资源描述
第十一章 单元测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．若某算法的程序框图如下图所示，则输出S的值是( )
A．6 B．24
C．120 D．840
答案 C
解析 这是一个循环结构，循环的结果依次为：i＝2，S＝2；i＝3，S＝6；i＝4，S＝24；i＝5，S＝120，这时i＝5>4，输出120.选C.
2．如下图所示的程序框图表示求算法“2×3×5×9×17”的值，则推断框内可以填入( )
A．k≤10? B．k≤16?
C．k≤32? D．k≤34?
答案 C
解析 由程序框图可得：S＝1×2，k＝3；S＝1×2×3，k＝5；S＝1×2×3×5，k＝9；S＝1×2×3×5×9，k＝17；S＝1×2×3×5×9×17，k＝33.当k>32时，输出S＝1×2×3×5×9×17，选C.
3．中心电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2021年至2021年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( )
A．36 B．35
C．32 D．30
答案 A
解析 设从30个小品类节目中抽取x个，则有＝，解得x＝9.27＋9＝36，所以样本容量为36.
4．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势状况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取的树苗的高度的平均数甲，乙和中位数甲乙进行比较，下面结构正确的是( )
A.甲>乙，甲>乙 B.甲<乙，甲<乙
C.甲<乙，甲>乙 D.甲>乙，甲<乙
答案 B
解析 从茎叶图可知，甲的数据集中在20－30之间，乙的数据集中在30－40之间，所以甲<乙，甲的中位数为27，乙的中位数为35.5，所以甲<乙．
5．某网站对“双十二”网上购物的状况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下表：
商品种类
服饰鞋帽
家居用品
化妆品
家用电器
购买人数
19 800
9 400
11 600
9 200
为了解顾客对商品的满足度，该网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为( )
A．198 B．116
C．99 D．94
答案 A
解析 由题意可知抽样比为＝，所以在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷人数为＝198.
6．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品．用频率估量概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
答案 D
解析 由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
7．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设依据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学依据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，<a′
C.<b′，>a′ D.<b′，<a′
答案 C
解析 本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线(如右图)，由两条直线的相对位置关系可推断<b′，>a′.故选C.
8．给出以下三幅统计图及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化状况
②2050年非洲人口大约将达到15亿
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
答案 B
解析 ①明显正确；从条形统计图中可得到，2050年非洲人口大约将达到18亿，②错；从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，③正确；由上述三幅统计图并不能得出1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．
9．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：
气温x(℃)
18
13
10
－1
山高y(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到的线性回归方程＝－2x＋ (∈R)，由此估量出山高为72(km)处的气温为( )
A．－10 ℃ B．－8 ℃
C．－6 ℃ D．－4 ℃
答案 C
解析 由题意可得＝10，＝40，所以＝＋2＝40＋2×10＝60，所以＝－2x＋60，当＝72时，－2x＋60＝72，解得x＝－6，故选C.
10．某班有48名同学，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发觉有2名同学的成果有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70,25 B．70,50
C．70,1.04 D．65,25
答案 B
解析 易得没有转变，＝70，
而s2＝[(x＋x＋…＋502＋1002＋…＋x)－482]＝75，
s′2＝[(x＋x＋…＋802＋702＋…＋x)－482]
＝[(75×48＋482－12 500＋11 300)－482]
＝75－＝75－25＝50.
11．为了解某校高三同学的视力状况，随机地抽查了该校100名高三同学的视力状况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的同学数为b，则a，b的值分别为( )
A．0.27,78 B．0.27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
答案 A
解析 由频率分布直方图知组距为0.1.
4．3－4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1.
4．4－4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3.
又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.
从而4.6－4.7间的频数最大，且为1×33＝27.
∴a＝0.27.
依据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87人．
设公差d，则6×27＋d＝87.
∴d＝－5，从而b＝4×27＋(－5)＝78.
12.给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，则在图中推断框中①处和执行框中的②处应填的语句分别为( )
A．①i＞30，②p＝p＋i
B．①i＜30，②p＝p＋i
C．①i≤30，②p＝p＋i
D．①i≥30，②p＝p＋i
答案 A
解析 由于是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，由于推断框内的条件就是限制计数变量i的，这个流程图中推断框的向下的出口是不满足条件连续执行循环，故应为i＞30.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.故①处应填i＞30；②处应填p＝p＋i.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 随机产生20组数代表20次试验，其中恰含1,2,3,4中的两个数有191,271,932,812,393共5个，依据随机模拟试验结果该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为＝0.25.
14．在2022年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝－3.2 x＋a(参考公式：回归方程＝bx＋a，a＝－b)，则a＝________.
答案 40
解析 价格的平均数是＝＝10，销售量的平均数是＝＝8，由＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝－b ＝8＋3.2×10＝40.
15.定义一种新运算“⊗”：S＝a⊗b，其运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝________.
答案 1
解析 由框图可知
S＝从而可得
5⊗4－3⊗6＝5×(4＋1)－(3＋1)×6＝1.
16．某医疗争辩所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的推断：
p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q：若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
答案 ①④
解析 本题考查了独立性检验的基本思想及常用规律用语．由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的推断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
为了分析某个高三同学的学习态度，对其下一阶段的学习供应指导性建议，现对他前7次考试的数学成果x，物理成果y进行分析．下面是该生7次考试的成果.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成果与物理成果哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成果y与数学成果x是线性相关的，若该生的物理成果达到115分，请你估量他的数学成果大约是多少？
答案 (1)物理成果更稳定 (2)约为130分
解析 (1)∵＝100＋＝100，
＝100＋＝100，
∴s＝＝142，∴s＝.
从而s>s，∴物理成果更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，依据回归系数公式得到b＝＝0.5，a＝100－0.5×100＝50.
∴线性回归方程为＝0.5x＋50.
当y＝115时，x＝130.
18．(本小题满分12分)
高三班级有500名同学，为了了解数学学科的学习状况，现从中随机抽出若干名同学在一次测试中的数学成果，制成如下频率分布表：
分组
频数
频率
[85,95)
①
②
[95,105)
0.050
[105,115)
0.200
[115,125)
12
0.300
[125,135)
0.275
[135,145)
4
③
[145,155)
0.050
合计
④
(1)依据上面图表，①②③④处的数值分别为________，________，________，________；
(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；
(3)依据题中信息估量总体平均数，并估量总体落在[129,155]中的频率．
答案 (1)1,0.025,0.1,1
(2)略
(3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315
解析 (1)随机抽出的人数为＝40，由统计学问知④处应填1；③处应填＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；
①处应填0.025×40＝1.
(2)频率分布直方图如图．
(3)利用组中值算得平均数：
90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.
19．(本小题满分12分)
今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威逼．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应当提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查状况进行整理后制成下表：
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)完成被调查人员的频率分布直方图；
(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
答案 (1)略 (2)
解析 (1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1.
所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01.
(2)ξ的全部可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝×＝×＝＝＝.
P(ξ＝1)＝×＋×＝×＋×＝＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝×＋×＝＝，
P(ξ＝3)＝×＝×＝＝，
所以ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
所以ξ的数学期望E(ξ)＝.
20．(本小题满分12分)
通过随机询问某校110名高中同学在购买食物时是否看养分说明，得到如下的列联表：
性别与看养分说明列联表 单位：名
男
女
总计
看养分说明
50
30
80
不看养分说明
10
20
30
总计
60
50
110
(1)从这50名女生中按是否看养分说明实行分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看养分说明的女生各有多少名？
(2)从(1)中的5名女生中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看养分说明的女生各一名的概率；
(3)依据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看养分说明”有关？
P(K2≥k0)
0.100
0.50
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
K2＝
答案 (1)3名，2名 (2) (3)有99%的把握
解析 (1)依据分层抽样可得：样本中看养分说明的女生有×30＝3名，样本中不看养分说明的女生有×20＝2名．
(2)设5名女生中看养分说明的为a1，a2，a3，不看养分说明的为b1，b2，则从中随机抽取2名，分别为：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}，{b1，b2}，其中看与不看养分说明的女生各一名的大事有6个，故所求概率为＝.
(3)依据题中的列联表得K2＝＝≈7.486，P(K2≥6.635)＝0.010，有99%的把握认为该校高中同学“性别与在购买食物时看养分说明”有关．
21．(本小题满分12分)
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
依据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)依据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)依据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．
答案 (1)n1＝7，n2＝2，f1＝0.28，f2＝0.08 (2)略 (3)0.590 4
思路 (1)统计日加工零件数落在区间(40,45]和(45,50]的频数n1和n2，然后计算对应的频率f1和f2；
(2)依据算出频率分布直方图中每一个小长方形的高，完成频率分布直方图；
(3)转化为二项分布计算概率．
解析 (1)由所给数据知，落在区间(40,45]内的有7个，落在(45,50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2.
所以f1＝＝＝0.28，f2＝＝＝0.08.
(2)样本频率分布直方图如图．
(3)依据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.590 4.
22．(本小题满分12分)
某工厂现有年龄在20－40岁的中青年工人120名，按年龄分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]四组，各组工人人数的统计数据的频率分布直方图如图所示．工厂为进行高效节能技术培训，要求每名工人都要参与A，B两项培训，培训结束后进行考核，各组两项培训考核成果优秀的人数如表所示，假设两项培训相互独立，两项考核成果相互之间没有影响．
年龄分组
A项培训成果优秀人数
B项培训成果优秀人数
[20,25)
27
16
[25,30)
28
18
[30,35)
16
9
[35,40]
6
4
(1)若用分层抽样的方法从全厂年龄在20－40岁的120名工人中抽取一个容量为40的样本，求各组应分别抽取的人数；
(2)从年龄在[20,25)和[30,35)的工人中各随机抽取1人，设这2人中A、B两项培训考核成果都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
答案 (1)12,14,8,6 (2)
解析 (1)由频率分布直方图可知，年龄在[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]的人数的频率分别为0.3,0.35,0.2,0.15.
又40×0.3＝12,40×0.35＝14,40×0.2＝8,40×0.15＝6，
所以年龄在[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]的工人中应抽取的人数分别为12,14,8,6.
(2)由题设知，年龄在[20,25)的工人人数为120×0.3＝36，从中任意抽取1人，其中A项培训成果优秀概率为P1＝＝，B项培训成果优秀的概率P2＝＝，
所以这名工人的A，B两项培训成果都优秀的概率P＝×＝.
又年龄在[30,35)的工人人数为120×0.2＝24，从中任意抽取1人，其中A，B两项培训成果都优秀的概率P′＝×＝.
X的全部可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(X＝2)＝×＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
1.如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中推断框内应填入的是( )
A．i≤2 012?
B．i>2 012?
C．i≤2 014?
D．i>2 014?
答案 C
解析 依据程序框图与已知数据可知此程序框图的功能是计算＋＋＋…＋的值，易知当i≤2 014时，输出S＝＋＋＋…＋，符合要求；当i>2 014时，程序框图是输出S＝0，不符合要求．故选C.
2.(2021·重庆理)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名同学在一次英语听力测试中的成果(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案 C
解析 由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数16.8＝，可解得y＝8.故选C.
3．下表供应了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
依据上表供应的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的精确值为( )
A．3 B．3.15
C．3.5 D．4.5
答案 A
解析 ∵＝＝4.5，代入＝0.7x＋0.35，得
＝3.5，∴t＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3.故选A.
注：本题极易将x＝4，y＝t代入回归方程求解而选B，但那只是近似值而不是精确值．
4．学校为了调查同学在课外读物方面的支出状况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n的值为( )
A．100
B．1 000
C．90
D．900
答案 A
解析 支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，因此
n＝＝100.
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