小学五年级奥数讲义学生版30讲全.doc

五年级奥数第1讲数字迷（一） 第16讲 巧算24第2讲 数字谜(二) 第17讲 位置原则第3讲 定义新运算(一) 第18讲 最大最小第4讲 定义新运算(二) 第19讲 图形的分割与拼接第5讲 数的整除性(一) 第20讲 多边形的面积第6讲 数的整除性(二) 第21讲 用等量代换求面积第7讲 奇偶性（一） 第22 用割补法求面积第8讲 奇偶性（二） 第23讲 列方程解应用题第9讲 奇偶性（三） 第24讲 行程问题（一） 第10讲 质数与合数 第25讲 行程问题（二）第11讲 分解质因数 第26讲 行程问题（三）第12讲 最大公约数与最小公倍数（一） 第27讲 逻辑问题（一） 第13讲最大公约数与最小公倍数（二） 第28讲 逻辑问题（二） 第14讲 余数问题 第29讲 抽屉原理(一) 第15讲 孙子问题与逐步约束法 第30讲 抽屉原理(二) 第1讲 数字谜（一）例1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。例2 将19这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。例4 已知六位数3344是89的倍数，求这个六位数。例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。 FORTY TEN+ TEN SIXTY例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：123456789=2.8。5.将19分别填入下式的中，使等式成立：=3634。6.六位数391是789的倍数，求这个六位数。7.已知六位数7888是83的倍数，求这个六位数。第2讲 数字谜（二） 这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相例2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 8 1 例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。 8 ) 0例4 在内填入适当数字，使小数除法竖式成立。 例4图 例5图例5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式（2），求这个五位数。练习21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出abcd及abcxyz (1)1abcd3=abcd5 (2)7abcxyz=6xyzabc2.用代数方法求解下列竖式： 3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 8 7 . ) .) .) . 8 0 0 0 第3讲 定义新运算（一）例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=ab-a-b。求12*4的值。例2 已知ab表示a的3倍减去b的，例如根据以上的规定，求106的值 3，x=2，求x的值。例6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。 例如 4！=1234。那么1！+2！+3！+100！的个位数字是几？例7 如果m，n表示两个数，那么规定：mn=4n-（m+n）2。 求3（46）12的值。练习31.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3a-b3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）（a+b），试计算：（53）（106）。4.规定ab表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求82的值。5.假定mn表示m的3倍减去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。7.对于任意的两个数P， Q，规定 PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知x（85）=10，求x的值。8.定义： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（43）（2b）。9.已知： 23=234，45=45678，求（44）（33）的值。第4讲 定义新运算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。例2 定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。问：85与58的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有ab=ba，即新运算“”符合交换律？例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。例4 a表示顺时针旋转90，b表示顺时针旋转180，c表示逆时针旋转90，d表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。练习4 2.定义两种运算“”和“”如下：ab表示a，b两数中较小的数的3倍，ab表示a，b两数中较大的数的2.5倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)。4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算mn=（Am-n）4，并且23=0.75。试确定常数A，并计算：（57）（22）（32）。5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240，b表示顺时针旋转120，c表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）； （2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。第5讲 数的整除性（一）1. 整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且 ，则称a能被b整除或者b能整除a，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做b| a.2、性质（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。 整除的数的特征1、 被2整除特征：个位上是0,2,4,6,8 2、 被5整除特征：个位上是5,03、 能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除6、被7整除的数的特征 ：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。7、能被11整除的数的特征 ： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 8、能被13整除的数的特征 ：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断1284322能不能被13整除。 128432+24=128440 12844+04=12844 1284+44=1300 130013=100 所以，1284322能被13整除。 9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差（大数小数）能被7、11、13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断556584能不能被7整除 末三位584 末三位之前的数556， 584-556=28 28能被7整除，所以556584能被7整除10、能被17整除的数的特征: 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。11、能被19整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程例1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被9，25和8整除。例2 由2000个1组成的数11111能否被41和271这两个质数整除？例3 有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？练习51.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？3.173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少4、用16六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字。要求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。这样的六位数有几个？各是多少？5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分，总分A95B,这个班有多少名学生？6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？第6讲 数的整除性（二）特殊的数1001。因为1001=71113，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？例3 已知108971能被13整除，求中的数。例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。例5 如果41位数555999能被7整除，那么中间方格内的数字是几？ 20个 20个判断一个数能否被27或37整除的方法： 对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。例6 判断下列各数能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。 对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。例7 （1）判断18937能否被29整除； （2）判断296416与37289能否被59整除。 练习61.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？ 88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。2.六位数17562是13的倍数。中的数字是几？ 3、已知七位数132A679是7的倍数，求A？ 4、六位数ababab能否被7和13整除？ 5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？ 6、333888能被13整除，求中间中的数？ 20个 20个7.九位数87654321能被21整除，求中间中的数。8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。第7讲 奇偶性（一）整数按照能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。因为（2n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被4整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。 整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例1下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+1997+1998。例2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456789=36。例3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？例4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。例5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？练习71.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？ 第8讲 奇偶性（二）例1用09这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？例3 有m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？例4 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？例5 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？例6 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？练习8 1.在11，111，1111，11111，这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？7.将888件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？第9讲 奇偶性（三）例1 在77的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？例2 对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？例3 下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？ 例4 下图是由14个大小相同的方格组成的图形。能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？例5 在右图的每个中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的中的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？ 例6 下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？练习9 1.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生。一周后，每个学生都必须和他相邻（前、后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？2.房间里有5盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？3.左下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？4.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图）。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17人报名参加。为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打5场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前5名。这种比赛方式是否可行？6.如下图所示，将112顺次排成一圈。如果报出一个数a（在112之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？第10讲 质数与合数自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。例1 1100这100个自然数中有哪些是质数？例2 判断269，437两个数是合数还是质数。例3 判断数1111112111111是质数还是合数？例4 判定298+1和298+3是质数还是合数？例5 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。练习101.现有1，3，5，7四个数字。（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？2.a，b，c都是质数，abc，且ab+c=88，求a，b，c。3.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所有满足要求的质数A。5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。6.判断266+388是不是质数。7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b。第11讲 分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。例如，60=2235， 1998=23337。例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？例3 12340能否被90909整除？例4 求72有多少个不同的约数。例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。练习11 1.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？（2）两个质数的积能是质数吗？（3）两个合数的和仍是合数吗？（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数。7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。第12讲 最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，an的最小公倍数通常用符号a1，a2，an表示，例如8，12=24，6，9，15=90。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？例4 在一个3024的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？ 例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 练习12 1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。3.用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。 第13讲 最大公约数与最小公倍数（二）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）a，b=ab。例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。练习131.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数：部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？ 于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。第14讲