24.3正多边形和圆上课讲义.doc

24.3正多边形和圆精品文档24.3 正多边形和圆麻城集美学校 曹绪鹍教学目标知识与技能：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形过程与方法：通过对正多边形的学习，掌握正多边形半径、中心角、边心距的计算方法.情感态度与价值观：通过应用正多边形和圆的有关知识画正多边形，培养学生的审美情趣，激发学生的学习热情.教学重点：正多边形和圆内接正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系教学难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系教学时数：四课时教学过程第一课时一、 课前预习：学生预习教材P104106.二、复习引入 请同学们口答下面两个问题 1什么叫正多边形？ 2从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 2正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点三、探索新知如果我们以正多边形的对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆 我们以圆内接正六边形为例证明 如图所示的圆，把O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形 AB=BC=CD=DE=EF AB=BC=CD=DE=EF 又A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD A=B 同理可证：B=C=D=E=F=A 又六边形ABCDEF的顶点都在O上 根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是O的内接正六边形，O是正六边形ABCDEF的外接圆EFCD.中心角半径R边心距rAB 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距四、知识应用例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ， ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.OABCDEFRPr因此,亭子地基的周长l =46=24(m).在RtOPC中,OC=4, PC=利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积补充例题： 例1已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径 因此，所求的正六边形的周长为6a 在RtOAM中，OA=a，AM=AB=a 利用勾股定理，可得边心距 OM=a 所求正六边形的面积=6ABOM=6aa=a2第二课时一、 探究新知120 AOCB用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或30角的三角板度量，使BAO=CAO=30 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形例2利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径解：正五边形的中心角AOB=72，如图，AOC=30，OA=ABsin36=1.5sin362.55（cm） 画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆； （2）在O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA （3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA 则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示二、巩固练习 教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习三、应用拓展 例3在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6 （1）求ABC的边AB上的高h （2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点185的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树 分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题 解：（1）由ABCG=ACBC得h=4.8 （2）h=且DN=x NF= 则S四边形DEFN=x（4.8-x）=-x2+10x =-（x2-x） =- （x-）2- =-（x-2.4）2+12 -（x-2.4）20 -（x-2.4）2+1212 且当x=2.4时，取等号 当x=2.4时，SDEFN最大 （3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在RtFEB中，EF=2.4，BF=3 BE=1.8 BM=1.85，BMEB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案 当x=2.4时，DE=5AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树四、归纳小结1正多边和圆的有关概念：2正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距间的等量关系3画正多边形的方法4运用以上的知识解决实际问题五、布置作业：练习册P4952教学反思第三课时（练习课）内容：练习册P4952第四课时（讲评课）内容：练习册P4952课时作业设计 一、选择题 1如图1所示，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（ ）A60 B45 C30 D225 (1) (2) (3) 2圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则APB的度数是（ ） A36 B60 C72 D108 3若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ） A18 B36 C72 D144 二、填空题 1已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_ 2在ABC中，ACB=90，B=15，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为_ 3四边形ABCD为O的内接梯形，如图3所示，ABCD，且CD为直径，如果O的半径等于r，C=60，那图中OAB的边长AB是_；ODA的周长是_；BOC的度数是_ 三、综合提高题1等边ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积2如图所示，已知O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积 3如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M （1）求证：四边形CDEM是菱形； （2）设MF2=BEBM，若AB=4，求BE的长收集于网络，如有侵权请联系管理员删除