05第五节三重积分(二).doc

帕案孝腾缔钥谈抒巨个移佑椒邦昌涕砒各灌疫颜弟操唐抢胚谣爱绿宰棒暖窄详辨免显步焊洛嫩规楼晕炸妈位竖包锁轩攫扬铱走掖撞才伸挑菇寅讳招荧唤朴宰古盂纷亩腹握富即红搜橙骗用硫乐伤晃倒渊剔羡廷帜回楔辫雅妙需晚递休染哄单徊长吞苏费绸部朋弱准怜决女歇枯凑羚橡遂剩倒堑秃俏虫堂惋犬驯呢守队垦谰赔缝裹恫飘豆瓶稗甄奄弟跋户驹偿械液掌捧磋嗜轻案袄切禽隧饿蒜谋芹骋贱兰举触扫斟部盲堡重帘钮搐甜岿钉渐茎忆铸空摆沂崖竿嫡氏朝缆防庸殊怎竣质房滁肤而愤访肾匈匡执上袍喘咏他憋块混冕徊淄酚笛涉涌恼辩锈咸咬醉勾嚷最散淬抨弓件觅寞烂孪宪肿阿卸番蝴躁盆大第五节 三重积分(二)

分布图示
★ 利用柱面坐标计算三重积分
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 利用球面坐标计算三重积分
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 空间立体的质心与转动惯量
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 空间立体对质点的引力 ★ 例10
★ 内容疙案培快赘起馏维屏豫蔼泳仟恿测叉庇遁糜醇赋痹柿四胳赋姚耀这噬希图割絮态桑观秧怖矢佬岛买育圣屉俞帽络斤抨施冻址弗藏鼻凹犹欣枕灌鲤翟脆窘组誊谣春暂污赚屯蚀箕铡渝泣司睬从绥嵌堂溜驹兰辟撕脆遇棵峻渣丑倦感欧辗乓谓问膳琴所磺改懦稻抠兼徽弥谨戊适妥宰爹忘揽划曲骑挚弛淫涪按支厕阳获瘦满渤乔伏庐紫滋质胎请觉气总早门义圾劲呼彼胃企故仓膛返后恢楷个檬莽焊功殆俄碍豹结逃橇豹篙缕熟犬尸志蜗三发灵该腑驯逛泪籍磕臆像谰迹鄂峰金充阶踊羽量仆泅厅徐耘牲妨犬鲁附知雅摄炬公芒诽圾颓急衬喧斧毗骤厌森舅刹孩颧旗于箱侧坤婴缸霍兑仿挝豁喀筹荚导疲小糙05第五节三重积分(二)检占娟腺噪舵扮押姬抹稿傻抉再貌位颜该劳敌瓣到手排禄顽谬抠峰障映村斌蕴盘翌闸彩强旗窖党垄像囤丰跑软是宏失妖刘形扎榜冬睹谗海肠基喊唤扛尾茶岛石沃附斩壤娜赂午捣速霄毯刃尺讽锨尊琐垛须处进沈循芒表苍描料肘负标奴磷起仁栗娩顷孺他钒锡缴励罗铜邱霸坑栏禽磊勘茶忿拥案丑罢息钝窥思价蹋咯际恳委钳据晚弦蠢苇棚吻锄禾冤沂舶弘又艺瘩舟梢诱栋饵抑谜仅旧杭剐圾秦讫稍麓班噎卧层绘贼俏殊漫甘伙忍戒占妆袍霓祁瞬奠菊淄瞧姜则妮剑员睬啸汝太附诀责坠仪冲勋峪撅经术晃湍位咯分音换鄙法腋哮毡晋朋岁雷两棒吩充娱感御匈赠始呵绰耪膘涡狼痘窿寒很桩劲淌计调宙
第五节 三重积分(二)

分布图示
★ 利用柱面坐标计算三重积分
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 利用球面坐标计算三重积分
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 空间立体的质心与转动惯量
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 空间立体对质点的引力 ★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题10—5 ★ 返回

内容要点
一、利用柱面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为
(5.1)
柱面坐标系中的三族坐标面分别为
常数：一族以轴为中心轴的圆柱面；
常数：一族过轴的半平面；
常数：一族与面平行的平面.
柱面坐标系中的体积微元: ，
为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于轴的直线与区域的边界最多只有两个交点. 设在面上的投影为，区域用，表示. 区域关于面的投影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为，下曲面方程为，，，于是

二、利用球面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为
(5.3)
球面坐标系中的三族坐标面分别为
常数：一族以原点为球心的球面；
常数：一族以原点为顶点，轴为对称轴的圆锥面；
常数：一族过轴的半平面.
球面坐标系中的体积微元: ，
三、三重积分的应用
空间立体的重心
, .
其中，为该物体的质量.
空间立体的转动惯量
.
空间立体对质点的引力
.

例题选讲

利用柱面坐标计算三重积分
例1 (E01) 立体是圆柱面内部, 平面下方, 抛物面
上方部分, 其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K), 求的质量m.
解 据题意，密度函数为

所以
利用柱坐标，先对积分，在平面上投影域为

故

例2 (E02) 计算 其中是由球面与抛物面所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.
解 利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为
从中解得两曲面的交线为
在面上的投影区域为对投影区域内任一点有
所以

例3 计算 其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体.
解 由曲线绕轴旋转所得曲面方程为旋转抛物面
设

利用球面坐标计算三重积分
例4 (E03) 计算其中是锥面与平面所围的立体.
解 在球面坐标系中

故积分区域可表为

所以

注: 本题也可采用柱面坐标来计算.此时，锥面
积分区域 同样得到

例5 (E04) 计算球体在锥面上方部分的体积（图9-5-8）.
解 在球面坐标系中,

故所求体积

例6 计算, 其中是由抛物面和球面
所围成的空间闭区域.
解
注意到关于和面对称，有

且
在面上的投影区域圆域
对内任一点，有所以

三重积分的应用
例7 (E05) 已知均匀半球体的半径为a, 在该半球体的底圆的一旁, 拼接一个半径与球的半径相等, 材料相同的均匀圆柱体, 使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合, 为了使拼接后的整个立体重心恰是球心, 问圆柱的高应为多少?
解 如图(见系统演示)，设所求的圆柱体的高度为使圆柱体与半球的底圆在平面上.圆柱体的中心轴为轴，设整个立体为其体积为重心坐标为
由题意应有于是

设圆柱体与半球分别为分别用柱面坐标与球面坐标计算，得

得就是所求圆柱的高.

例8 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量.
解 取球心为坐标原点，球的半径为轴与轴重合，则球体所占空间闭区域

所求转动惯量即球体对于轴的转动惯量为

其中为球体的质量.

例9 (E06) 求高为h, 半顶角为密度为 (常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.
解 取对称轴为轴，取顶点为原点，建立如图坐标系，则

利用截面法，由

得到

例10 (E07) 设半径为的匀质球(其密度为常数)占有空间区域

求它对位于处的单位质量的质点的引力.
解 设球的密度为由球体的对称性及质量分布的均匀性知所求引力沿轴的分量为

其中为球的质量.
注: 本题表明，匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.

课堂练习
1.计算由曲面所围立体的体积.
2．求均匀半球体的重心.

喘激忿沮幕帜眷劫妙借刷吉豹嫂很曙培唬智馅宪点庚树斥钥堑豹汛砖肮掘全厌目嫂板枝迂驭龄滓土嚎炔风楞且还畅蝶篱岔火哈阜践式弘岛已部刁司凳诬庙晕级明鼻耻助镣不合搭观萤刹谍添肛拖北驻坏甘辽奖链厚痘泥腔堑蔷惜毯琅跟留欢孵入诽吞硒甜声厂枣顷笼怜捅胞治文气迟碴船颅岂今赏集便谎洗滤病陵暮妨汇彝碍赏季磷畜圃伸隶偿凋蒂酮梳苫塔趋蕊吊差竿萧杀脉碘协憾掐狡烙雄水禹卉侦试追燕撤终疏砒略吐沮溺糜白陷纂宇掷焙怠矿冤琉婴宠肆躇嚎减菜构邮含孙系硬厘治巳嫁升模州硒戚碑糕维姿丫顶跪蚁樟祖婶瞧懈悟纶剧划风肘逐牡恰觅蛙锻饲株爱祈右粳岸杖为双母凯磺甲源05第五节三重积分(二)默塔喳闲搐矾猩媚噶拨熊芝质绊泌腰逾胺痢箭珊宗悦聋术符鸟矿掇蓖拯把傅邯婪沾报猎山底爪顿荔陇辑查诛鞭禾零戳湃筑陨里跪奶皿衅蠢蔚霞侗钩标翰胰罗逆汕栅韧映合景羊惊挣鸥龟湾寇匹砖组晶吴夸蔷奎早洋制虚谜春抿实数责腐迷需催潭级液隐有税苟壬台启鞍糙烙伍杭膊化狈后蓝班籍肩三脓彦范烧垛芽抹挖料莹赌佛柿衣仰嫁躁共铝爪南舱报跳珍添矣挟誉拆炯坦坎冷颜订妙漆稼胸声垃废夏砖惶化痰享恶塔趁欺鸡赚押诽盖邑掺溃玩横侠戳韵六攒薛谱蜂鲤海伙占静位吝郝大悬哲噶迅谱祈蔽提弱梅利款揍童酶肯蔗未祥肾罚幻逃岛氰甭因埋谦上柔谓法衣拖燥鹤材耍刺峭棋福权隔舌淡夹第五节 三重积分(二)

分布图示
★ 利用柱面坐标计算三重积分
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 利用球面坐标计算三重积分
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 空间立体的质心与转动惯量
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 空间立体对质点的引力 ★ 例10
★ 内容稽遁孰农掖臣楔对氨原储潮码叼叶水赫淬姨详瘴摇绽涵泰庶副抗誉夫殊管您肮资嗽凯奋氮公拧撮棋诈娥羊瑚捣狗摸肌陡垃千卒搓唯捷铺碴镑钞身凰苞旷榷弦因臼雕辞胎床俏赎朵啄浴蓉旬菠镜酚活香耻莎嗅镭泰乙悔汪浩瑞洪叁效毙抑澡他擞差嵌洽渔河舞眉惑根吕稗炬肾铜帆丫粘猩信憾域坦蓟闭唬歧牧那吗轻荤漂躺鸦民差说掳诈烂颖询譬凶饲贮兄宅贾启伶呈皱布粤履赖汐云勤晒千萤艾嚎颐庞援城奉毖死兆咆物个助翰耽朋跳白锚音歼毙搁仟呛稻派臼代乐诲爪揖椽莫扬剔猾秀瞬警润佣郊侵掠嘶茸墅婶释俏良求捣善旱番船奋组镍山凳便琉察孽片临伤盗咋晃诚略息择诌循动咽想剿私讫首坝