偶数，设n=2k ( k为整数) ，则n个分数中有k个+1，k个-1。
其次证k为偶数：
因n个分数的积为••…••=1， 即(+1)k(-1)k=1 , (-1) k =1,所以k 为偶数，从而n=2k为4的倍数。

例8 在15×15的棋盘上放置着15个“车”，彼此互不攻击，它们像“马”一样，各行一步。求证：现在有两个互相攻击。
证明：记下每个车的行号和列号．因为彼此互不攻击，行号像列号那样都是各不相同的，所以，在这30个号中，有16个奇数14个偶数，当车移动一马步
时，它的行号改变1，列号改变2，或行号改变2，列号改变1．这样各行一步后，30个号中的15个保持奇偶性，而剩余的15个改变它们的奇偶性．因此移动后，它们之中有16个奇号14个偶号是不可能的．这就意味着一定有两个车互相攻击．．

第5讲 代数式

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用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母，像-1，0，a，x 也是代数式，这里“用运算符号连结”一般指加、减、乘、除、乘方。
将日常生活的语言转化为数学语言，就是要会列出代数式；另一方面也要理解代数式的含义，会求代数式的值。
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．

经典例题解析
例1 a,b是有理数,
(1) 若a+b=0,则 a,b 互为________.
(2) 若ab=0, 则 a,b 至少________.
(3) 若ab=1, 则 a,b ________.
(4) 若ab>0, 则 a,b ________.
(5) 若a2+b2=0,则 a,b ________.
解 (1) 若a+b=0,则 a,b 互为相反数；
(2) 若ab=0, 则 a,b 至少有一个等于零；
(3) 若ab=1, 则 a,b互为倒数；
(4) 若ab>0, 则 a,b的符号相同；
(5) 若a2+b2=0, 则 a,b都等于零。
评注 用数学语言——代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学一项重要的基本功。要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力。

例2 浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（ ）
（A）（B）（C）（D）
解 浓度为p%的盐水m公斤中含盐m×p%公斤，浓度为q%的盐水n公斤中含盐n×q%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(m×p%+n×q%)公斤，所以浓度是。 故选D。

例3．如图是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形分别是一对长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形．则矩形中未涂阴影部分的面积为（ ）
（A）ab-(a+b)c．（B）ab-(a-b)c．（C）(a-c)(b-c)．（D）(a-c)(b+c)．

解：将图形沿左右、上下平移后，可以得到一个长为(a-c)，宽为 (b-c)的长方形，其面积为(a-c) (b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积。故选 （C）。

例4.．a表示一个两位数，b表示一个四位数，把a放在b的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（ ）
(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b
解．依题意，在这个六位数中，a的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b，选(B)

评注：一个n位自然数的十进制表示法一般形式，是

其中ai是一位数字. 有时也根据需要写成 100a+b （b是两位数）,1000a+b(b是三位数)等形式

例5 民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(b>a)时，所交费用为Q=10b-200(元)．
(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？
(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？
(3)若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，
试用m表示Q．
解 (1)当携带的物品重量b= 35千克时，应交的费用为（元）．
所以小明应交159元．
(2)设小王携带了x千克物品，则
解得
因此，小王携带了30千克物品．
(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则
解得
所以超重部分的质量为即
故所交费用为（元）．

例6. 设多项式，已知当＝0时，；当时，，
则当时，求的值.
解 由题意，当＝0时，=－5，所以d=－5；
当时，=7，即，
所以，
当时，=

例7 如果, 那么的值为 .
解法1 ∵a2+a=1, 于是我们有

解法2 ∵a2=1-a,于是有

评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法, 这两种方法在整式恒等变形中常用.

例8 如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）：先使原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是_________。

解 3n+2
由题意知，正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系是：
①当正半轴上的整数是3的倍数时，对应着圆周上数字0；
②当正半轴上的整数被3除余1时，对应着圆周上数字1；
③当正半轴上的整数被3除余2时，对应着圆周上数字2。
所以数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是3n+2。

第6讲 整式的概念和整式的加减

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整式的概念
1. 单项式与多项式统称整式．
2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式．
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数
3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项．
一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数.
把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列叫做降（或升）幂排列法．

整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。
3. 灵活地去（添）括号
括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉（或添上）“-”号，括号里各项都变号，
若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，

经典例题解析
例1 同时都含有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )．
(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个
解：设满足条件的单项式为的形式，其中m、n、p为自然数，且m+n+p=7．指数m，n，p只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．
所以满足条件的单项式有
总计有15个．故选（D）

例2．在多项式（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n=
解 若与是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。故只有与为同类项，于是m=n-1且n=4m-4,解得：m=5,n=6,于是mn=30

例3 已知有如下一组x, y, 和z的单项式：

我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的次幂，规定x幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再先看y的次幂，规定y幂次高的单项式排在y幂次低的单项式的前面；再先看z的次幂，规定z幂次高的单项式排在z幂次低的单项式的前面。
将这组单项式按上述法则排序，那么，应排在第 位。
解：将这组单项式按上述法则排序，, , , , , , , , ，. 所以应排在第8位

例4．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：
品名
件数
计算器
圆规
三角板
量角器
总钱数
第一次购件数
1
3
4
5
78
第二次购件数
1
5
7
9
98
则4种数学用品各买一件共需__________元.
解 设计算器、圆规、三角板、量角器每件价分别为x,y,z,u元，则有
x+3y+4z+5u=78 (1)
x+5y+7z+9u=98 (2)
(1)×2-(2)得 x+y+z+u=58, 即4种数学用品各买一件共需58元。
例5 已知关于x的整系数二次三项式 ax2+bx+c，当x取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别是1，5，25，50。经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（ ）
（A）x=1时y=1 （B）x=3时y=5 （C）x=6时y=25 （D）x=8时y=50
解 若四式成立,则有:
(3)-(2), 得: 27a+6b=20, 此式左边是3的倍数,而右边不是3的倍数,所以在(2),(3)两式中必有一式错误;,
(4)-(3), 得 8a+2b=25, 此式左边是偶数,而右边不是偶数,所以在(3),(4)两式中也必有一式错误. 所以(3) 式错误.故应选C。
例6 (I) x,y 均为整数, 若 5│(x+9y),求证: 5│(8x+7y).
(II) x,y,z 均为整数,若11│(7x+2y-5z), 求证: 11│(3x-7y+12z).
(注：a|b 表示整数b能被整数a整除)
证明 （I）因为5│(x+9y), 故5│(2x+18y)，又显然5│(10x+25y)，而
8x+7y=(10x+25y)- (2x+18y)，所以 5│(8x+7y).
（II）∵ 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而  11｜11(3x-2y+3z)， 且  11｜(7x+2y-5z)