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课时作业9 对数与对数函数
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
解析：由已知得
∴即x>－且x≠0，∴选C.
答案：C
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
答案：A
3．(2022·宝鸡模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1
C．1<a<2 D．a≥2
解析：由于y＝x2－ax＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值，故要使函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a>1，且>0，得1<a<2，故选C.
答案：C
4．若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图像如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图像是( )
解析：由已知函数f(x)＝loga(x＋b)的图像可得0<a<1，0<b<1.则g(x)＝ax＋b的图像由y＝ax的图像沿y轴向上平移b个单位而得到，故选B.
答案：B
5．(2021·全国理，5)函数f(x)＝log2(1＋)(x>0)的反函数f－1(x)＝( )
A.(x>0) B.(x≠0)
C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x>0)
解析：y＝log2(1＋)，∴x>0，∴>0，
∴1＋>1，即y>0.
1＋＝2y，∴＝2y－1，
∴x＝.
∴反函数为y＝(x>0)．
答案：A
6．(2021·新课标Ⅱ理，8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：∵a＝log36＝1＋＝1＋log32，
b＝log510＝1＋log52，
c＝log714＝1＋log72，
又log32>log52>log72，∴a>b>c.
答案：D
7．(2022·东北三校第一次联考)已知函数f(x)＝log|x－1|，则下列结论正确的是( )
A．f<f(0)<f(3)
B．f(0)<f<f(3)
C．f(3)<f<f(0)
D．f(3)<f(0)<f
解析：依题意得f(3)＝log2，f＝log，f(0)＝log1，又log2<log<log1，所以f(3)<f<f(0)．故选C.
答案：C
8．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知当x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0
C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0
解析：f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，由x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)是增函数且f(x)>0，得函数f(x)在(2,3)上也为增函数且f(x)>0，而直线x＝2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1,2)上是减函数，且f(x)>0，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
解析：f(2)＝10－2，f(f(－2))＝f(10－2)＝lg10－2＝－2.
答案：－2
10．函数f(x)＝的图像如图所示，则a＋b＋c＝________.
解析：由图像可求得a＝2，b＝2，又易知函数y＝logc的图像过点(0,2)，进而可求得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案：
11．已知函数f(x)＝则函数f(log23)的值为________．
解析：由于log23<log24＝2.
由题意知函数f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝()log26＝.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知函数f(x)＝log (a2－3a＋3)x.
(1)推断函数的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝log (a2－3a＋3)x的定义域为R.
又f(－x)＝log (a2－3a＋3)－x
＝－log (a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)＝log (a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，
由指数函数的单调性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.
所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)．
(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga在定义域上是奇函数；
(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范围．
解：(1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)＝loga在定义域上是奇函数．
(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，
①当a>1时，
∴>>0对x∈[2,4]恒成立．
∴0<m<(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．
设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]
则g(x)＝－x3＋7x2＋x－7.
g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋.
∴当x∈[2,4]时，g′(x)>0.
∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15.
∴0<m<15.
14．已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数a，b使题中条件成立，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴x＝1时，f(x)取得最小值1，
∴log3＝1，∴a＋b＝2.
∵f(x)在(0,1)上是减函数，
设0<x1<x2<1，
∴f(x1)>f(x2)恒成立，
即>恒成立，
整理得>0恒成立．
∵0<x1<x2<1，x1－x2<0，x1x2>0，
∴x1x2－b<0恒成立，即x1x2<b恒成立．
而x1x2<1，∴b≥1.
同理，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1.
故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件．
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