2020版高考数学大一轮复习-题分类汇编全集(含解析)讲课教案.doc

2020版高考数学大一轮复习-2019年题分类汇编全集(含解析)

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2020版高考数学大一轮复习
第一章集合与常用逻辑用语
第1讲 集合及其运算

[基础达标]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为集合A和集合B有共同元素2，4，所以A∩B＝{2，4}，所以A∩B中元素的个数为2.
2．(2019·温州十五校联合体联考)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　)
A．(－∞，1] B．(0，1]
C．[1，e] D．(0，e]
解析：选A.因为A＝＝，
B＝＝，
所以A∪B＝(－∞，1]，故选A.
3．(2019·宁波高考模拟)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(∁UB)＝{1，3，5}，则B＝(　　)
A．{2，4，6} B．{1，3，5}
C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}
解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁UB)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.
4．(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.
5．(2019·宜春中学、新余一中联考) 已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}
C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}
解析：选C.由x2－5x－6<0，
解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．
由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．
又图中阴影部分表示的集合为(∁RB)∩A，
因为∁RB＝{x|x≥0}，
所以(∁RB)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.
6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)
C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选B.因为A∩B有4个子集，
所以A∩B中有2个不同的元素，
所以a∈A，所以a2－3a<0，
解得0<a<3且a≠1，
即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.
7．设U＝{x∈N*|x＜9}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{1，2，3} B．{4，5，6}
C．{6，7，8} D．{4，5，6，7，8}
解析：选B.因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，
所以(∁UA)∩B＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.
8．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝(　　)
A．{－1，2，3，5} B．{－1，2，3}
C．{5，－1，2} D．{2，3，5}
解析：选A.由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当时，此时不符合题意，舍去．
9．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为(　　)
A．147 B．140
C．130 D．117
解析：选B.由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.
10．(2019·温州质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D.因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.
所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，
所以∁UB＝{x|x>a}．
因为∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D.
11．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
解析：根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.
答案：4
12．(2019·宁波效实中学模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁UB)＝________．
解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B＝[－1，4)，A∩(∁UB)＝[－1，2]．
答案：[－1，4)　[－1，2]
13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B＝________，A∩(∁RB)＝________．
解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁RB)＝{－1，2}．
答案：{x|x<－2或x>4}　{－1，2}
14．(2019·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．
解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．
答案：(3，＋∞)　(－∞，3]
15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．
解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.
答案：3　4
16．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁UB)＝{2，4}，则B＝________．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
由∁U(A∪B)＝{1，3}，
得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，
由A∩(∁UB)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁UB.
所以B＝{5，6，7，8，9}．
答案：{5，6，7，8，9}
17．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}，若C∩A＝C，则a的取值范围是________．
解析：因为C∩A＝C，所以C⊆A.
①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－；
②当C≠∅时，要使C⊆A，则
解得－<a≤－1.
综上，可得a的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
[能力提升]
1．(2019·金华东阳二中高三调研)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是(　　)
A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝R
C．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A
解析：选D.因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>4}，
所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.
2．集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，则∁U(A∩B)＝(　　)
A．{x|x＜－1或x≥1} B．{x|1≤x≤3或x＜－1}
C．{x|x≤－1或x＞1} D．{x|1＜x≤3或x≤－1}
解析：选B.集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以U＝A∪B＝{x|x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1≤x＜1}；
所以∁U(A∩B)＝{x|1≤x≤3或x＜－1}．
故选B.
3．(2019·浙江新高考联盟联考)已知集合A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________，∁AB＝________．
解析：由题意，当m＝2时，A＝{1，2，}，B＝{1，2}，满足B⊆A；当＝m，即m＝0或1时，若m＝0，则A＝{1，2，0}，B＝{1，0}，满足B⊆A.若m＝1，则A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m＝1舍去．当m＝2时，∁AB＝{}；当m＝0时，∁AB＝{2}．
答案：0或2　{2}或{}
4．函数g(x)＝其中P，M为实数集R的两个非空子集，规定f(P)＝{y|y＝g(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝g(x)，x∈M}．给出下列四个命题：
①若P∩M＝∅，则f(P)∩f(M)＝∅；
②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M)≠∅；
③若P∪M＝R，则f(P)∪f(M)＝R；
④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R.
其中命题不正确的有________．
解析：①若P＝{1}，M＝{－1}，则f(P)＝{1}，f(M)＝{1}，则f(P)∩f(M)≠∅，故①错．
②若P＝{1，2}，M＝{1}，则f(P)＝{1，2}，f(M)＝{－1}，则f(P)∩f(M)＝∅.故②错．
③若P＝{非负实数}，M＝{负实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{正实数}，
则f(P)∪f(M)≠R，故③错．
④若P＝{非负实数}，M＝{正实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{负实数}，
则f(P)∪f(M)＝R，故④错．
答案：①②③④
5．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，求A∩B.
解：不等式<2x<8的解为－3<x<3，
所以B＝(－3，3)．
若x∈A∩B，则，
所以[x]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.
若[x]≤－2，则x2＝3＋2[x]<0，没有实数解；若[x]＝－1，则x2＝1，得x＝－1；
若[x]＝0，则x2＝3，没有符合条件的解；
若[x]＝1，则x2＝5，没有符合条件的解；
若[x]＝2，则x2＝7，有一个符合条件的解，x＝.
因此，A∩B＝.
6．已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，
则A∪B＝{x|－2<x<3}．
(2)由A⊆B知
得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m<1－m，即m<时，需或
得0≤m<或∅，即0≤m<.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．

2020版高考数学大一轮复习
第一章集合与常用逻辑用语

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

[基础达标]
1．下列命题是真命题的是(　　)
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2
解析：选A.由＝得x＝y，A正确；由x2＝1得x＝±1，B错误；
由x＝y，，不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.
2．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是(　　)
A．若x≤0，则x≤1 B．若x≤0，则x＞1
C．若x＞0，则x≤1 D．若x＜0，则x＜1
解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.
3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D.特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0 ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0 a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
4．(2019·金华市东阳二中高三调研)若“0<x<1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，0]
B．(－1，0)
C．(－∞，0]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
解析：选A.由(x－a)[x－(a＋2)]≤0得a≤x≤a＋2，
要使“0<x<1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则，所以－1≤a≤0.
5．(2019·杭州中学高三月考)已知a，b∈R，条件p：“a>b”，条件q：“2a>2b－1”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立．
但由条件q：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A.
6．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．|a|＋|b|≥4
B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2
D．b<－4
解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.
7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，则＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C.
9．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)
A．p：x＝1，q：x2＝x
B．p：|a|>|b|，q：a2>b2
C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab
D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是a<b，c>d，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.
11．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
答案：2
12．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案：m＝－2
13已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
因为β：|x－1|<1，所以0<x<2，
所以β可看作集合B＝{x|0<x<2}．
又因为α是β的必要不充分条件．
所以BA，所以a≤0.
答案：(－∞，0]
14．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要)．
解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；又直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
16．已知p：≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：法一：由≤2，得－2≤x≤10，
所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
1－m≤x≤1＋m(m>0)，
所以綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以BA，
所以且不能同时取得等号．
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
法二：因为綈p是綈q的必要而不充分条件，
所以q是p的必要而不充分条件．
即p是q的充分而不必要条件，
因为q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
所以p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分而不必要条件知NM，
所以且不能同时取等号，解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
17．给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②
[能力提升]
1．(2017·高考天津卷)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，
sin θ＜⇔θ∈，k∈Z，
，k∈Z，
所以“＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件．
2．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析：因为A＝＝{x|－1<x<3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
所以AB，所以m＋1>3，即m>2.
答案：m＞2
3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：
因为a＋b<0，所以a<－b，b<－a.
又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，因此f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，所以否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.
真命题，可通过证明原命题为真来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
4．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解：因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以
解得m∈.
因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以
所以m为4的约数．
又因为m∈，
所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
5．已知p：x2－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0.
(1)是否存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数a，使p是q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：因为p：3≤x≤4，q：a≤x≤a＋1.
(1)因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以綈p⇒綈q，且綈q 綈p，所以q⇒p，且p q，
即q是p的充分不必要条件，
故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}，
所以或无解，
所以不存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件．
(2)若p是q的充要条件，则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x≤4}，所以
解得a＝3.
故存在实数a＝3，使p是q的充要条件．
2020版高考数学大一轮复习
第二章函数概念与基本初等函数
第1讲 函数及其表示

[基础达标]
1．函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是(　　)
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选C.由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.
2．(2019·嘉兴一模)已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为(　　)
A．2a B．a
C．2 D．a或2
解析：选B.因为函数f(x)＝
所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
3．下列哪个函数与y＝x相等(　　)
A．y＝ B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
解析：选D.y＝x的定义域为R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.
4．(2019·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x3＋cos＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．－2
解析：选B.因为函数f(x)＝x3＋cos＋1，
所以f(x)＝x3＋sin x＋1，
因为f(a)＝2，所以f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，
所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.
5．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由已知可得M＝N，
故⇒
所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.
6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
解析：选D.取特殊值法．
取x＝0，，可得f(0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，
所以选项A错误；
取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，
所以选项B错误；
取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，这与函数的定义矛盾，
所以选项C错误；
取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．
7．已知f＝，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
解析：选C.令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C.
8．设函数f(x)＝
则(a≠b)的值为(　　)
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析：选C.若a－b＞0，即a＞b，则f(a－b)＝－1，
则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)；
若a－b＜0，即a＜b，则f(a－b)＝1，
则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．综上，选C.
9．(2019·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选D.因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.
10．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x＞0时，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
11. 若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．　

解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝
答案：f(x)＝
12．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．
解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4， ①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2， ②
联立①②得f(1)＝2.
答案：2
13．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

x
1
2
3
f(x)
1
3
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1

则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．
解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1　2
14．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是________．
解析：f(x)≥1等价于或
由得x≤－2或0≤x＜1.
由得1≤x≤10.
综上所述，x的取值范围是x≤－2或0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
15．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，
此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
答案：－
16．(2019·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．
解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4，
所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－；
因为当x≤1时，f(x)＝x2，
由二次函数可知当x＝0时，函数取最小值0；
当x>1时，f(x)＝x＋－6，
由基本不等式可得f(x)＝x＋－6≥2－6
＝2－6，
当且仅当x＝即x＝时取到等号，即此时函数取最小值2－6；
因为2－6<0，所以f(x)的最小值为2－6.
答案：－　2－6
17．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[能力提升]
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
2．(2019·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
解析：①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈∅；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．
答案：①④
3．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．

解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1，
所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：

4．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积 y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．

解：如图，

因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，
即0<x<，因为∠ABC＝120°，所以∠A＝60°，
所以AE＝DF＝，BE＝x，
y＝(BC＋AD)·BE＝
＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)
＝－＋a2，
故当x＝时，y有最大值a2，它的定义域为，值域为.
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(