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基本不等式
【知识框架】
1、基本不等式原始形式
（1）若，则
（2）若，则
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若，则
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若，则
（2）若，则
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若，则 (当且仅当时取“=”）
（2）若，则 (当且仅当时取“=”）
（3）若，则 (当且仅当时取“=”）
（4）若，则
（5）若，则
特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”
6、柯西不等式
（1）若，则
（2）若，则有：
（3）设是两组实数，则有
【题型归纳】
题型一：利用基本不等式证明不等式
题目1、设均为正数，证明不等式:≥
题目2、已知为两两不相等的实数，求证：
题目3、已知，求证：
题目4、已知，且，求证：
题目5、已知，且，求证：
题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设均为正数,且,证明:
(Ⅰ); (Ⅱ).
题型二：利用不等式求函数值域
题目1、求下列函数的值域
（1） （2）
（3） （4）
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知，求函数的最小值；
变式1：已知，求函数的最小值；
变式2：已知，求函数的最大值；
变式3：已知，求函数的最大值；
练习：1、已知，求函数的最小值；
题目2、已知，求函数的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
题目1、当时，求的最大值；
变式1：当时，求的最大值；
变式2：设，求函数的最大值。
题目2、若，求的最大值；
变式：若，求的最大值；
题目3、求函数的最大值；
变式：求函数的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
题目1、已知，求的最小值；
变式1：已知，求的最小值；
变式2：已知，求的最小值；
变式3：已知，且，求的最小值。
变式4：已知，且，求的最小值；
变式5：
（1）若且，求的最小值；
（2）若且，求的最小值；
变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；
变式7：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（ ） ( )．
A. B. C．5 D．6
变式8：设若的最小值为 （ ）．
A． B．1 C．4 D．8
变式9：已知，且，则的最小值为
变式10：已知，，，求的最小值.
变式11：求的最小值
变式12：已知，求函数的最小值
变式13：设正实数 满足的最小值为 ．
变式14：【2013天津理】设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.
变式15：设 满足，则的最小值为 ．
变式16：已知且，则的最小值是 .
题型六：分离换元法求最值（了解）
题目1、求函数的值域；
变式：求函数的值域；
题目2、求函数的最大值；
变式：求函数的最大值；
题型七：基本不等式的综合应用
题目1、已知，求的最小值
题目2、已知，求的最小值；
变式1：（2010四川）如果，求关于的表达式的最小值；
变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；
变式3：【2017天津】若，则的最小值为
题目3、已知，，求最小值；
变式1：已知，满足，求范围；
变式2：已知，，求最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：已知，，求最大值；
题目4、（2013年山东（理））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（ ） （ ）
A． B． C． D．
变式：设是正数，满足，求的最小值；
题型八：利用基本不等式求参数范围
题目1、已知，且恒成立，求正实数的最小值；
2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）
变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
若，则
2、二维形式的柯西不等式的变式
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
4、三维柯西不等式
若，则有：
5、一般维柯西不等式
设是两组实数，则有:
【题型归纳】
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
题目1、设，若，则的最小值为 时，
析：
∴最小值为
此时
∴ ，，
题目2、设，，求的最小值，并求此时之值。
：
题目3、设，，求之最小值为 ，此时
（析：）
题目4、已知则的最小值是 ()
题目5、设,且满足:,,求的值；
题目6、求 的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为 -）
析：令 = (2sinq，cosq，- cosq)，= (1，sinf，cosf)
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