抛物线与特殊三角形简单综合大题教学文稿.doc

1. (2016枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

2. (2016新疆13分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

1． (1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3，直线BC的解析式为y＝x＋3；
(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，如解图，连接AM，
∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC，
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点，
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2，∴M(－1，2)；
(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t1＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t2＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
解得t3＝，t4＝.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：
P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
2． (1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3
(2)证明：由抛物线解析式y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4可得：E(1，－4)，
当x＝0时，y＝－x＋1＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∴，
同理可得CE＝，BE＝2，BC＝3，
在△DBO和△EBC中， ∵ ∴△DBO∽△EBC；
(3)存在，点P的坐标为(1，－1)，(1，－3＋)，(1，－3－)，(1，)或(1，－)．
【解法提示】过点P作PG⊥y轴于点G，连接PC，PB，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，设点P(1，a)，则PG＝1，GC＝|a＋3|，PM＝|a|，PC2＝1＋(a＋3)2，PB2＝a2＋4，BC2＝18，
①当P是等腰三角形顶点时，PC2＝PB2，即1＋(a＋3)2＝4＋a2，解得a＝－1，∴P1(1，－1)；
②当C是等腰三角形顶点时，PC2＝CB2，即1＋(a＋3)2＝18，
解得a1＝－3＋，a2＝－3－，∴P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)；
③当B是等腰三角形顶点时，PB2＝CB2，即4＋a2＝18，
解得a1＝，a2＝－，∴P4(1，)，P5(1，－)．
综上所述，存在点P，使得△PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，－1)，P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)，P4(1，)，P5(1，－)．