1、重庆大学数理学院数数 值值 分分 析析第第十讲十讲主讲教师：主讲教师：谭谭 宏宏第1页4444、3 3 3 3 牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法1、公式导出 利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出迭代格式 ，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛迭代格式，通常采取近似替换法。设 xk是根 近似值，则按泰勒公式 取前两项来近似代替 (称为f(x)线性化)，得近似线性方程第2页设 ，令所得根近似值为xk+1，得（12）这就是牛顿公式牛顿公式对应迭代函数为：（13）牛顿法是一个逐步线性化方法，其基本思想是：将非线性方程 求根问题归结为计算一系列线性方程牛顿法几何意义以下列图第3页x*x0 x1x2xy
2、f(x)第4页故牛顿法也称为切线法例：用牛顿法求解方程解：设则迭代函数故牛顿公式为第5页取迭代结果以下：可见，牛顿法比迭代法收敛速度快得多。定理定理4 4：牛顿法在f(x)=0单根 附近为平方收敛。证：证：将在根 处泰勒展开有：则第6页因为所以即：所以牛顿法在f(x)=0单根 附近为平方收敛。第7页牛顿法牛顿法收敛性收敛性定理定理3 3：设设f(x)在在a,b上满足以下条件上满足以下条件：（1）f(a)f(b)0则由则由（2.3）确定牛顿迭代序列确定牛顿迭代序列xk收敛于收敛于f(x)在在a,b上唯一根上唯一根x*。第8页证：证：由条件（1）知：方程在（a，b）内有根由条件（2）知：f(x)在a，b上单调，故根唯一由条件（1）-（3）知：f(x)只可能是以下情况之一讨论第一个情况，其余类似因为f(x)单调增，且f(a)0，由条件（4）知所以：且对任意比有第9页于是：而：所以：即：只要则迭代序列总满足：又：第10页 所以迭代序列为一个单调增且有上界 序列，它比有极限。设极限为则：即：所以：第11页牛顿法对初始值 依赖性很强，第12页开方公式第13页3、牛顿下山法为预防迭代发散，能够对迭代过程再附加一个要求满足这项要求算法称下山法。将牛顿法和下山法结合起来使用称为牛顿下山法。其中称为下山因子中第14页
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