数学物理方法总复习.doc

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第一章 复变函数
复数的三种表示：
代数表示，三角表示与指数表示
几个初等函数的定义式：

§1.3导数

Cauchy-Riemann方程

§1.4 解析函数
1．定义
若复变函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数在点是否可导？是否解析？
解：，，，
，，，，
由此可见，仅在，u、v可微且满足C-R条件，即仅于点可导，但在点不解析。在其他点不可导，则它在点及整个复平面上处处不解析。

某一点，函数解析可导
某一区域，函数解析可导
2．解析函数的性质
（ⅰ）几何性质
（ⅱ）调和性
（ⅲ）共轭性
例 已知求 看书上例题

§2.1 复变函数的积分

复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同.
§2.2 柯西定理的应用
§2.3 不定积分
§2.4 柯西公式
均属于考试内容！
第三章 幂级数展开

（1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D’ Alember）
引入收敛圆半径： （3.2.3）
（2）根值判别法（柯西判别法）
引入收敛半径： （3.2.6）
§3.3 泰勒级数的展开
2. 其他展开法
可用任何方法展开，只要项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor展开的唯一性）
如利用

; 等等！
例6 将在点邻域展开（）
解：利用有：

例7 在点的邻域展开
解：
§3.5 洛朗（Laurent）级数展开
（1）展开中心z0不一定是函数的奇点；

3展开方法的唯一性

间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用
例2 将函数在内展开为Laurent级数
解：因为内展开，展开形式应为

而
得到：

例3 函数在下列圆环域内都是处处解析的，将在这些区域内展开成Laurent级数
①②③④
解：①
由于从而，利用

可得：

结果中不含负幂次项，原因在于在内解析的。
②由于，从而所以
（）
③所以
于是

④由于可知
展开的级数形式为所以

其他例子 见书

第四章 留数定理（残数，Residue）
4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
本章没重点，但是考点在这节！

第五章 傅里叶变换
§5.1 Fourier级数
（一）周期函数的Fourier展开
若函数f(x)以2l为周期，即 ，则可取三角函数族
（5.1.2）
（其中函数都以2l为周期）
作为基本函数族，将f(x)展开为傅里叶级数

（二） 奇函数和偶函数的Fourier展开
§5.2 Fourier积分与Fourier变换
记住基本的，最重要的公式，能理解即可！

5.3 函数 (又叫狄拉克函数)
函数的性质 （见书）

第六章 Laplace变换
6.3 Laplace变换的应用
本章没重点，但是考点在这节！

第七章 数学物理定解问题

（1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律），将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律）。
（2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性）。
（3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。

【——定解条件：边界条件与初始条件
——物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程
——泛定方程（不带定解条件的数学物理方程）
——定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】

§7.1数学物理方程的导出
——本小结导出的偏微分方程主要分为三类
（ⅰ）以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方程；
齐次方程，
其中，就是振动在弦上传播的速度。上式也称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程）

比如弦在振动过程中还受到外加横向力（与同方向）的作用，引入力密度
（7）修改为
（8）
（7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。

再比如考虑重力，作用在此段上的重力为，则，重力与同向。则有：。

（ⅱ）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程；

， （7.1.25）
如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为
， （7.1.26）

（iii）稳定场问题（Poisson and Laplace equations）
（九）稳定的浓度分布 见P147-148
浓度在空间的分布构成一个标量场，在一般情况下，浓度分布是时间的函数，遵从扩散方程
，
如果扩散源强度不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化，即，则上式变为泊松方程
（7.1.39）
为泊松（Poisson）方程
如果源与汇不存在，则得到Laplace方程：
。 （7.1.40）
为Laplace方程。

§7.2 定解条件
泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任意常数或任意函数，这就使得其解不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件——定解条件来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。
定解条件即是初始条件和边界条件的统称，求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题”。

（一） 初始条件
某时刻，通常取t=0时，作为初始条件。
1. 波动方程的初始条件
初始条件表示如下：
t=0时刻系统中各点“位移”
t=0时刻各点的“速度”

2. 输运方程的初始条件（如浓度温度等）

——没有初始条件的问题 见P154-155

——稳定场方程 无需提初始条件

（二） 边界条件
第一类边界条件
或常数
弦的横振动：如果弦的两端固定，其边界条件为
，。
1. 第二类边界条件
或常数
即u在边界外法线方向上方向导数值.
表示外法线方向的单位矢量。
在一维问题中常以代替。

两端压力/拉力、自由等情况下的边界条件讲解！

——热传导举例
设流入物体内的热流（单位时间通过单位截面积的热量）为f(t),则边界条件为：

流出：则有
具体到细长杆的热传导问题，如一端面x=0流入热流为，另一端(x=l)流出热流为，于是
，
例 考虑长为的均匀杆的导热问题，若
（1）杆的两端温度保持零度；
（2）杆的两端绝热；
(3)杆的一端为恒温零度，另一端绝热；
试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。
解：设杆的温度为u(x,t)则
（1）
（2）因为当沿着杆长方向有热量流动时由Fourier实验定律（2.1.7）有
，
其中q为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换亦即没有热量的流动（q=0），故有

（3）显然，此时有

（三） 定解问题的表述
所谓定解问题，就是根据物理规律，分析问题的性质、条件等导出相应的方程（泛定方程）和应满足的初始条件，边界条件等（定解条件）。

解的适定性：有解，唯一性，稳定性。
§7.4 达朗内尔公式
（又叫行波法，定解问题）
本节只要求掌握：在无界的情况下一维波动方程初值问题的Dalembert公式及其物理意义。
（一）定解问题
我们研究弦、杆、传输线等是“无限长的”，即在不存在边界条件，只存在初始条件。
研究这样的定解问题
或写成
（此为双曲型波动方程，见P164-165）
(二） 求通解

此即一维无界波动方程的d’Alembert公式/解。

例1 求定解问题

解：由d’Alembert公式

数学物理定解的定解问题的求解方法
1. 行波法
2. 分离变量法
3. 幂级数的解法
4. Green函数法
5. 积分变换法
6. 保角变换法
7. 变分法
8. 数值计算法

第八章 分离变数法（Fourier级数法）

——基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程。其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。本征值问题是分离变数法的核心。
——本章仅限于本征函数为三角函数的情况。
主要介绍：一维波动方程、热传导方程和二维稳态场方程的解法。

（8.1）本小节总结
一. 分离变数法的思想、步骤
1.
2. 本征值问题 ==> 本征值 本证函数 本征解
3. 叠加（得到一般解）用初始条件或非齐次边界条件确定系数
二. 本征值问题
（1）见P143介绍部分
（2）
见P147例1
（3）
见P150例2
（4）未讲
（5）
未讲

（6）
三. 研究内容
本节主要研究了齐次方程的定解问题，求本征值问题中用到（且限于）齐次边界条件，具体包括：一维波动和一维热传导（有界，含时），二维稳定场（有界，不含时）

四. 矩形区域内的稳定问题（例3）
叠加原理：（思想）

即
五. （以上所有求解均是在直角坐标系下的讨论）
曲线正交坐标系中的表达式
（1）柱坐标系中：

（2）在平面极坐标系中

重点研究了：

处理了圆域稳定场问题的分离变数法。

（3）在球坐标系中

8.2 非齐次振动方程和输运方程

本节：非齐次振动方程和输运方程的定解问题的解法(仅限于齐次的边界条件)

（一）（Fourier级数法）本征函数法
强迫振动是一个非齐次方程。设弦长为，两端固定。垂直方向受的外力分布为：。起始位移为，初始速度为，则定解问题的表述为：

现用本征函数法求解：
Step（1）：确定本征函数
（要点：根据定解问题确定相应的本征函数）
根据相应的齐次方程在分离变量后（）与相应的齐次边界条件（2）式构成本征值问题

Step（2）：按本征函数展开
将，非齐次项皆按本征函数（4）展开，即：
（5）
（即Fourier系数不是常数，而是t的函数，记为）
（6）
f（x，t）是给定的，故

同理：

要求u，实际就是求。（看（5）式）
Step（3）：求。
将（5）~（8）式代入定解问题有：

用laplace 变换求解此常微分方程（见P120、P122、P128）。
如下：

（利用导数定理：）
又因为：

（又利用卷积定理：P121 ， ）
由卷积定理，对(9)做反演：

将代入（5）式中就得：

【第二部分是齐次方程的解见P184：

第一部分则是由于外力引起的贡献。】

（二）解题思想和步骤（本征函数法）总结
思想：通过引入按本征函数展开的试探解，将非齐次的偏微分方程定解问题的求解，转化为非齐次的常微分方程的求解。
（说明：齐次方程+齐次边界条件也可用Fourier级数法）

（二）冲量定理法

例如，初始条件不为零的两端固定弦的受迫振动，定解问题可表述为：
既可用本征函数法直接求解。也可：则可用叠加原理把它分解为两个定解问题，即
并且uI，uII分别满足：

（8.1节 分离变量法） （冲量定理法）

（冲量定量法的前提：其它定解条件都是齐次的，否则就按叠加原理进行分解。边界条件可为第一、二、三类齐次边界条件。）

冲量定理法要求

下面以受迫振动问题为例讨论冲量定理法：

非齐次项表示作用力（单位长度、单位质量），因此对时间t的累积表示冲量。

…

如：表示在时间内的冲量（阴影面积）。这个冲量使系统的速度有一改变量。因是单位质量受的外力，由，知道表现为速度的改变量。
现在把内速度的改变量认为是在时刻瞬间得到的，而的其余时间则认为没有冲量作用（即没力的作用），故方程应是齐次方程。在时刻集中得到的速度可置于初始条件中。
故在的时间内，满足的定解问题：
易看出，理解为“来不及”产生位移；必含有因子，若设，则上述定解问题变为：

因表示内的解，在从的解应是所有的叠加。当时有：

即把持续作用力看作是所有“瞬时力”引起的振动的叠加。

小结：
冲量定理法物理内涵：把连续的冲量作用视作许多不连续的集中冲量作用（即分解为许多脉冲）。

。。。。。。

的非齐次方程定解问题
的齐次方程定解问题
分离变数法
本征函数法
把解中的更换为,因为这里的时间起点是.

解：应用冲量定理法，变为v的定解问题：

参见P168例2，分离变数法求解齐次方程的定解问题，得到本征解：
所有本征振动的叠加成为一般解，即
再由初始条件定出积分常数为：

于是，
再由（7）式得：
（易看出，此解有共振的性质。当强迫力的频率等于本征频率时，振幅无限大。）

冲量法亦可用于求解非齐次的输运方程
（证明略：可参见书上P212-P213）即有：
“瞬时热源”变为：

求出v后，再由得到u。

例2 （见书P214 例3）（讲简要过程）

解：定解问题转化为：

由本征值问题

再由初始条件定积分常数，

最后：

总之，对齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可直接用分离变量法或用傅里叶级数法；对于非齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可用傅里叶级数法（若初始条件同时为零，可用冲量定理法）；对非齐次边界条件的定解问题，首先要将非齐次边界条件齐次化，然后用傅里叶级数法。

第九章 二阶常微分方程的级数解法与本征值问题
要求解带初始条件的线性二阶常微分方程：

其中，为任意指定点，、为常数。
级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数。
（一）方程的常点和奇点
常点：和在选定的点的邻域中是解析的，则是方程（2）的常点
奇点：如点是或的奇点，则点是方程（2）的奇点
（二）常点邻域上的级数解
把此唯一的解析解表示成点邻域上的Taylor级数形式：
式中为待定系数。
§9.3正则奇点邻域上的级数解法
(一) 奇点邻域上的级数解
见 P195 （略讲）
①
设点是q(z) 或p(z)的奇点，则亦是方程①的奇点。解在点邻域上的展开式不是Taylor级数，而应含有负幂项。

（略去证明）：在点的邻域上，给出的两个线性无关解的级数形式为：
②
③
或 ④
其中、、、、 （k=0,±1,±2,±3…）为待定常数。
可以看出，②、③这两个解均有无穷多的负幂项，难求系数。

如果是正则奇点，则这两个级数解变成有限负幂项。这种解称为正则解。

(二) 正则奇点邻域上的级数解
1）若是方程①的奇点，且最多是的一阶极点，的二阶极点，即
，
（9.3.5）
则称为方程的正则奇点。
2）在的邻域上，方程①的两个线性无关解的级数表达式：（只含有限个负幂项）
②
③
或 ④
其中、是“判定方程”：
的两个根。
且其中系数、、、等由把上述解代入原方程逐个确定。
举例：

第十章 球函数

§7-3 轴对称球函数
球函数方程
（9.1.37）
的解称为球函数。把（9.1.37）进一步分离变数

分解为两个常微分方程
， （9.1.5）
，（） （9.1.11）
（9.1.5）式的解为
（9.1.8）
（9.1.11）式叫做l阶连带勒让德（Legendre）方程。此时球函数分离变量形式的解为

若问题具有轴对称性（指该物理系统绕对称轴旋转时，待求函数不变），若选z轴为对称轴，则Y与无关，与无关，可取，由（9.1.8）式可见，。方程（9.1.11）即简化为勒让德（Legendre）方程（10.1.1），
（10.1.1）
其解为l阶勒让德多项式——轴对称函数，本节即研究这种的特例。
（一） 勒让德多项式
勒让德方程已在§9.2解出，l阶勒让德方程和自然边界条件“解在保持有限”构成本征值问题。本征值是
（l为零或正整数） （9.2.12）
本征函数则是l阶勒让德多项式。
l阶勒让德多项式的具体表达式为
（10.1.4）

勒让德多项式图像见图10-1（P276）。

（二） 勒让德多项式的正交完备性
1. 正交关系

2. 广义傅里叶级数 的完备性
根据施图姆-刘维尔本征问题的性质，勒让德多项式是完备的，可作为广义傅里叶级数展开的基，把定义在x的区间[-1，+1]上的函数或定义在的区间上的函数展开为广义傅里叶级数。
（10.1.18）
或
（10.1.19）

例：以勒让德多项式为基，在上把展开为广义傅里叶级数。
解：中最高出现，
即

比较两边系数，得
解得
所以

（三） 拉普拉斯方程的轴对称定解问题
Laplace方程在球坐标系下分离变数后，得到如下的两个方程
（9.1.2）
（9.1.3）
常微分方程（9.1.2）是欧拉型方程，它可化为

令，即，可化为二阶线性常系数微分方程

其解为
（9.1.4）
偏微分方程（9.1.3）称为球函数方程。若问题具有轴对称性，当把对称轴取作球坐标极轴时，其解与无关，为轴对称球函数——l阶勒让德多项式，所以拉普拉斯方程的轴对称定解问题解的一般形式为
（★）
下面将通过物理实例来进一步说明如何确定（★）式中的各个系数。

Lengendre多项式的性质
当特殊函数成为本征函数时，要注意这时特殊函数具有两重性质：
① 正交关系与完备性等是属于本征函数所固有的性质；（参见S-L本征值问题的共同性质）
② 生成关系（母函数）、递推关系则属于特殊函数所具有的性质。

1) 生成关系（母函数）
设在单位球北极上置一正电荷，则球内某点的静电势为：

①
另一方面，亦应是描述静电场的Laplace方程的解。因轴对称与无关，由P266球坐标下的写为：
②
(其中)
对上式分离变量得：

它们的解分别为： 和。
将各本征解迭加构成②式的一般解形式：
③
先研究球内的静电势：
在点，解应是有限的，故。
即： （合理的解）
且该解应与①式相等，即：

取，则：

有：
定义：如果某个函数可以按某变量的幂级数展开，且展开系数为Lengendre多项式，则该函数称为Lengendre多项式的生成函数/母函数。（故此处：称为的母函数）
再研究球外的静电势：

可知：
即：

如果以半径为R的球代替单位球，则有：
(从三角形三个边的关系看出)
类似的推导如下：
如果，球内的静电势情况有：

当时，

球内

球外的静电势情况：

送人□ 有实用价值□ 装饰□
球外

（1）位置的优越性例6在点电荷的电场中放置接地导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距。求解这个静电场。

图1-2 大学生购买手工艺品可接受价位分布解：取球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，无论是感应电荷产生的电势v，或是总电势u都是绕极轴旋转不变的，所以问题与无关。

2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。在球外，由于有点电荷存在，电势在球外并不处处满足Laplace方程。这个问题可以这样解决：根据电势叠加原理，球外一点的总电势为点电荷电场的电势和感应电荷的电势（待求）之和。即

（1）位置的优越性
而感应电荷的电势在球外满足Laplace方程。
定解问题为
（10.1.59）

3、竞争对手分析在轴对称情况下，（10.1.59）的一般解为

3． www。oh/ov。com/teach/student/shougong/
代入边界后得，

因为，有

比较两边的广义傅里叶系数，得

（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析
所以

500元以上 12 24%
最终解为
（10.1.61）

手工艺制品是我国一种传统文化的象征，它品种多样，方式新颖，制作简单，深受广大学生朋友的喜欢。当今大学生的消费行为表现在追求新颖，追求时尚。追求个性，表现自我的消费趋向：购买行为有较强的感情色彩，比起男生热衷于的网络游戏，极限运动，手工艺制品更得女生的喜欢。10-3节 一般的球函数 也考，自己看书。

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