1、高中数学导数与应用知识点汇总精品文档导数知识点归纳及其应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f(x)或y|。即f(x)=。说明:(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
2、求函数的增量=f(x+)f(x); 求平均变化率=; 取极限,得导数f(x)=。例:设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .解析: f( 0)=02导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率是f(x)。相应地,切线方程为yy=f/(x)(xx)。例:在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0解析:切线的斜率为又切线的倾斜角小于,即故解得:故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时
3、刻t的瞬间速度v=(t)。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v(t)。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( )stOAstOstOstOBCD答:A。练习:已知质点M按规律做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)。(1) 当t=2,时,求;(2) 当t=2,时,求;(3) 求质点M在t=2时的瞬时速度。答案:(1)8.02(2)8.002;(3)8二、导数的运算1基本函数的导数公式: (C为常数); ; ; .例1:下列求导运算正确的是 ( )A(x+ B(log2x
4、)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 例2:设f0(x) sinx,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x) fn(x),nN,则f2005(x)( )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx2导数的运算法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
5、的平方:(v0)。例:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析:当x0时,0 ,即 当x0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数且g(3)=0,g(-3)=0,f(-3)g(-3)=0故当时,f(x)g(x)0,又f(x)g(x)是奇函数,当x0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0故当时,f(x)g(x)0故选D3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合
6、函数求导步骤:分解求导回代。法则:y|= y| u|或者.练习:求下列各函数的导数: (1) (2) (3) (4)三、导数的应用1.函数的单调性与导数(1)设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有,则为常数。例:函数是减函数的区间为( )AB C D(0,2) 2极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;例:函数已知时取得极值,则= ( )A2 B3 C4 D53最值:在区间a,b上连续的函数f在a,b上必有最大值
7、与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如。求最值步骤:求函数在(a,b)内的极值;求函数在区间端点的值(a)、(b);将函数的各极值与(a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。说明:(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能
8、成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。例:函数在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是 .经典例题选讲例1. 已知函数的图象如图所示(其中 是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是 ( )例2.设恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间。例3. 已知函数的图象过点P(0,2),且在点M处的切线方程为. ()求函数的解析式;()求函数的单调区间.例4. 设函数,已知是奇函数。()求、的值。 ()求的单调区间与极值。例5. 已知f(x)=在x=1,x=时,都取得极值。(1)求a、b的值。(2)若对,都有恒成立,求c的取值范围。例6. 已知是函数的一个极值点,其中,(I)求与的关系
9、式;(II)求的单调区间;(III)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围.例7:(2009天津理20)已知函数其中(1) 当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 当时,求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。参考答案:例1 解析:由函数的图象可知:当时, 0,此时增当时,0,0,此时减当时,0,0,0,此时增,故选C例2.解:若,对恒成立,此时只有一个单调区间,矛盾若, ,也只有一个单
10、调区间,矛盾若 ,此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和,单调增区间为例3 .解:()由的图象经过P(0,2),知d=2,所以由在处的切线方程是,知故所求的解析式是 ()解得 当当故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.例4. 解:(),。从而是 一个奇函数,所以得,由奇函数定义得;()由()知,从而,由此可知,和是函数是单调递增区间;是函数是单调递减区间;在时,取得极大值,极大值为,在时,取得极小值,极小值为。例5. 解:(1)由题意f/(x)=的两个根分别为1和 由韦达定理,得:1=, 则,(2)由(1),有f(x)=,f/(x)= 当时,当时,当时,当时,有极大值, 当,的最大值为 对
11、,都有恒成立, 解得或例6.解:(I)因为是函数的一个极值点,所以,即,所以(II)由(I)知,=当时,有,当变化时,与的变化如下表:100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减.(III)由已知得,即又所以即设,其函数开口向上,由题意知式恒成立,所以解之得 又 所以 即的取值范围为例7.解:(I)(II) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论。(1),则.当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2),则,当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值光临,Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢!希望您提出您宝贵的意见,你的意见是我进步的动力。赠语; 1、如果我们做与不做都会有人笑,如果做不好与做得好还会有人笑,那么我们索性就做得更好,来给人笑吧! 2、现在你不玩命的学,以后命玩你。3、我不知道年少轻狂,我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶;应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近?那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景,是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力,而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。收集于网络,如有侵权请联系管理员删除