湖南省长望浏宁四县市2021届高三下学期3月模拟考试-数学(文)-Word版含答案.docx

2021年3月长望浏宁高三模拟考试
文科数学试卷

时量：120分钟 总分150分

考生留意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否全都。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、复数，则的模为
A． B． C． D．
2、函数的定义域是
A． B． C． D．
3、依据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
0.5
0.5
2.0

得到的回归方程为.若，则每增加1个单位，就
A．增加个单位； B．削减个单位； C．增加个单位； D．削减个单位.
4、“为真命题”是“为真命题”的
A、充分不必要条件； B、必要不充分条件； C、充要条件； D、非充分非必要条件
5、将函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为
A. B. C. D.
6、已知是圆：内一点，现有以为中点的弦所在
直线 和直线：，则
A．，且与圆相交 B．，且与圆相交
C．，且与圆相离 D．，且与圆相离
7、执行如图所示的程序框图，输出的x值为
A．7 B.6 C.5 D.4
8、已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的外接球的半径是
第7题图

A． B． C．2 D．
第8题图

9、设a为大于1的常数，函数若关于x的方程恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是
A．0＜b≤1 B．0＜b＜1 C．0≤b≤1 D．b＞1．
10、如图，正的中心位于点G，A，动点P从A点动身沿的边界
按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的投影
为y（O为坐标原点），则y关于x的函数的图像是
y
x
O

y
x
O

A．
B．
y
x
O

y
x
O

C．
D．
第10题图

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设集合，，则集合= .
12、在极坐标系中，点到直线的距离是 ．
第14题图
13、设实数满足，则目标函数的最小值为 ．

14、如图，直线与圆
及抛物线依次交于A、B、C、D四点，则
.

15、若存在实数，使得，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
已知数列满足=5，且其前项和．
（Ⅰ）求的值和数列的通项公式；
（Ⅱ）设为等比数列，公比为，且其前项和满足，求的取值范围．

17．（本小题满分12分）
某网站针对“2021年春节放假支配”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如下表（单位：万人）：
人群
青少年
中年人
老年人
支持A方案
200
400
800
支持B方案
100
100

已知从全部参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率.

18、（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．
（Ⅰ）若点是的中点，求证：平面；
第18题图
（Ⅱ）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为时，求实数的值.

19. (本小题满分13分)
设函数
（Ⅰ）求的最小正周期及值域；
（Ⅱ）已知中，角的对边分别为，若，，，求的面积．

20、（本小题满分13分）
第20题图
如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角．

21．（本小题满分13分）
已知函数，其中为常数，且．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．

2021年3月长望浏宁高三模拟考试
文科数学
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
A
C
B
B
A
C
二、填空题：（每小题5分，共25分）
11、；12、；13、－2；14、14；15、.
三、解答题：（共75分）
16、（12分）（Ⅰ）解：由题意，得，，
由于 ，， 所以 ，
解得 . 3分
所以 ．
当时，由， 4分
得 . 5分
验证知时，符合上式，所以，. 6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得. 8分
由于 ， 所以 ，
解得 ． 11分
又由于，所以的取值范围是． 12分
17、（12分）（Ⅰ）由题意得：得n=400 4分
（Ⅱ）支持A方案的有：人，支持B方案的有：人 6分
设将支持A方案的4人标记为：1,2,3,4，将支持B方案的2人标记为：a,b.
设M表示大事“支持B方案恰好1人”，全部基本大事为：（1,2）,（1,3）,（1,4）,
（1，a）,（1,b）,（2,3）,（2,4）,（2,a）,（2,b）,（3,4）,（3,a）,（3,b）,（4,a）,
（4,b）,（a,b）共15种 9分
其中满足条件的有（1，a）,（1,b）,（2,a）,（2,b）,（3,a）,（3,b）,（4,a）,（4,b）
共8种. 11分
故答：恰好有1人“支持B方案”的概率为 12分
18、（12分）（Ⅰ）如图，连接，设，又点是的中点，
则在中，中位线//， 3分
又平面，平面。
所以平面 5分

（Ⅱ）依据题意可得：，取中点，所以，且
又平面平面，则平面； 6分
作于上一点，则平面，
由于四边形是矩形，所以平面，
则为直角三角形 8分
所以，则直角三角形的面积为
10分
由得： 12分
19、（13分）（Ⅰ） =， 3分
所以的最小正周期为， 4分
∵∴，故的值域为. 6分
（Ⅱ）由，得，
又，得， 8分
在中，由余弦定理，得=， 9分
又，，所以，解得， 11分
所以，的面积 13分
20、（13分）（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，
得，即，则双曲线左、右顶点为、，于是 2分
令，可得，解得，
即双曲线过点，则∴. 4分
所以所求双曲线方程为 6分
（2）由（1）得双曲线的两个焦点， 7分
当时，设点，
① 点在双曲线上，得，
由，得由，解得所以 10分
②若点在上半圆上，则，由，
得，由无解 12分
同理，点P在上半圆也没有符合题意的点.
综上，满足条件的点有4个，分别为
13分
21、（13分）() 2分
（1）由于曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，
所以，即 4分
（2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为增函数,
． 6分
当时，由得，，
对于有在[1，a]上为减函数，
对于有在[a，2]上为增函数，
． 8分
当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为减函数，
9分
于是，①当时，； 10分
②当时，，令，得； 11分
③当时，． 12分
综上所述，． 13分