1、第第3 3章章 两体问题两体问题一、中心势场中单粒子运动：中心力：粒子轨道方程：体系能量守恒：角动量守恒：第1页二、与距离r成反比中心势场:(万有引力势和库仑静电势)：在万有引力作用下天体运动轨迹问题也称为开普勒问题。此时GM，质点轨道方程可写为其中：在库仑排斥势场中粒子轨道方程：第2页近日点：，远日点周期：，椭圆面积：第3页三、开普勒行星三定律：(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆一个焦点上；(2)行星与太阳联线扫过面积与时间成正比，或者说相等时间内扫过面积相等；(3)行星运动周期平方与它们轨道半长轴立方成正比。第4页宇宙速度：(1).第一宇宙速度v1,也称围绕速度，即围绕地球运动最低
2、发射速度(2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳运动最低发射速度(3).第三宇宙速度v3,即飞离太阳系最低发射速度其中v0为地球绕太阳公转速度，v为msun为太阳质量，rsun-earth为太阳-地球之间距离。第5页四、运动轨道稳定性条件：比耐公式：由微小扰动：微小扰动满足方程：轨道稳定性条件为：或：第6页五、弹性碰撞和散射截面：假如两个粒子在碰撞前后其内部状态都不发生改变，则这种碰撞称为弹性碰撞或弹性散射机械能守恒动量守恒有：微分散射截面：立体角：第7页3.1 求质点在中心势场 中运动微分方程解。解：由公式 ，代入令：讨论：(1)当 第第3 3章章 两体问题两体问题第8
3、页选适当，使c=0,得(2)当 选适当，使c=0,得(3)当 选适当，使c=0,得 第9页第（2），（3）中情况会出现r0，即质点被力心所俘获当 ，t值有限第10页3.2 质量相同两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。仅考虑体系相对运动，体系势能 。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr质点运动，运动方程为：其中：轨道方程为：第11页3.3 质点在一纬中心引力 作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，
4、试求该质点抵达力心o时间。解：设无穷远处为势能零点，则代入粒子在中心势运动方程：第12页3.4 定性讨论粒子在中心势 中运动，式中k和为常数。解：当 1时，V0，此时近似做自由粒子运动；当 1时，粒子近似做在势场 中开普勒运动；当 1时，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为第13页3.6 求粒子在中心力 作用下轨道方程。解：粒子中心势场可写为代入 令：，其中：第14页3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0(抛物线轨道)时，坐标对时间依赖关系。解：粒子在中心势场 中运动，代入运动方程：令 ，则若 ，则第15页3.11 证实在椭圆轨道情况下，动能对时间平均值等于势能对时间平均值二分之一(位力定理)。
5、证实：在椭圆轨道情况下，。设 ，a，c分别是半长轴和焦距有：，周期可写为：，即第16页势能：动能：证实2：令：经过一个周期：又：，在椭圆轨道第17页3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在试验室系中用粒子偏转角来表示粒子碰撞后速度，即用 和 来表示 和解：设m1初速度为可得：其中：代入上式得：第18页3.22 设一质量为m质点在 中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动频率。解：由比耐公式，轨道微分方程为：其中设势场有一微小扰动，使粒子轨道代入上式，保留到一级项，得满足方程：得轨道稳定条件为：轨道稳定 附近径向振动频率第19页3.23 在地球表面A处，一发射角60和初速
6、 发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道曲率半径和切向加速度 ；(2)试求卫星离开地面最大高度h及在此点速率 ；(3)假如卫星在此最大高度突然分裂成相等两半，其二分之一瞬时静止，试问另二分之一轨道形状。解：卫星处于重力势场 中，由重力Fmg,卫星轨道方程可写为：其中：轨道方程为：，当 r=R时(1)受力分析得：第20页(2)当 时，有由机械能守恒有：即：(3)当二分之一瞬时静止，由动量守恒有，即轨道形状为抛物线第21页(2)当 时，有由机械能守恒有：即：第22页例1.质量为m质点，在方向指向焦点牛顿引力 ，作用下运动，(1)假如质点沿二分之一长轴为a椭圆轨道运动，
7、试导出公式 其中v为质点速度，r为质点到力心距离;(2)假如质点沿双曲线轨道运动，证实 ；(3)对抛物线轨道，证实第23页例1.质量为m质点，在方向指向焦点牛顿引力 ，作用下运动，(1)假如质点沿二分之一长轴为a椭圆轨道运动，试导出公式 其中v为质点速度，r为质点到力心距离;(2)假如质点沿双曲线轨道运动，证实 ；(3)对抛物线轨道，证实解:(1)椭圆轨道 半长轴为在有心力场中，系统角动量守恒，即由(3)和(4)得，将(2)代入(5)得，第24页(2)双曲线轨道 上面式(1),(3),(4),(5)均成立，但代入(5)得，(3)抛物线轨道 式(1),(3),(4),(5)均成立，但e=1代入(5)得，第25页(2)双曲线轨道，系统机械能为，(3)抛物线轨道，系统机械能为，解法2:(1)椭圆轨道，系统机械能为，对椭圆轨道，机械能可表示为，即得机械能又可表示为，抛物线轨道机械能为零，所以即得第26页第27页
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