高考数学数列题型专题汇总教学文稿.doc

高考数学数列题型专题汇总

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高考数学数列题型专题汇总
一、选择题
1、已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B

2、已知等差数列前9项的和为27，，则
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
【答案】C

3、定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
【答案】C

4、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，
，（）.
若

A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
【答案】A

二、填空题
1、已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..
【答案】6

2、无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.
【答案】4
3、设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 .
【答案】

4、设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .
【答案】

三、解答题
1、设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；
（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.

如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.

2、已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.
【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，
所以，当时，
，
又对也成立，所以．
又因为是等差数列，设公差为，则．
当时，；当时，，
解得，所以数列的通项公式为．
(Ⅱ)由，
于是，
两边同乘以２，得
，
两式相减，得

．

3、若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．
（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．
通过计算，，，，即知不具有性质．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为，所以，，．
于是，又因为，解得．
（2）的公差为，的公比为，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性质．
（3）[证]充分性：
当为常数列时，．
对任意给定的，只要，则由，必有．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设不是常数列，则存在，
使得，而．
下面证明存在满足的，使得，但．
设，取，使得，则
，，故存在使得．
取，因为（），所以，
依此类推，得．
但，即．
所以不具有性质，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．

4、已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中q>0， .
（I）若 成等差数列，求an的通项公式；
(ii)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
解析：（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列，可得，即，则，
由已知,，故 .
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率 .
由解得.
因为，所以.
于是，
故.

5、已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.
(Ⅰ)设，求证：是等差数列；
(Ⅱ)设 ，求证：
【解析】⑴
为定值．
∴为等差数列
⑵（*）
由已知
将代入（*）式得
∴，得证
6、为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1 000项和．
【解析】⑴设　的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵　记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
7、已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II）若 ，求．
【解析】

8、设数列满足，．
（I）证明：，；
（II）若，，证明：，．

（II）任取，由（I）知，对于任意，

，
故

．
从而对于任意，均有

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