上海市2012-2013度第一学期期末考试青浦区高三数学质量抽查考试上课讲义.doc

上海市2012-2013学年度第一学期期末考试青浦区高三数学质量抽查考试

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青浦区2012学年第一学期高三年级期终学习质量调研测试
　　　　　　数学试题　　　Q.2013.01.18
（满分150分，答题时间120分钟）
学生注意：
1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
3． 可使用符合规定的计算器答题．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合，且，则实数的取值范围是____________．
2．函数的反函数________________．
3．抛物线的焦点坐标是_______________．
4．若，则化简后的最后结果等于____ _______．
5．已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积 ．
6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．
7．在中，，，则
．
8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．
9．如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 ．
10．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 ．
11．已知与()．直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 ．
12．已知满足对任意都有成立，则的取值范围是___ ____．
13．正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．
14．设，且满足，则
．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………………………………………………（ ）．
. . .
16．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是………………………（ ）．
.逆命题为“单调函数不是周期函数”  　　否命题为“周期函数是单调函数”
.逆否命题为“单调函数是周期函数”  　. 以上三者都不对
17．已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是………………………………………………………………………………（ ）．
. 　 . .
18．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………………………………（ ）．
.恒为正数 恒为负数 .恒为0 .可正可负
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱的长为8，且垂直于底面，点分别是的中点．求
（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥的表面积.

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知数列满足．
（1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知，，满足．
（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若对所有恒成立，且，求的取值范围．

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点，交直线于点．
（1）若为的中点，求证:；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

青浦区2012学年第一学期高三年级期终数学参考解答　　　　　　
（满分150分，答题时间120分钟）Q.2013.01.18
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．；2．；3．；4．2；5．；6．；7．；
8．；9．；10．；11．1；12．；13．；14．-3．
1．已知集合，且，则实数的取值范围______．
2．函数的反函数．
3．抛物线的焦点坐标是____ ．
4．若，则化简后的最后结果等于_____2 ．
5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积 ．
6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．
7．在中，，，则
．
8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．．
9．如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 ．
10．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 ．
11．已知与()．直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 1 ．
12．已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____ ．
13．正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形
，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．

14．设且满足，则_____ ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………………………（ ）．
. . .
16．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是…………………………（ D ）．
.逆命题为“单调函数不是周期函数”  　　否命题为“周期函数是单调函数”
.逆否命题为“单调函数是周期函数”  　. 以上三者都不对
17．已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是……………………………………………………………………………（ ）．
. 　 . .
18．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………………………………（ A ）．
.恒为正数 恒为负数 .恒为0 .可正可负
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图已知四棱锥中的底面是边长为6的正方形，侧棱的长为8，且垂直于底面，点分别是的中点．求
（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥的表面积.
（1）解法 一：连结，可证∥，
直线与所成角等于直线与所成角． …………………………2分
因为垂直于底面,所以,
点分别是的中点,
在中,,,
,…………………………4分
即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分
解法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，， …………………………2分
直线与所成角为，向量的夹角为
…………………………4分
又，，
即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分
（说明：两种方法难度相当）
(2) 因为垂直于底面,所以，即≌
，同理≌…………8分
底面四边形是边长为6的正方形，所以
又

所以四棱锥的表面积是144 …………………………………………12分
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知数列满足．
（1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1），……2分
为等差数列．又，．……………………………………………4分
．………………………………………………………………………6分
（2）设，则
3．
．…………………10分
．
． …………………………14分
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知，，满足．
（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若对所有恒成立，且，求的取值范围．
解：（I）由得 …………………………2分
即……………4分
所以，其最小正周期为． …………………………6分
（II）因为对所有恒成立
所以，且 ………………………………8分
因为为三角形内角，所以，所以． ………………………………9分
由正弦定理得，，
……………………………………12分
，，
所以的取值范围为 ………………………………………………14分

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点，交直线于点．
（1）若为的中点，求证：；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．
解：（1）解法一：设
………………………2分
，………………4分
又………………………7分
解法二（点差法）：设
，
两式相减得
即……………………………………………………3分

………………………………………………………………………7分
（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．………………………9分
证法一：由方程组
……………………………………………………………………………………………10分
因为直线交椭圆于两点，
所以，即，设、、
则 ，……………………12分
又因为，所以
，故E为CD的中点．……………………………14分
证法二：设
则，
两式相减得
即………………………………………………………9分
又，即 ……………………………………………………12分

得，即为的中点．……………………………14分
（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．…………………16分

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
① ………………………………………………………2分
又，
用代替得③ ……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分
（2）当时，
；……10分
（3）当时，
…………………12分
显然时，函数在区间上不是单调函数 …………………13分
又时，是增函数，
此时……………………………………14分
若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有
， ………………………………………………………16分
解得 ． ………………………………………………………18分

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