2018年广东高考数学-导数教学内容.doc

2018年广东高考数学-导数

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2018年广东高考数学-导数
一、导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x0+）－f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|。
即f（x0）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x0处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：
（1）求函数的增量=f（x0+）－f（x0）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x0)=。
二、导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。
三、几种常见函数的导数
① ② ③; ④;
⑤⑥; ⑦; ⑧.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|x= y＇|u ·u＇|x
五、导数应用
1、单调区间：
一般地，设函数在某个区间可导，
如果，则为增函数；
如果，则为减函数；
如果在某区间内恒有，则为常数；
2、极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3、最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ(x)在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4．定积分
(1)概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式：
＝C； ＝＋C（m∈Q， m≠－1）；
dx＝ln＋C；＝＋C；
＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
(2)定积分的性质
①（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及一条曲线y＝f(x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。
如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。
【经典例题（历年高考题）】
【例1】曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程： 。
【解析】先对函数y=x3-x+3求导，得：y=3x2-1。代入点(1,3)求出斜率，k=2。设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。
【例2】已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A的纵坐标为 。
【解析】抛物线变形为：y=x2。求导y,=x。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点P，Q两点坐标为(4,8)，(-2,2)。得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。
【例3】已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。
(1) 求a，b的值；
(2) 如果当x>0，且x≠1时，f(x)>，求k的取值范围。
b=1
f(x)=1
【解析】(1)f,(x)=由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点(1,1)，
=
f,(1)=
故 即 解得a=1，b=1。

(2)由（1）知，所以。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0].
【例4】已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，。
【解析】由f(x) = 可得，而，即，解得；
（Ⅱ），令可得，
当时，；当时，。
于是在区间内为增函数；在内为减函数。
（Ⅲ），
当时， ，.
当时，要证。
只需证，然后构造函数即可证明。
【例5】已知函数，其中.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ），（），在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.
（Ⅱ）设切点坐标为，则 解得，.
（Ⅲ），则解，得，
所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.
当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.
当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.
当，即时，的最大值为和中较大者；
，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.
综上所述，当时，最大值为，
当时，的最大值为.

【例6】已知函数在处取得极值为
(1)求、b的值；(2)若有极大值28,求在上的最大值。
【解析】(Ⅰ)因 故 由于 在点 处取得极值
故有即 ,化简得解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
令，得当时,故在上为增函数；当 时, 故在 上为减函数 当时，故在 上为增函数。
由此可知在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知得，
此时,因此 上的最小值为。
【例7】设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
【解析】（1）f ' (x)=当a=时令f ' (x)=0解得x=或x=
当x时，f ' (x)>0;当x时，f ' (x)<0;
当x，f ' (x)>0,所以f(x)在x=处取得极大值，在x=处取得极小值。
（2） 若为上的单调函数则f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零，
因为a>0所以Δ=（-2a）2-4a≤0，解得0<a≤1.

【课堂练习】
一、 选择题
1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A B C D 1
2.曲线在点(-1,-1)处的切线方程为（ ）
A y=2x+1 B y=2x-1 C y=-2x-3 D y=-2x-2
3.设函数f(x)=xex,则（ ）
A x=1为f(x)的极大值　 B x=1为f(x)的极小值 　
C x=-1为f(x)的极大值　D x=-1为f(x)的极大值
4.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B. C. D.
5．函数有（ ）
A 极小值－1，极大值1 B 极小值－2，极大值3
C 极小值－2，极大值2 D 极小值－1，极大值3
6.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且，.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）
A B
C 3 D
7.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． D .
8.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A.[-1，+∞] B.（-1，+∞）Ｃ. D.（-∞，-1）

9．已知函数的图像如右图所示（其中是函数，下面四个图象中的图象大致是 （ ）

A B Ｃ D

10.右图中阴影部分的面积是（ ）
A B C D

二、填空题：
11.已知函数的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f(1)—f’(1)=______________.
12.函数在区间上的最小值是 .
13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
14.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则＝2r ，式可以用语言叙述为：
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子：
式可以用语言叙述为： .
三、解答题：
15.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本)。

16.设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.

17.已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

3. 设曲线≥0）在点M（t, ）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值。

19.设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．

20.设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

【课后作业（历年高考题）】
一、选择题
1.函数,已知在时取得极值,则=( )
A 2 B 3 C 4 D 5
2．设，若，则（ ）
A B C D
3．函数是减函数的区间为（ ）
A B C D（0，2）
4.设函数 则（ ）
A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数

5．已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（ ）
A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0
6.设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则( )
A 1 B C D
7． 在区间上的最大值是（ ）
A -2 B 0 C 2 D 4

x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B
8．若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）

9．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A (，)　 B (，2)　C (，)　D (2，3)

10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
二、填空题：
11.曲线在点(1，一3)处的切线方程是 .

12.曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 .

13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 .

14.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ;
函数f(x)在x=1处的导数f′(1)= .

三、解答题：
15.已知函数f(x)= －x3＋3x2＋9x＋a.
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

16.设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。

17.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.

18.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

19．设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

20. 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

【参考答案】
【课堂练习】
一、选择
1—10AADBD DDCCC
(2) 填空
（1） 3 ； 12．； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题
15. 解：每月生产x吨时的利润为

，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
16. 解：(Ⅰ)因为, 所 即当因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

17．解：（1） 求导：
当时，，, 在上递增
当，求得两根为
即在递增, 递减, 递增
（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，
由的图像可知，只需，即, 解得。a≥2。所以，的取值范围。
18.解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为故切线的方程为即。
（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得
所以S（t）==从而
∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=。
19． 解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20.（Ⅰ）解：根据求导法则得
故 于是
列表如下：
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′（x）
-
0
+
F(x)
　　　　↓
极小值F（2）
↑
故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a.
（Ⅱ）证明：由
于是由上表知，对一切
从而当
所以当
故当
【课后作业】
一、 选择
1-10 DBDAB ACABD
一、 填空
11. ； 12. ；13. 32；14. 2 , -2 .
三、解答题
15. 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
16.解（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
一、 解：(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,
∴即解得b=c=-3。故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,
(Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,
当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-<x<1+时, (x)<0
∴f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.
18.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.
故长方体的体积为
从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，
因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
19．解：（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，对一切都成立，
即对一切都成立．令，，则
由，可知在上单调递减，
所以， 故a的取值范围是
（2）当时，抛物线的对称轴为，
当a<0时，，有h(0)= -6<0, 所以h(x)在上单调递减，h(x) <0恒成立；
当a>0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a≤;综上，的取值范围为．
20.解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞,－m)
－m
(－m,)

(,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)

极大值

极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

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