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点差法巧解圆锥曲线
高中部 周钢
点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。
例1：过点作抛物线的弦，恰被点平分，求所在直线的方程.
解：法一、设所在直线的方程为，
由，消去并整理，得.
设，，由根与系数的关系，得，
又是的中点，所以. 所以，
所以直线的方程为，即.
法二、设，，则有，，
两式相减，得，
又，则，
所以直线AB的方程为，即.
通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。
例2：已知椭圆的两个焦点分别为，，是此椭圆上的一点，且，.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，、是椭圆上不同于点的两点.若的重心是椭圆的右焦点，求直线的方程.
x
y
B
M
N
解：（1）解答过程略，椭圆的方程为
（2）设，，由（1）知，
因为是的重心，故各点坐标满足
，故、中点坐标为，
、在椭圆上应满足，，两式相减得
，
所以直线的方程为，即.
例2第二问的重点在于对重心的理解以及重心坐标公式的应用，利用重心求出弦的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。如果不懂得使用点差法，当我们苦思冥想重心用法之后，难免在常规计算中失误犯错。
例3：已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线对称的两点，为弦的中点，
则，，两式相减得，
即，
由题意可知，，，
带入上式可得点满足方程，且点在椭圆内部，
联立，即满足
所以，解得
例3利用点差法，巧妙的解决了弦中点的轨迹问题以及点对称的问题，体现了点差法的灵活性以及多样性。
总的来说，点差法常见题型有：求中点弦方程、求弦中点轨迹、求垂直平分线、求定值问题。点差法虽然好用，但也只是一种特殊方法，只能解决一些特殊问题。因此，要想熟练掌握各类解析几何题目，还是要从练好基本题型、掌握基本方法入手，适当的结合一些特殊方法如点差法，便能更好的解决各类解析几何问题，为高考做好准备。