资源描述
1等腰三角形
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．
用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
定理的证明：
取BC的中点D，连接AD．
∵∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．
拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．
(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则＜a．
(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；
②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；
③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．
(2)推论1的证明．
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．
②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．
∴∠1＝∠2，BD＝CD．
③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.
(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.
推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．
(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，
在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
(2)推论2的证明：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．
用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．
拓展 如图1－6所示，在△ABC中，
(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；
(2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；
(3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60°
∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；
(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；
(3)根据推论2，证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．
(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法
先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.
∵
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)
课堂检测
1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AC，AE＝AB．求证BD＝CE．
2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．
3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，
求证△ABC是等腰三角形．
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?
5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．
请直接应用上述信息解决下列问题：
点P在△ABC内，如图1－17(2)所示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明．
体验中考
1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x，则x的取值范围是 ．
2、如图1－20所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．求证AC＝DF(要求：写出证明过程中的重要依据)．
2直角三角形
勾股定理：a2+b2＝c2（a，b为直角边长，c为斜边长）
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
互逆命题与互逆定理
直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（ＨＬ）
直角三角形
知识概览图
知识点1 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2＝a2+b2(c为斜边长)．
√勾股定理的作用．
(1)已知直角三角形的两边求第三边．
(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．
(3)用于证明平方关系的问题．
(4)利用勾股定理作出长为的线段．
勾股定理的各种表达形式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c2＝a2+b2，c＝，a＝，b＝．
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．
直角三角形的判定．
(1)首先确定最大边(如c)．
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系．
若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形；
若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．
勾股数．
(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．
(2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．
拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．
知识点2 互逆命题与互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
拓展 每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
拓展 每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.
知识点3 直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
√定理的作用：判定两个直角三角形全等．
√定理的证明：如图1－30所示，已知Rt△ABC，Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，求证Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
证明：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
∴BC＝，B′C′＝.
∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS)．
知识拓展 “HL”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．
课堂检测
1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．
2、如图1－31所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．
3、在正方形ABCD中，如图1－32所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC，求证∠EFA＝90°．
4、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n＞0)的三角形是否是直角三角形．
5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到0．1海里，≈1．732)
体验中考
1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度．
2、如图1－45所示，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC．
（1）求证BG＝FG；
（2）若AD＝DC＝2，求AB的长．
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