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第4讲 定积分与微积分基本定理
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1．(2022·济南质检)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为 ( )
A. B．1 C. D.
解析 由题意知S＝＝－＝.
答案 D
2．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析 dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1，
∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2.
答案 A
3．(2021·江西卷)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为 ( )
A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3
C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1
∵e2－e＝e(e－1)＞e＞＞ln 2，∴S2＜S1＜S3.
答案 B
4．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为 ( )
A. B．4 C. D．6
解析 作出曲线y＝，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由得交点A(4，2)．
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx
＝＝×8－×16＋2×4＝.
答案 C
5．(2022·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是 ( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
∴cos φ－sin φ＝0，∴cos＝0，
∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)＝sin ，由x－kπ－＝k′π＋
得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，故选A.
答案 A
二、填空题
6．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．
答案
7. 如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．
解析 由
得x1＝0，x2＝2.
∴S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx
答案
8．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________ m.
＝×4＋4－＝10－＝(m)．
答案 6.5
三、解答题
9．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求f(x)dx的值．
解 ∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3.
∴f(x)dx＝＝－18.
10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．
解 作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得交点(1，1)，
解方程组得交点(3，9)，
因此，所求图形的面积为
S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx
＝2xdx＋(3x－x2)dx
＝x2
＝1＋－
＝.
力气提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2022·湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间
[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
③中f(x)·g(x)＝x3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件．
答案 C
12．(2022·江西卷)若f(x)＝x2＋2 f(x)dx，则 f(x)dx＝ ( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析 由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，
设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，
f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝
＝＋2m＝m，∴m＝－.
答案 B
13.(＋x)dx＝________．
解析 (＋x)dx＝dx＋xdx，依据积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆的面积，即dx＝，
xdx＝x2|＝0，∴(＋x)dx＝.
答案
14．在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
解 S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即
S1＝t·t2－x2dx＝t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t面积，
即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
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