1、第7章 数值积分华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第1页数值积分问题n数值积分是工程师和科学家经常使用基本工具，用来计算无法解析求解定积分近似解n定积分几何意义：曲边梯形面积n本章目标是推导数值积分基本原理本章目标是推导数值积分基本原理如：不存在(x)解析表示，要求(5)可经过求在区间0t5上曲线y=f(t)=t3/(et-1)之下面积，得华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第2页几个简单数值积分公式n左/中/右矩形公式n梯形公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第3页左矩形公式梯形公式中矩形公式右矩形公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第4页积分介绍n数值积分目标目标是，经过在有限个采样点上计算 f
2、(x)值来迫近 f(x)在区间a,b上定积分n 定义7.1 设a=x0 x1xM=b.称形如且含有性质 公式为数值积分或面积面积公式。项 E f 称为积分截断误差，值 称为面积节点面积节点，称为权权。华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第5页积分公式数值精度n定义7.2 面积公式精度精度为正整数n，n使得对全部全部次数in多项式Pi(x)，都满足EPi=0，而对一些一些次数为n+1多项式Pn+1(x)有EPn+1 0经过研究f(x)为多项式时情形能够预测EPi形式。考虑任意i次多项式Pi(x)=aixi+ai-1xi-1+a1x+a0，假如in，则对全部x，有Pi(n+1)(x)0，而且对全部x，
3、式 成立 故截断误差截断误差普通形式为E f=K f(n+1)(c)，其中K是一个合理选择常数，n为精度注意：积分公式数值精度定义没有指定积分区间注意：积分公式数值精度定义没有指定积分区间华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第6页基于多项式插值面积公式n经过M+1个等距点 存在唯一次数小于等于M多项式PM(x)。当用该多项式来近似a,b上f(x)时，PM(x)积分就近似等于f(x)积分，这类公式称为牛顿科特牛顿科特斯公式斯公式。当使用采样点x0=a和xM=b时，称为闭型闭型牛顿科特斯公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第7页闭型牛顿科特斯面积公式定理定理7.1 设xk=x0+kh为等距节点，且fk
4、=f(xk)。前4个闭型NC面积公式为（梯形公式）（辛普森公式）（辛普森3/8公式）（布尔公式）华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第8页利用NC公式求数值积分例7.1 函数f(x)=1+e-xsin(4x)，等距面积节点为x0=0.0,x1=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0,对应函数值为f0=1.00000,f1=1.55152,f2=0.72159,f3=0.93765,f4=1.13390,h=0.5华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第9页x0,x1上y=P1(x)梯形积分公式x0,x4上y=P4(x)布尔积分公式x0,x3上y=P3(x)辛普森3/8积分公式x0,x2上y=P
5、2(x)辛普森积分公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第10页NC公式精度推论推论7.1 设f(x)充分可微充分可微，则NC面积公式Ef包含一个高阶导数项。梯形公式精度为n=1，假如fC2a,b，则辛普森公式精度为n=3，假如fC4a,b，则辛普森3/8公式精度为n=3，假如fC4a,b，则布尔公式精度为n=5，假如fC6a,b，则华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第11页步长选择n因为各个公式所需节点个数不一样，假如固定求积区间固定求积区间a,b端点端点，则对不一样公式不一样公式要采取不一样步长要采取不一样步长。梯形公式、辛普森公式、辛普森3/8公式和布尔公式步长分别为h=b-a,h=(b-a
6、)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4例7.2 分别将区间0,1作1、2、3、4等分华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第12页例例7.2对于梯形公式，h=1对于辛普森公式，h=1/2对于布尔公式，h=1/4对于辛普森3/8公式，h=1/3华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第13页0,1上y=P1(x)梯形积分公式0,1上y=P4(x)布尔积分公式0,1上y=P3(x)辛普森3/8积分公式0,1上y=P2(x)辛普森积分公式例7.2该定积分真解为华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第14页公式比较n为对面积公式进行公平比较，必须在每种方法中进行相同次数函数求值相同次数函数求值n对上例中梯形公式、
7、辛普森公式和布尔公式，每种方法都要在给定区间0,1上进行5次函数求值。对梯形公式而言，则要在4个子区间x0,x1,x1,x2,x2,x3和x3,x4上使用，称之为组合梯组合梯形公式形公式；同理，在两个子区间x0,x2和x2,x4上应用辛普森公式，称之为组合辛普森公式组合辛普森公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第15页组合公式例7.3 在区间0,1上取相同步长h=1/4，进行5次函数求值组合梯形公式组合辛普森公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第16页例例7.3组合梯形公式组合辛普森公式布尔公式结果该定积分真解可见，依然是布尔公式结果最靠近真实值可见，依然是布尔公式结果最靠近真实值华南师范大学
8、数学科学学院 谢骊玲第17页组合梯形公式组合辛普森公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第18页验证面积公式精度n面积公式定义中没指定积分区间n一切次数in多项式Pi(x)都可用函数族1,x,x2,x3,xn线性组合来表示n能够在任意轻易计算定积分区间上计算各个次数 i 不高于n幂函数xi定积分，并与面积公式求得结果相比较，从而确定面积公式精度例7.4华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第19页组合面积公式n理论数学中，曲线y=f(x)在区间a,b上定积分几何意义几何意义是该区间中曲线下面积n求定积分思想思想：分割求和求极限n组合面积公式组合面积公式：求区间a,b上曲线y=f(x)下面积方法是用区间
9、xk,xk+1,k=0,1,上一系列曲边梯形面积来迫近n用“有限有限”来迫近“无限无限”华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第20页组合梯形公式n定理7.2 设等距节点xk=a+kh,k=0,1,M将区间a,b划分为宽度为h=(b-a)/MM个子区间xk,xk+1。M个子区间组合梯形公式组合梯形公式有3种等价表示方法：它们是区间a,b上f(x)积分迫近，记为华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第21页组合梯形公式（续1）x0 x1xf(x)x2hhx3hhx4分段一次迫近分段一次迫近华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第22页组合梯形公式（续2）计算积分真实值I=5216.926477323024华南师范
10、大学数学科学学院 谢骊玲第23页组合辛普森公式n定理7.3 设等距节点xk=a+kh,k=0,1,2M将区间a,b划分为宽度为h=(b-a)/(2M)2M个等距子区间xk,xk+1。M个子区间xk,xk+2上组合辛普森公组合辛普森公式式有3种等价表示方法：它们是区间a,b上f(x)积分迫近，记为华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第24页组合辛普森公式（续1）x0 x2xf(x)x4hhxn-2hxn.分段二次迫近分段二次迫近hx3x1xn-1华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第25页组合辛普森公式（续2）屡次应用辛普森法则华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第26页组合辛普森公式（续3）n计算积分nn
11、=2,h=2nn=4,h=1 真实值I=5216.926477323024华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第27页组合面积公式误差分析n组合梯形公式和组合辛普森公式误差项n当步长h趋向零时，哪个公式误差更加快地收敛到零n当f(x)导数已知时，怎样利用误差项预计为得到给定精度近似所需子区间数华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第28页梯形公式误差分析n推论7.2 设区间a,b划分为宽度为h=(b-a)/MM个子区间xk,xk+1,组合梯形公式是对积分 迫近假如 f C2a,b，则存在值c,acb，使得误差项ET(f,h)含有形式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第29页辛普森公式误差分析n推论7.3
12、设区间a,b划分为宽度为h=(b-a)/(2M)2M个等宽子区间xk,xk+1,组合辛普森公式是对积分 迫近假如 f C4a,b，则存在值c,acb，使得误差项ES(f,h)含有形式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第30页例7.7、7.8 分别用组合梯形公式、组合辛普森公式求函数 在区间1,6上定积分考查积分区间等距划分为10,20,40,80,160个子区间情况MhT(f,h)ET(f,h)=O(h2)S(f,h)Es(f,h)=O(h4)100.58.19385457-0.01037540 8.183015490.00046371200.258.18604926-0.00257006 8.
13、183447500.00003171400.125n8.1841-0.00064098 8.183477170.00000204800.06258.18363936-0.00016015 8.183479080.00000013160 0.031258.18351924-0.00004003 8.183479200.00000001积分真实值积分真实值 I=8.18347920766273由上表可见，当 h 减半时，组合梯形公式误差项序列ET(f,h)衰减因子约为1/4；而组合辛普森公式误差项序列ES(f,h)衰减因子约为1/16，这验证了推论7.2和推论7.3中关于两个公式误差阶分别为O(h
14、2)和O(h4)结论华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第31页利用误差阶确定区间划分个数例7.9、7.10 计算 M 和步长 h，使得组合梯形公式和组合辛普森公式对迫近定积分 误差ET(f,h)和ES(f,h)小于510-9组合梯形公式：M=22822，步长h=5/22822=0.000219086846组合辛普森公式：M=113，步长h=5/113=0.02212389381可见，使用227次f(x)求值组合辛普森公式与使用22823次f(x)求值组合梯形公式得到一样精度。前者函数求值次数只是后者1%华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第32页数值积分精度与函数求值、区间划分关系数值积分精度与函数
15、求值、区间划分关系n从各阶闭型NC公式来看，函数求值次数越多，则迫近精度越高n但从理论上可证实M8NC公式不稳定，不能用来求解积分近似值n从组合梯形公式和组合辛普森公式计算积分近似值来看，划分子区间数越多，则迫近精度越高n但从例7.9、7.10可发觉，仅仅经过区间划分方法提升精度速度很慢华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第33页区间划分方法n假如采取划分子区间方式来提升精度。怎样选择子区间数目？n采取二分区间方法：开始时是一个区间，对分成2个子区间，再将2个子区间各自二分得到4个子区间，不停试验直至得到想要精度n这个过程生成一个梯形公式序列T(J)华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第34页T(0)
16、为20=1个梯形面积T(1)为21=2个梯形面积T(2)为22=4个梯形面积T(3)为23=8个梯形面积华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第35页连续梯形公式n定理7.4 设J1，点xk=a+kh将a,b划分为2J=2M个宽度为(b-a)/2J子区间。梯形公式T(f,h)和T(f,2h)满足以下关系：n 梯形公式序列梯形公式序列 记T(0)=(h/2)(f(a)+f(b)，它是步长为h=b-a梯形公式。对于全部J1，记T(J)=T(f,h)，其中T(f,h)是步长为h=(b-a)/2J梯形公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第36页递推梯形公式n推论7.4 由T(0)=(h/2)(f(a)+f(
17、b)开始，梯形公式序列T(J)可由以下递推公式生成：其中J=1,2,，h=(b-a)/2J，xk=a+kh例7.11华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第37页例例7.11 用连续梯形公式计算以下积分迫近T(0),T(1),T(2)和T(3).只需计算只需计算9个点函数值，而且是依据递推需要逐步增加计算个点函数值，而且是依据递推需要逐步增加计算华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第38页递推辛普森公式n定理7.5 设T(J)为由推论7.4产生梯形公式序列，假如J1，且S(J)为区间a,b2J个辛普森公式，则S(J)和T(J-1)与T(J)满足关系式：例7.12华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第39页例
18、例7.12 用连续辛普森公式计算以下积分迫近S(1),S(2)和S(3).利用连续梯形计算结果进行组合，得到连续辛普森公式，利用连续梯形计算结果进行组合，得到连续辛普森公式，误差阶提升了二阶，由误差阶提升了二阶，由O(h2)提升到提升到O(h4)华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第40页递推布尔公式n假如在区间a,b上对宽度为h=(b-a)/(4M)4M个等间距子区间上应用M次布尔公式，则称之为组合组合布尔公式布尔公式：n 定理7.6 设S(J)为由定理7.5产生辛普森公式序列，假如J2且B(J)为区间a,b上2J个子区间布尔公式，则B(J)与辛普森公式S(J-1)和S(J)满足关系华南师范大学
19、数学科学学院 谢骊玲第41页例例7.13 用连续布尔公式计算以下积分迫近B(2),B(3).利用连续辛普森计算结果进行组合，得到连续布尔公式，利用连续辛普森计算结果进行组合，得到连续布尔公式，误差阶提升了二阶，由误差阶提升了二阶，由O(h4)提升到提升到O(h6)利用连续布尔计算结果进行组合，还可得到更高阶公式，利用连续布尔计算结果进行组合，还可得到更高阶公式，误差阶由误差阶由O(h6)提升到提升到O(h8)，计算结果准确到小数点后，计算结果准确到小数点后第第5位位华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第42页龙贝格积分由以上各式余项规律，可作推广：设用步长h和2h得到一个迫近公式两个结果，则两个结
20、果代数运算将得到改进，每次改进将误差项阶由O(h2N)提升到O(h2N+2).该提阶过程称为龙贝格积分龙贝格积分华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第43页龙贝格积分优缺点nNC公式中，当节点数大于等于9时，积分公式中有负权值，公式不稳定n龙贝格积分公式中全部权全为正，公式稳定；且等距节点轻易计算横坐标值n每次提升误差阶，函数求值次数几乎增加一倍n使用连续公式能够降低计算量华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第44页龙贝格积分理查森改进n引理7.1 给定Q两个迫近R(2h,K-1)和R(h,K-1)，满足Q=R(h,K-1)+c1h2K+c2h2K+2+和Q=R(h/2,K-1)+c1h2K/4K+c
21、2h2K+2/4K+1+其改进迫近形如n 定义a,b上f(x)面积公式序列 以下：R(J,0)=T(J),J0，为连续梯形公式R(J,1)=S(J),J1，为连续辛普森公式R(J,2)=B(J),J2，为连续布尔公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第45页龙贝格积分表J01234R(J,0)梯形公式梯形公式R(J,1)辛普森公式辛普森公式R(J,2)布尔公式布尔公式R(J,3)第第3次改进次改进R(J,4)第第4次改进次改进R(0,0)R(1,0)R(2,0)R(3,0)R(4,0)R(3,2)R(1,1)R(4,2)R(3,1)R(2,1)R(3,3)R(4,1)R(4,3)R(2,2)R(
22、4,4)例7.14华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第46页龙贝格积分精度n定理7.7 设fC2K+2a,b，则龙贝格迫近截断误差由公式给出，其中h=(b-a)/2J为依赖于K常数，且cJ,Ka,b例7.15华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第47页自适应积分n在计算定积分数值方法中，主要工作量是用在计算函数值上，所以尽可能降低计算函数值次数是考虑算法一个标准n组合积分公式使用等距节点n为取得较高精度，在整个积分区间使用相同小步长h，对精度不高积分公式而言，要在很多点上求函数值华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第48页自适应积分（续1）n处理方法之一处理方法之一是使已经算出函数值在以后计算过程中尽可
23、能多地起作用以降低计算新函数值次数，如龙贝格积分算法n处理方法之二处理方法之二是考虑到曲线在整个区间上改变是不均匀，一些部分函数值改变猛烈，一些部分函数值改变迟缓，为使计算结果到达预定精度，对改变情况不一样各处区间细分程度不一样n自适应积分自适应积分技术基础是辛普森公式辛普森公式华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第49页其中，S(a,b)=(h/3)f(a)+4f(a+h)+f(b)计算积分 近似值，使误差不超出预先给定上限.首先取步长h=(b-a)/2，应用辛普森公式得区间细分其次，取步长为(b-a)/4=h/2，应用组合辛普森公式得华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第50页令和则若f(4)(x
24、)改变很迟缓，则可设f(4)(d1)f(4)(d2)，则有于是华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第51页则有误差预计所以，若则这时，可认为取 作为 近似值，能到达所要求精度华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第52页若是，则两个子区间积分近似值之和作为 近似值，其误差在容限之内分别对子区间 和 （称为1级子区间）应用上述误差预计过程以确定每个1级子区间中积分近似值误差是否都在允许误差限/2之内：若若两个子区间中有一个子区间积分近似值误差不在容限/2之内，则再将该子区间分半得到2个2级子区间，要求每个子区间误差在容限/4之内按照这种方法，从左到右测试每个子区间，直到每个子区间误差都在所要求误差容限之内华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第53页例7.16 自适应积分中0,4子区间划分华南师范大学数学科学学院 谢骊玲第54页
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