大学物理学上册习题解答教学文稿.doc

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大学物理学习题答案
习题一答案
习题一
1.1 简要回答下列问题：
(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？
(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？
(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？
(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？
(5) 和有区别吗？和有区别吗？和各代表什么运动？
(6) 设质点的运动方程为：，，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出，然后根据
及
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
及
你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？
(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？
(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？
(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？
(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，、、三者的大小是否随时间改变？
(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿轴运动，坐标与时间的变化关系为，式中分别以、为单位，试计算：(1)在最初内的位移、平均速度和末的瞬时速度；(2)末到末的平均加速度；(3)末的瞬时加速度。

解：
(1) 最初内的位移为为：
最初内的平均速度为：
时刻的瞬时速度为：
末的瞬时速度为：
(2) 末到末的平均加速度为：
(3) 末的瞬时加速度为：。
1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为，质点出发后，每经过时间，加速度均匀增加。求经过时间后，质点的速度和位移。
解: 由题意知，加速度和时间的关系为

利用，并取积分得
，
再利用，并取积分[设时]得
，
1.4 一质点从位矢为的位置以初速度开始运动，其加速度与时间的关系为.所有的长度以米计，时间以秒计.求：
（1）经过多长时间质点到达轴；
（2）到达轴时的位置。
解：

（1） 当，即时，到达轴。
（2） 时到达轴的位矢为 ：
即质点到达轴时的位置为。

1.5 一质点沿轴运动，其加速度与坐标的关系为，式中为常数，设时刻的质点坐标为、速度为，求质点的速度与坐标的关系。
解：按题意　 　
由此有 ，
即 ，
两边取积分 ，
得
由此给出 ，

1.6 一质点的运动方程为，式中，分别以、为单位。试求：
(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。
解：(1) 速度和加速度分别为： ，
(2) 令，与所给条件比较可知 ，，
所以轨迹方程为：。
1.7 已知质点作直线运动，其速度为，求质点在时间内的路程。
解: 在求解本题中要注意：在时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分。令，解得。由此可知：s时，，； s时，；而s时，，。因而质点在时间内的路程为

。
1.8 在离船的高度为的岸边，一人以恒定的速率收绳，求当船头与岸的水平距离为时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

习题1.8图

两边求微分，则有

船速为

按题意(负号表示绳随时间缩短)，所以船速为

负号表明船速与轴正向反向，船速与有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为

负号表明船的加速度与轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与有关，说明船作变加速运动。

1.9 一质点沿半径为的圆周运动，其角坐标(以弧度计)可用下式表示

其中的单位是秒()试问：(1)在时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？
(2)当等于多少时其总加速度与半径成角 ？
解：(1) 利用 ，，，
得到法向加速度和切向加速度的表达式
，
在时，法向加速度和切向加速度为：
，

(2) 要使总加速度与半径成角，必须有，即
解得 ，此时
1.10 甲乙两船，甲以的速度向东行驶，乙以的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？
解：以地球为参照系，设、分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为
，
根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为

，
即在乙船上看，甲船速度为，方向为东偏北
同理，在甲船上看，乙船速度为，方向为西偏南。
1.11 有一水平飞行的飞机，速率为，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度向前射击。略去空气阻力，
(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；
(2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；
(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？
解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为，而，
消去时间参数，得到轨迹方程为：
（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同）
(2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为，同上可得轨迹方程为
(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用代替，代替，可得 .
1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为，速率为，一艘速率为的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为；快艇截住这条船所需的时间为。

港口
习题1.12图

证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为
和
拦截条件为：
即
所以
，
取最大值的条件为：，由此得到，相应地。
因此的最大值为

取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
。
习题二答案
习题二
2.1 简要回答下列问题：
(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？
(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？
(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？
(4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？
(5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？
(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明.
(9)判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒.
(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？
(11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力)

2.2 质量为质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力（为常数）作用，时质点的速度为，证明：
（1）时刻的速度为；
（2）由0到的时间内经过的距离为；
（3）停止运动前经过的距离为。

证明：
(1) 由 分离变量得 ，积分得
，，
(2)
(3) 质点停止运动时速度为零，即，故有。
2.3一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设时，物体的速度为零，物体在力(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度.
解. 根据质点动量定理,
,

根据牛顿第二定律，
(m/s2)

2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为N（a,b为常数），其中t以秒为单位：
（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
（2）求子弹所受的冲量；
（3）求子弹的质量。
解：
(1)由题意，子弹到枪口时，有, 得
(2)子弹所受的冲量，将代入，得
(3)由动量定理可求得子弹的质量

2.5 一质量为的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为，求质点的动量及到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。
解：质点的动量为

将和分别代入上式，得
，
动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为

2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为，式中的单位是。
（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；
（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度的物体，回答这两个问题。
解：(1)若物体原来静止，则
[]，沿x轴正向，

若物体原来具有初速度，则

于是
同理，
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
令，解得。

2.7 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。

习题2.7图
解：由动量守恒
又 ，
，
如图，船的长度
所以
即船头相对岸边移动

2.8 质量的质点,从静止出发沿轴作直线运动，受力(N)，试求开始内该力作的功。
解
而

所以

2.9 一地下蓄水池，面积为，水深度为，假定水的上表面低于地面的高度是，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?

习题2.9图
解:建坐标如习题2.9图，图中表示水面到地面的距离，表示水深。水的密度为，对于坐标为、厚度为的一层水，其质量，将此层水抽到地面需作功

将蓄水池中的水全部抽到地面需作功

(J)
2.10一炮弹质量为，以速度飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为 ，。
证明：设一块的质量为，则另一块的质量为。利用，有
， ①
又设的速度为，的速度为，则有
②
[动量守恒] ③
联立①、③解得
， ④
联立④、②解得
，于是有
将其代入④式，有

又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当时只能取 。
2.11一质量为的子弹射入置于光滑水平面上质量为并与劲度系数为的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了，求子弹射入前的速度.

习题2.10图
解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度，由动量守恒，

　　　此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，

由两式消去，解出得

2.12质量的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从滑到。在处时，物体速度的大小为。已知圆的半径为，求物体从滑到的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3)用功能原理求。

习题2.11图
解 方法一：当物体滑到与水平成任意角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为

即

注意摩擦力与位移反向，且，因此摩擦力的功为

方法二： 选为研究对象，合外力的功为

考虑到，因而

由于动能增量为，因而按动能定理有
，。

方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以点为重力势能零点。
初始在点时，、
终了在点时，，
由功能原理知：
经比较可知，用功能原理求最简捷。

2.13墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为，物体与桌面间的摩擦因素为，若以恒力将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。

习题2.12图
解：物体水平受力如图，其中，。物体到达最远时，。设此时物体的位移为, 由动能定理有

即
解出
系统的势能为
2.14 一双原子分子的势能函数为

式中为二原子间的距离，试证明：
⑴为分子势能极小时的原子间距；
⑵分子势能的极小值为；
⑶当时，原子间距离为；
证明：（1）当、时，势能有极小值。由

得
所以，即为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，

当时，，所以时，取最小值。
（2）当时，
（3）令，得到
，，

2.15 质量为7.2×10-23kg，速度为6.0×107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×107m/s，求：
⑴粒子B的速率及偏转角；
⑵粒子A的偏转角。

习题2.14图
解：两粒子的碰撞满足动量守恒

写成分量式有

碰撞是弹性碰撞，动能不变：

利用
， ，
，，
可解得
，，。
2.16 平板中央开一小孔，质量为的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡。今在的下方再挂一质量为的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少？

习题2.15图
解：在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即
①
挂上后，则有
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即 ③
联立①、②、③得

2.17 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为时的速率是，它离太阳最远时的速率是，这时它离太阳的距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）
解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴

2.18 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。
参考文献：
[1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。
[2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006年第25卷第2期。
2.19 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。
参考文献：
[1]高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4期。
[2]高炳坤、李复，“惯性系”考(续)，大学物理，2002年第21卷第5期。

习题三答案
习题三
3.1简要回答下列问题：
(1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明.
(2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？
(3) 平行于轴的力对轴的力矩一定为零，垂直于轴的力对轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？
(4) 如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？
(5) 两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？
(6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能只与外力矩有关，而与内力矩无关？
(7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；(f)力；(g)力矩.
(8) 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？
(9) 一人坐在角速度为的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为，飞轮的转动惯量为。

3.2质量为长为的均质杆，可以绕过端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？

习题3.1图

解：(1)绕B点的力矩由重力产生，设杆的线密度为，，则绕B点的力矩为

杆绕B点的转动惯量为
角加速度为
(2)杆的质心加速度为

3.3 如图所示，两物体1和2的质量分别为与，滑轮的转动惯量为，半径为。
⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度及绳中的张力与
(设绳子与滑轮间无相对滑动)；
⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度及绳中的张力与。

习题3.2图
解：⑴先做受力分析，物体1受到重力和绳的张力，对于滑轮，受到张力和，对于物体2，在水平方向上受到摩擦力和张力，分别列出方程
[]
[]

通过上面三个方程，可分别解出三个未知量
，，
⑵ 在⑴的解答中，取即得
， ，。
3.4 电动机带动一个转动惯量为I=50kg·m2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后达到120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。
解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度为

从而力矩为

3.5 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经0.50s转速达到10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：
⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；
⑵拉力及拉力所作的功；
⑶从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
解：⑴ 飞轮的角加速度为

转过的圈数为

⑵ 飞轮的转动惯量为 ， 所以，拉力的大小为

拉力做功为

⑶从拉动后t=10s时，轮角速度为

轮边缘上一点的速度为

轮边缘上一点的加速度为
。

3.6 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。

习题3.6图
解：设在飞轮接触点上所需要的压力为，则摩擦力为，摩擦力的力矩为，在制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由变化到0，所以由 有

解得。由杆的平衡条件得 。
3.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0N m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg m2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。

习题3.7图
解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能，
即
，
将，，，，代入，得

3.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为的人。圆盘的半径为，转动惯量为，角速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。
解：系统的角动量在整个过程中保持不变。
人在盘边时，角动量为
人走到盘心时角动量为
因此
人在盘边和在盘心时，系统动能分别为
，
系统动能增加
3.9 在半径为，质量为的静止水平圆盘上，站一质量为的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为[]的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为，问圆盘将以多大的角速度旋转？
解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为，则

解得
3.10 如题3.10图示，转台绕中心竖直轴以角速度作匀速转动。转台对该轴的转动惯量=5×10-5 kg·m2。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径=0.1m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为所花的时间。

习题3.10图
解：要使转台角速度变为，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系的转动惯量加倍才行，即 。将和代入得

所以
3.11 一脉冲星质量为1.5×1030kg，半径为20km。自旋转速为2.1 r/s，并且以1.0×10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。
解：脉冲星的转动惯量为
转动动能为
转动动能的变化率为

由，，得停止自旋所需要的时间为

3.12 两滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：⑴系统的总角动量；⑵系统的角速度；⑶两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？
解：⑴设两滑冰运动员拉手后，两人相距为，两人与质心距离分别为和，则
，
两人拉手前系统总角动量为

⑵设两人拉手后系统的角速度为，由于两人拉手后系统角动量不变

所以，
⑶两人拉手前总动能为：
拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为

所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当时，体系能量守恒，否则能量会减小，且

3.13一长=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时
棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与O点的距离为，如图。求：⑴棒开始运动时的角速度；⑵棒的最大偏转角。

习题3.13图
解：系统绕杆的悬挂点的角动量为
子弹射入后，整个系统的转动惯量为
所以
⑵子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为

当杆转至最大偏转角时，系统动能为零，势能的增加量为

由机械能守恒， 得

3.14 通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。
参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的转动惯量，大学物理，2005年第24卷第2期。
3.15 通过上网搜寻，查找对称陀螺规则进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。

习题四参考解答
4.1 惯性系相对惯性系以速度运动。当它们的坐标原点与重合时，。在惯性系中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为
，，
试证：在惯性系中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度运动。
提示：在惯性系中的观测者观测到该质点的轨道方程为
。
证明：根据洛仑兹坐标变换关系
代入原方程中，得到
化简得
所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度运动。

4.2 一观测者测得运动着的米尺长，问此米尺以多大的速度接近观测者？
解：由相对论长度缩短关系
得到

4.3 如题图4.3所示，在系的平面内放置一固有长度为的细杆，该细杆与轴的夹角为。设系相对于系沿轴正向以速率运动，试求在系中测得的细杆的长度和细杆与轴的夹角。

，
题图4.3

解：细杆在系中的两个坐标上的投影分别为
细杆在系中的两个坐标上的投影分别为

在系中细杆的长度为

与X轴正向夹角为

4.4 一飞船以的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若飞船上的钟走了的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？
解：根据相对论中时间延长关系
代入数据，可得

4.5 已知介子束的速度为[为真空中的光速]，其固有平均寿命为，在实验室中看来，介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？
解：根据相对论中时间延长关系
代入数据，可得
因此

4.6 惯性系相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，在惯性系中观测到两个事件同时发生轴上，且其间距是，在系观测到这两个事件的空间间距是，求系中测得的这两个事件的时间间隔。
解：由相对论的同时性的两个等价关系
(1) (2)
联立两式得到

代入(2)式中得到

4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。
证明：令在某个惯性系中两事件满足 ，
则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为),两事件的时间间隔是

由于 ， 且
所以 ，即两事件一定不同时发生。

4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两 个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。
证明(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即，时间间隔为，则在另一个相对运动速度为的惯性系中，两事件的时间间隔为

所以，在原惯性系中时间间隔最短。
证明(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即，时间间隔为，则在另一个相对运动速度为的惯性系中，两事件的时间间隔为

所以，在原惯性系中空间间隔最短。

4.9 若电子和电子均以[为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞行，问两者的相对速度是多少？ [ 答案：]

4.10 一光源在系的原点发出一光线。光线在平面内且与轴的夹角为。设系相对于系沿轴正向以速率运动。试求在系中的观测者观测到此光线与轴的夹角。
解：光线的速度在系中两个速度坐标上的投影分别为
由速度变换关系 ，
则在系中速度的两个投影分别为
，
所以，在系中的观测者观测到此光线与轴的夹角

4.11 如果一观测者测出电子的质量为[为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？
解：由相对论质量关系
而且
得到

4.12 如果将电子由静止加速到 [为真空中的光速] 的速度，需要对它作多少功？速度从加速到，又要作多少功？
解(1) 由相对论动能定理：

因为 ，
代入得到
(2) 将 ， 代入原式

4.13 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它的静止能量？
解(1) 由相对论动量公式
而且
联立两式
(2) 由相对论动能公式
而且
联立两式

4.14 静止质量为的电子具有倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。
[提示：电子的静能为]
解：由总能量公式
而且 (1)
其中 (2)
联立(1)、(2)两式

将(1)式代入动量公式

4.15 一个质量为的静止粒子，衰变为两个静止质量为和的粒子，求这两个粒子的动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系