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第4讲 直线、平面垂直的判定与性质
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是
( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析 如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不肯定成立，故选D.
答案 D
2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是
( )
A．过a肯定存在平面β，使得β∥α
B．过a肯定存在平面β，使得β⊥α
C．在平面α内肯定不存在直线b，使得a⊥b
D．在平面α内肯定不存在直线b，使得a∥b
解析 当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必定垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．
答案 B
3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么
( )
A．PA＝PB＞PC
B．PA＝PB＜PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
解析 ∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，
故PA＝PB＝PC.
答案 C
4．(2021·嘉兴质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是
( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
解析 A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．
答案 C
5.(2021·深圳调研)如图，在四周体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是
( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析 由于AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.
答案 C
二、填空题
6.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
又∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案 ①②③
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．
解析 ∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)
8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
解析 假如①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA，PB的平面与α，β的交线l交于点C.由于l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，
所以l⊥AC，l⊥BC.
所以∠ACB是二面角α－l－β的平面角．
由m⊥n，明显PA⊥PB，所以∠ACB＝90°，所以α⊥β.
由①③④⇒②成立．
反过来，假如②③④成立，与上面证法类似可得①成立．
答案 ①③④⇒②(②③④⇒①)
三、解答题
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)由于平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又由于BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)由于AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
又E，F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.
故CD⊥EF，由EF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E.
所以CD⊥平面BEF.CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
10.如图，四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值．
(1)证明 ∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵N是PB的中点，且PA＝AB，
∴AN⊥PB.
∵AD⊥PA、AD⊥AB，PA∩AB＝A.
∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB，由条件知MN∥BC∥AD，
∴MN和AD在同一个平面内，从而PB⊥平面ADMN.
又∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.
(2)解 取AD的中点G，连接BG、NG，则BG∥CD，
∴BG和CD与平面ADMN所成的角相等．
∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
设PA＝AD＝AB＝2，则BG＝，BN＝，
∴在Rt△BGN中，sin ∠BGN＝＝.
即CD与平面ADMN所成角的正弦值为.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在
( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析 由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案 A
12．(2022·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是
( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
解析 对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝＝，因此命题D是假命题．
答案 D
13．(2021·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把全部正确的序号都填上)．
解析 由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．
答案 ①④
14．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
(1)证明 由于底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，由于AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
如图，
设AC∩BD＝F，连接EF.
由于AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
所以＝，又∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.
由此知PC⊥EF.
又BD∩EF＝F，所以PC⊥平面BED.
(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
由于二面角A－PB－C为90°，
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
由于BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
由于AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，
即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
15．(2022·宁波期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别为CC1与A1B的中点，E在平面ABD上的射影是△ABD的重心．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求A1B与平面ABD所成角的正弦值．
(1)证明 如图，取AB的中点F，连接EF，FC，
由已知可得EF∥A1A，EF＝A1A.
又DC∥A1A，DC＝A1A，
∴四边形DEFC为平行四边形，
则ED∥CF，∵ED⊄平面ABC，FC⊂平面ABC，
∴ED∥平面ABC.
(2)解
如图，过点E作EH⊥DF于H，连接HB，
⇒CC1⊥AB，
⇒AB⊥CF，
又CF∩CD＝C，CF，CD⊂平面DEFC，
∴AB⊥平面DEFC.
又EH⊂平面DEFC，∴AB⊥EH.
又EH⊥DF，DF∩AB＝F，AB，DF⊂平面ABD，
∴EH⊥平面ABD.
∴点H为△ABD的重心，在Rt△DEF中，EF2＝FH·FD＝FD2＝1.
∴FD＝，HF＝，EH＝，CF＝，FB＝，EB＝，则sin∠EBH＝＝，
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.
16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB；
(2)证明PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C－PB－D的大小．
(1)证明 如图所示，
连接AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO.
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)证明 ∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，
∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形．
而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①
同样，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.
∴BC⊥平面PDC.
而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD.
(3)解 由(2)知，PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角．
由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，
则PD＝DC＝a，BD＝a，
PB＝＝a，PC＝＝a，
DE＝PC＝a，
在Rt△PDB中，DF＝＝＝a.
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝，
∴∠EFD＝60°.∴二面角C－PB－D的大小为60°.
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