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题组层级快练(八十五)
1．(2022·四川文)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A.
2．(2021·河北唐山二模)用简洁随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 简洁随机抽样中，每个个体被抽到的概率为，故个体m被抽到的概率为.
3．(2021·四川资阳上学期其次次诊断)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体同学中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
答案 C
解析 ×18＝3，故选C.
4．(2021·安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有同学52人，现将全部同学随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号同学在样本中，则样本中还有一个同学的编号是( )
A．8 B．13
C．15 D．18
答案 D
解析 由于系统抽样是等距抽样，由于44－31＝13，所以5＋13＝18.
5．(2022·湖南理)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3
答案 D
解析 依据抽样方法的概念可知，简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故p1＝p2＝p3，故选D.
6．(2022·广东理)已知某地区中学校生人数和近视状况分别如图①和图②所示．为了解该地区中学校生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的同学进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
答案 A
解析 在扇形统计图中，依据抽取的比例计算样本容量，依据条形统计图计算抽取的高中生近视人数．
该地区中学校生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.
7．总体容量为524，若接受系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 明显524能被4整除，不能被3,5,6整除．
8．某单位有840名职工，现接受系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落人区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
答案 B
解析 方法一：依据系统抽样的规章，将840名职工分成42组，每组抽取1人，其中编号481在第25组，编号720在第36组，其中共有12组．因而编号落入区间[481,720]的人数为12.
方法二：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋(k－1)·20,1≤l≤20,1≤k<42.令481≤l＋(k－1)·20≤720，得25＋≤k≤37－.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12个．
9．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从全部师生中抽取一个容量为160的样本，已知从同学中抽取的人数为150，那么该学校的老师人数是________．
答案 200
解析 本题属于分层抽样，设该学校的老师人数为x，所以＝，所以x＝200.
10．(2021·江苏南通二调)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，接受系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
答案 76
解析 依据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12,28,44,60,76，即最大的为76.
11．(2021·浙江五校)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是________份．
答案 60
解析 由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，则＝，∴a2＝200.又a1＋a2＋a3＋a4＝1 000，即3a2＋a4＝1 000，∴a4＝400.设在D单位抽取的问卷数为n，∴＝，解得n＝60.
12．衡水中学为了提高同学的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二同学选修，已知高二班级共有同学600人，他们每人都参与且只参与一门课程的选修．为了了解同学对选修课的学习状况，现用分层抽样的方法从中抽取30名同学进行座谈．据统计，参与《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列，则应抽取参与《数学史选讲》的同学的人数为________．
答案 12
解析 依据题意可得，参与《数学史选讲》的同学人数为240人．抽取比例是＝，故应当抽取240×＝12人．
13．某地区有学校21所，中学14所，高校7所，现接受分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对同学进行视力调查．
(1)求应从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
①列出全部可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为学校的概率．
答案 (1)3,2,1 (2)①15种，②
解析 (1)从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所学校分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，高校记为A6，则抽取2所学校的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为学校(记为大事B)的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．
所以P(B)＝＝.
14．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应当抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
答案 (1)有关 (2)3名 (3)
解析 (1)由于在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众×5＝×5＝3名．
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机大事“5名观众中任取2名，恰有1名观众的年龄为20至40岁”，则A中的基本大事有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝＝.
15．在某市今年的公务员考试成果中随机抽取500名考生的笔试成果，按成果分组，得到频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
25
0.050
第2组
[165,170)
0.350
第3组
[170,175)
150
第4组
[175,180)
第5组
[180,185]
50
0.100
合计
500
1.000
(1)为了选拔出最优秀的公务员，政府打算在第3,4,5组中用分层抽样法抽取12名考生进行其次轮选拔，分别求第3,4,5组每组进入其次轮选拔的考生人数；
(2)在(1)的前提下，政府的3个下属机关打算在12名考生中随机抽取2名考生接受考官的面试，记抽取到第5组的A考生面试的下属机关的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
答案 (1)6,4,2 (2)
解析 (1)由题意可知，第2组的频数为500×0.350＝175，所以第3,4,5组共有考生500－25－175＝300名，则第4组有100名考生，
所以第3组抽取的人数：×12＝6，
第4组抽取的人数：×12＝4，
第5组抽取的人数：×12＝2.
(2)从12名考生中随机抽取2人，抽取到第5组的A考生面试的概率为P＝＝.
由题意可知，X的取值范围为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×()0×()3＝，
P(X＝1)＝C×()1×()2＝，
P(X＝2)＝C×()2×()1＝，
P(X＝3)＝C×()3×()0＝.
故X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
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