八年级数学不等式的基本性质2教学教材.doc

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第二节 不等式的基本性质
1.2不等式的基本性质—目标导引
1.历经不等式基本性质探索，进一步体会不等式与等式的区别.
2.掌握并能灵活运用不等式的基本性质
1.2不等式的基本性质—内容全解
1.不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向.
2.等式性质与不等式性质的区别
其最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变

第二课时
●课 题
§1.2 不等式的基本性质
●教学目标
（一）教学知识点
1.探索并掌握不等式的基本性质；
2.理解不等式与等式性质的联系与区别.
（二）能力训练要求
通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.
（三）情感与价值观要求
通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与
交流.
●教学重点
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.
●教学难点
能根据不等式的基本性质进行化简.
●教学方法
类推探究法
即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质.
●教具准备
投影片两张
第一张：（记作§1.2 A）
第二张：（记作§1.2 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
［生］记得.
等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.
Ⅱ.新课讲授
1.不等式基本性质的推导
［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.
［生］∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a＜5+a
3－a＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.
［生］∵3＜5
∴3×2＜5×2
3×＜5×.
所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.
［生］不对.
如3＜5
3×（－2）＞5×（－2）
所以上面的总结是错的.
［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.
［生］如3＜4
3×3＜4×3
3×＜4×
3×（－3）＞4×（－3）
3×（－）＞4×（－）
3×（－5）＞4×（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.
［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变.
［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用.
2.用不等式的基本性质解释＞的正确性
［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有＞存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？
［生］∵4π＜16
∴＞
根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得
＞
3.例题讲解
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5＞－1;
（2）－2x＞3;
（3）3x＜－9.
［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
x＞－1+5
即x＞4;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得
x＜－;
（3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得
x＜－3.
说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.
4.议一议
投影片（§1.2 A）
讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;
（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c;
（3）如果a＜b,那么ac＜bc;
（4）如果a＜b,且c≠0,那么＞.
［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.
本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.
［生］（1）正确
∵a＜b，在不等式两边都加上c，得
a+c＜b+c;
∴结论正确.
同理可知（2）正确.
（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得
ac＜bc,
所以正确.
（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得
＜
所以结论错误.
［师］大家同意这位同学的做法吗？
［生］不同意.
［师］能说出理由吗？
［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号.而结论ac＜bc.只指出了其中一种情况，故结论错误.
在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0,则有＜,若 c＜0，则有＞,而他只说出了一种情况，所以结果错误.
［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？
［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.
［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.
［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.
区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.
联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.
Ⅲ.课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2 （2）－x＜
［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3
（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得
x＞－
2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6;
（2）3x＜3y;
（3）－2x＜－2y.
解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.
∴不等式不成立；
（2）∵x＞y,∴3x＞3y
∴不等式不成立；
（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y
∴不等式一定成立.
投影片（§1.2 B）
3.设a＞b,用“＜”或“＞”号填空.
（1）a+1 b+1;（2）a－3 b－3;
（3）3a 3b;（4） ;
（5）－ －;（6）－a －b.
分析：∵a＞b
根据不等式的基本性质1，两边同时加上1或减去3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号的方向不变；
在（3）、（4）中根据不等式的基本性质2，两边同时乘以3或除以4，不等号的方向
不变；
在（5）、（6）中根据不等式的基本性质3，两边同时乘以－或－1，不等号的方向
改变.
解：（1）a+1＞b+1;（2）a－3＞b－3;
（3）3a＞3b;（4）＞;
（5）－＜－;（6）－a＜－b.
Ⅳ.课时小结
1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.
2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.
Ⅴ.课后作业
习题1.2
Ⅵ.活动与探究
1.比较a与－a的大小.
解：当a＞0时，a＞－a;
当a=0时，a=－a;
当a＜0时，a＜－a.
说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.
2.有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？
解：原来的两位数为10b+a.
调换后的两位数为10a+b.
根据题意得10a+b＞10b+a.
根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b
两边同时减去b，得9a＞9b
根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b.
●板书设计
§1.2 不等式的基本性质
1.不等式的基本性质的推导.
2.用不等式的基本性质解释＞.
3.例题讲解.
4.议一议
练习
小结
作业
●备课资料
参考练习
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1;
（3）x＞5;（4）－4x＞3.
2.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3 b－3;（2） ;
（3）－4a －4b;（4）5a 5b;
（5）当a＞0,b 0时，ab＞0;
（6）当a＞0,b 0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b 0时，ab＞0;
（8）当a＜0,b 0时，ab＜0.
参考答案：
1.（1）x＜5;（2）x＜－1;
（3）x＞10;（4）x＜－.
2.（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.

●迁移发散
迁移
1.若a＜b，则下列不等式中成立的是哪些，说明理由.
①－3+a＜－3+b
②－3a＜－3b
③－3a－1＜－3b－1
④－3a+1＞－b+1
解：在已知条件下成立的有①，其余皆错.
错因：②在a＜b的条件下，根据不等式的基本性质3应有－3a＞－3b；
③基本上同②；
④在a＜b条件下，由不等式的基本性质，两边必须加(减、乘、除)同一个整式或数.
2.判断x=－能否满足不等式3－2x＜5+6x，x=－1呢？
解：将x=－代入得：
3－2×(－)＜5+6×(－)
3+＜5－，
∴x=－满足不等式3－2x＜5+6x
当x=－1时，代入不等式得：
3－2×(－1)＜5+6×(－1)，3+2＜5－6，5＜－1
显然不能成立.
∴x=－1不能满足不等式3－2x＜5+6x.
发散
本节我们用到了我们以前学过的知识如下：
等式的基本性质1：等式的两边都加上(或都减去)同一个整式，等式仍成立.
等式的基本性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，等式仍成立.

●方法点拨
［例1］判断下列各运算运用了不等式的哪一条性质.
①∵2＜3 ∴2×5＜3×5
②∵2＜3 ∴2+x＜3+x
③∵2＜3 ∴2×(－1)＞3×(－1)
解：①运用了不等式的性质2.
②运用了不等式的性质1.
③运用了不等式的性质3.
［例2］判断下列运算是否正确，请说明理由.
∵2＜3 ∴2a＜3a.
点拨：在此没有说明a的取值，所以要分三种情况讨论.即a＞0，a=0，a＜0.
解：此运算错误.
当a＞0时，则有2a＜3a.
当a=0时，不等式不成立.
当a＜0时，则有2a＞3a.
［例3］根据不等式的性质.把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式.
(1)2x－15＜5
(2)3x＞2x+1
(3)3x+1＜5x－2
(4)x＞x+1.
解：(1)先由不等式基本性质1，两边都加15得：2x＜5+15.即2x＜20.
再由不等式基本性质2，两边都乘以得：x＜10.
(2)由不等式的基本性质1，两边都减去2x得：3x－2x＞1.即x＞1.
(3)先由不等式的基本性质1，两边都加上－5x－1得：3x－5x＜－2－1，即－2x＜－3.
再由不等式的性质3，两边都除以－2得：x＞(注意不等号变向).
(4)先由不等式的基本性质1，两边都减去x得：x－x＜1，即x＜1.
再由不等式的基本性质2，两边都乘以得：x＜.
［例4］在下列横线上填上适当的不等号(＞或＜)
(1)如果a＞b，则a－b__________0.
(2)如果a＜b，则a－b__________0.
(3)如果2x＜x，则x__________0.
(4)如果a＞0，b＜0，则ab__________0.
(5)如果a+b＞a，则b__________0.
(6)如果a＞b，则2(a－b)__________3(a－b).
解：(1)＞ (2)＜ (3)＜ (4)＜ (5)＞ (6)＜

●作业指导
随堂练习
1.解：(1)先由不等式的基本性质1，两边加1得：4x＞2+1.
即4x＞3.再由不等式基本性质2，两边都除以4得：x＞.
(2)由不等式的基本性质3，两边都乘以－1得：x＞－.
2.解：(1)不成立.
(2)不成立.
(3)由不等式的基本性质3得成立.
习题1.2
1.解：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜
2.解：(1)先由不等式的基本性质1，两边都减去3得：5x＜－1－3
即5x＜－4.
再由不等式的基本性质2，两边都除以5得：x＜－.
(2)由不等式的基本性质3，两边都乘以－3得：x＜－15.
试一试
解：当a＞0时，2a＞a；当a=0时2a=a；当a＜0时，2a＜a.

§1.2 不等式的基本性质

●温故知新
想一想，做一做
填空1.等式的两边都加上或都减去__________，结果仍是等式.
2.等式两边都乘以或除以__________，结果仍是等式.
3.用__________连接而成的式子叫做不等式.
4.①若a为非负数，则a__________(列出不等式).
②若a为非正数，则a__________.
③若a不小于3，则a__________.
④若a不大于－3，则a__________.
你做对了吗？我们一起来对对答案:
1.同一个整式 2.同一个不为零的整式 3.“＜” “≤” “＞” “≥”
4.①≥0 ②≤0 ③≥3 ④≤－3
看看书，动动脑
填空1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等式的方向__________.
2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向__________.
3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向__________.

2.不等式的基本性质

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理解并掌握不等式的基本性质，会运用不等式的基本性质有根据地进行不等式的变形.
一、选择题
1.若a+3＞b+3，则下列不等式中错误的是( )
A.－ B.－2a＞－2b
C.a－2＜b－2 D.－(－a)＞－(－b)
2.若a＞b，c＜0，则下列不等式成立的是( )
A.ac＞bc B.
C.a－c＜b－c D.a+c＜b+c
3.有理数a、b在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a、b之间的关系表达不正确的是( )

图1
A.b－a＞0 B.ab＞0
C.c－b＜c－a D.
4.已知4＞3，则下列结论正确的是( )
①4a＞3a ②4+a＞3+a ③4－a＞3－a
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
5.下列判断中，正确的个数为( )
①若－a＞b＞0，则ab＜0
②若ab＞0，则a＞0，b＞0
③若a＞b，c≠0，则ac＞bc
④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2
⑤若a＞b，c≠0，则－a－c＜－b－c
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题(用不等号填空)
6.若a＜b，则－3a+1________－3b+1.
7.若－x＞5，则x________－3.
8.若a＞b，c≤0，则ac________bc.
9.若=－1，则a－b________0.
10.若ax＞b，ac2＜0，则x________.
三、解答题
11.指出下列各题中不等式变形的依据.
(1)由a＞3，得a＞6.
(2)由a－5＞0，得a＞5.
(3)由－3a＜2，得a＞－.
12.根据不等式性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式.
(1)x+7＞9
(2)6x＜5x－3
(3)x＜
(4)－x＞－1
13.如果a＞ab，且a是负数，那么b的取值范围是什么？
*14.已知m＜0，－1＜n＜0，试将m，mn，mn2从小到大依次排列.

参考答案
一、1.B 2.B 3.D 4.C 5.B
二、6＞ 7.＜ 8.≤ 9.＜ 10.＜
三、11.略
12.(1)x＞2 (2)x＜－3 (3)x＜2
(4)x＜
13.b＞1 14.m＜mn2＜mn

§1.2 不等式的基本性质（15分钟练习）
班级：_______ 姓名：_______
一、快速抢答
用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由：
(1)∵a>b
∴a－m________b－m( )
(2)∵a>2b
∴________b( )
(3)∵3m>5n
∴－m________－ ( )
(4)∵4a>5a
∴a________0( )
(5)∵－
∴m________2n( )
(6)∵2x－1<9
∴x________5( )
二、下列说法正确吗？
(1)若a<b，则ac2<bc2.（ ）
(2)若b<0，则a－b>a.（ ）
(3)若x>y,则x2>y2.（ ）
(4)若x2>y2,则x－2>y－2.（ ）
(5)3a一定比2a大.（ ）
三、认真选一选
(1)若m+p<p,m－p>m,则m、p满足的不等式是（ ）
A.m<p<0 B.m<p
C.m<0,p<0 D.p<m
(2)已知x>y且xy<0,a为任意实数，下列式子正确的是（ ）
A.－x>y B.a2x>a2y
C.a－x<a－y D.x>－y
(3)实数a、b满足a+b>0,ab<0,则下列不等式正确的是（ ）
A.|a|>|b| B.|a|<|b|
C.当a<0,b>0时，|a|>|b| D.当a>0,b<0时，|a|>|b|
四、根据不等式的性质，把下列不等式化为x>a或x<a的形式
(1)
(2)－0.3x>0.9
(3)x+≤－
(4)4x≥3x+
参 考 答 案
一、（1）＞，不等式的性质1
（2）＞，不等式的性质2
（3）＜，不等式的性质3
（4）＜，不等式的性质1
（5）＞，不等式的性质3
（6）＜，不等式的性质1和2
二、(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
三、（1）C （2）C （3）D
四、（1）x＜－2 (2)x＜－3 (3)x≤－－ (4)x≥

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