福建省永安市2021届高三质检试卷数学(理)-Word版含答案.docx

2021年永安市一般高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
留意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．做选考题时，考生依据题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
2. 某校一次月考数学成果近似地听从正态分布 ，且，则
A．0．49 B．0．52 C．0．51 D．0．48
3. “ ”是“方程表示椭圆”的
A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 设公差不为的等差数列首项，且是与的等比中项,则公差 （　　）
A． B．1 C．6 D．9
5. 函数的图象向左平移个单位后所得的图象关于轴对称，则的最小值为
A、 　 B、 C、 　 　 D、
6.执行右侧框图所表达的算法后，输出的的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
7.已知函数，则函数的零点个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
8.如右图所示，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，且 ，则
A． B． C． D．
9. 已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
10. 若函数（），则对于不同的实数，函数的单调区间个数不行能
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

11. 某县三所学校A、B、C分别在三个乡镇，其同学数量之比依次为，现接受分层抽样方法获得了一个样本，假如样本中含有10名A学校的同学，那么此样本的容量是 ＊＊＊ .
12.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体外接球的表面积是 ＊＊＊ .
13. 设，则二项式开放式中的第6项的系数为　＊＊＊　．
（第12题）
14. 在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 ＊＊＊ .
15. 对于函数，甲、乙、丙三位同学的描述有且只有1人是错误的.
甲：函数在区间存在唯一极值点；
乙：对,使得；
丙：函数的图像与轴、轴以及直线围成图形的面积不小于.
则符合条件的实数的取值范围为 ＊＊＊ .
三．解答题;本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.
16.（本题满分13分）
已知的三个内角、、所对的边分别为、、,且，
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值.
17. （本题满分13分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点，
（I）求证：AB1∥面BDC1
（II）若二面角A—B1D—A1大小为450，求直线AC1与平面AB1D所成角的大小；
18. （本题满分13分）
随机变量X的概率分布列如下表如示，且 ，
X
X1
X2
X3
…
Xn
P
p1
p 2
p 3
…
p n

(Ⅰ)由分布列的性质试求n的值，并求随机变量X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不小于3的概率．
19. （本题满分13分）
已知椭圆的离心率为 ，且过点．
（I）求椭圆的方程；
（II）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？假如存在，求出这两个定点的坐标；假如不存在，说明理由．
20. （本题满分14分）
已知函数 且函数在区间（－1，0）上单调递增，定义在R上的函数，且函数在处的切线与直线垂直.
（I）求函数与函数的解析式；
（II）已知函数 ，试问：是否存在实数，其中，使得函数的值域也为？若能，恳求出相应的、；若不能，请说明理由.
21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．假如多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
二阶矩阵A,B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.

(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵、；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算,并求出曲线在矩阵 对应的变换作用下的曲线方程.
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
若，且满足.
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）证明：.

2021年永安市一般高中毕业班质量检查
理科数学参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
11. 50 12. . 13.﹣12　． 14.
15.
提示15.解析：（1）函数的值域为R,所以乙必正确。
（2）对于甲，，

（3）对于丙，当

所以或
（4）答案为
三．解答题;本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.
16.（本题满分13分）
（Ⅰ）由，，知 ---------------------2分
又，得 ，
∴ ， ， ---------------------5分
故 ---------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

---------------------9分
∵，∴
当，即时，取得最大值为 -----------13分
17. （本题满分13分）
（Ⅰ）连结，交于点,则为中点,又为中点,故∥, ------------------3分
又由于,,所以∥面. - -----------------------5分
（Ⅱ）以为原点,如图建立空间直角坐标系. 设,则,,,,,, - ----------------------7分
设平面的法向量为,则,
得, --------------------------------------------------------8分
同理得平面的法向量为, ---------------------------------9分
,得. - ------------------------------------------10分
,,设直线与平面所成角为,则
,. ------------13分
18. （本题满分13分）
解：(Ⅰ) ，所以，------3分

X
1
2
3
4
P
7/10
1/6
1/12
1/20

----------------------------------------------6分
（Ⅱ）随机抽取一次取得标签的标号不小于3的概率为
+ ………………………………………………9分
所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为
= ………………………………………13分
19. （本题满分13分）
解：（1）∵椭圆的离心率为，
∴，，又过点， …………………………………2分
∴
∴，
故所求椭圆的方程为 …………………………………5分
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，
整理得 （﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又，
所以得 ………8分
假设存在满足题设，则由

对任意的实数恒成立,
所以， 解得，
当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.
综上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.………13分
20. （本题满分14分）
解：（I） ，由于函数在区间（-1，0）单调递增，
———————2分
函数在处的切线与直线垂直， ———————4分
函数与函数的解析式为：，
————————6分
（II）当时，又
，令

--------8分
令则，当，
又，，使得即。------10分
又与的交点的横坐标小于，————12分
所以令，则，函数的值域仍为。————14分
21. (1) （本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
解:(Ⅰ)由题意,二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,
故
二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转的旋转变换,故 …………4分
(Ⅱ) C=BA=,
设曲线上任意一点为,变换后的点坐标为
,，故所求的曲线方程为 …………7分
（2）．（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为
……………………………………………2分
又，
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得… ………5分
令，得，即点的坐标为(2，0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……6分
所以………………………7分
（3）．（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）由于，所以，故 ．………….3分
当且仅当时等号成立，所以的最大值为.　　　　　　………….4分
（Ⅱ）证明：由于，且，所以依据柯西不等式，
可得=（） ………….5分
=
=．
所以. 　　………….7分

草 稿 纸