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第二章：实数
一、基础测试
1．算术平方根：如果一个正数x 等于a，即x2=a，那么这个x正数就叫做a的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x的 等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式），正数a的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根．
特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．
3．立方根：如果一个数x的 等于a，即x3= a，那么这个数x就叫做a的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类
5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．
6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a的相反数为______；若a,b互为相反数，则a+b=______；非零实数a的倒数为_____(a≠0)；若a，b互为倒数，则ab=________。
7.
8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．
二、专题讲解：
专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念
若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。
【例1】的平方根是______
【例2】的平方根是_________
【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．
【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【例5】（2010年四川省眉山市）计算的结果是
A．3 B． C． D． 9
专题2 实数的有关概念
无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：等，开方开不尽的数，如等；特定结构的数，例0.010 010 001…等；某些三角函数，如sin60º，cos45 º等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。
【例1】在实数中－，0，，－3.14，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】（2010年浙江省东阳县） 是
A．无理数 B．有理数 C．整数 D．负数
专题3 非负数性质的应用
若a为实数，则均为非负数。
非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0。
【例1】已知(x-2)2+|y-4|+=0，求xyz的值．
【例2】(2010年安徽省B卷)2．已知，且，以a、b、c为边组成的三角形面积等于（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
专题4 实数的比较大小(估算)
正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．
【例1】(2010年浙江省金华)在 -3，－， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）
A. -3 B.－ C. －1 D. 0
【例2】二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A． B．a≤1 C．a≥1 D．
专题5 二次根式的运算
二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等．
【例1】计算所得结果是______．
【例2】阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17
⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质： ________
专题6 实数的混合运算
实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来．解决这类问题应明确各种运算的含义(，运算时注意各项的符号，灵活运用运算法则，细心计算。
【例1】计算：（1）（3 （2）
【例2】（2010年福建省晋江市）计算：
三、针对性训练：
（一）选择题
1. (2010年浙江省金华)据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万﹒用科学记数法表示数35.6万是（ ）
A．3.56×101 B．3.56×104 C．3.56×105 D．35.6×104
2．(2010重庆市) 3的倒数是（）
A． B．— C．3 D．—3
3．（2010江苏泰州，3，3分）据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法可表示为（ ）
A.亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩
4.(2010年安徽省B卷)1．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．C． D．
5．(2010年北京崇文区) 的倒数是（ ）
A． B． C． D． 3
6. (2010年山东聊城)无理数－的相反数是（）
A．－ B． C． D．－
7.（2010年台湾省）图(五)数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c。根据图中各点位置，判断下列各式何者正确？
(A) (a-1)(b-1)>0 (B) (b-1)(c-1)>0 (C) (a+1)(b+1)<0 (D) (b+1)(c+1)<0
A
B
C
O
a
b
c
0
-1
1
图(五)
（二）填空题
A
B
8．（2010江西）按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则给出的值为 ．
输入x
平方
乘以3
输出x
减去5
9. （2010年浙江省东阳县）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．
10. （2010年安徽中考）计算：_______________.
11、（2010年宁波市）实数4的算术平方根是_________。
12.(2010福建泉州市惠安县)计算：20100=____________.
13、（2010年宁波）实数4的算术平方根是_________。
14、（2010盐城）4的算术平方根是
（三）解答题
15．(2010年重庆)计算：．
16.（2010年四川省眉山）计算：
17．（2010浙江省喜嘉兴市）计算：|－2|＋()0；
18．（2010年浙江台州市）（1）计算：；
19（2010年浙江省东阳县）计算：
20.（2010江苏泰州，19⑴，8分）计算：(1)；
21.(2010年浙江省绍兴市)（1）计算: ||;
22.（2010年四川省眉山市）计算：
23．（2010年浙江省东阳市）（6分）计算：
24. (2010年兰州市)（1）（本小题满分4分）—+
25.(2010福建泉州市惠安县)计算：
26.(2010年安徽省B卷)17.（第1小题6分）（1）计算：．
27．（2010年门头沟区）计算：．
28.（2010年山东省济南市）计算：－4cos30°－3+()0
《实数》
一、选择题：
1、的平方根是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列说法错误的是 ( )
A、无理数的相反数还是无理数 B、无限小数都是无理数
C、正数、负数统称有理数 D、实数与数轴上的点一一对应
3、下列各组数中互为相反数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、数是( )
A、有限小数 B、有理数 C、无理数 D、不能确定
5、在下列各数：、、、、、、、中，无理数的个数是 ( )
A、2 B、3 C、4 D、5
6、一个长方形的长与宽分别时6cm、3cm，它的对角线的长可能是( )
A、整数 B、分数 C、有理数 D、无理数
7、满足的整数是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、当的值为最小值时， 的取值为（ ）
A、－1 B、0 C、 D、1
9、如图，线段、，那么，线段的长度为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、的平方根是， 64的立方根是，则的值为（ ）
A、3 B、7 C、3或7 D、1或7
二、填空题：
11、平方根等于本身的实数是 。
12、化简： 。
13、的平方根是 ；125的立方根是 。
14、一个正方形的边长变为原来的倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的倍，则棱长变为原来的 倍。
15、估计的大小约等于 或 （误差小于1）。
16、若，则＝ 。
17、我们知道，黄老师又用计算器求得：、、、、…， 则计算等于 。
18、比较下列实数的大小（在 填上 > 、< 或 ＝）
① ； ② ；③ 。
19、如图，在网格图中的小正方形边长为1，则图中的的面积等于 。
20、如图，图中的线段AE的长度为 。
三、计算题：
21、化简： 22、
23、化简： 24、化简：
25、化简： 26、化简：
27、求值： 28、求值：
29、已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值。
30、已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：b
a
0
试化简：－｜a＋b｜
31、已知：字母、满足，
求 的值？
32、如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD=2.3米，CD=2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由。
一、耐心填一填，一锤定音! (本大题共12小题，每小题2分，共24分)
2. 下列各数，，，中，无理数共有 个.
3. 在数轴上和原点距离等于的点表示的数是 ．
4. 平方根是 ．算术平方根是 ．
5. 一个数的立方根等于它本身，这个数是 ．
6. 比较大小： 17， .
7. 比大的负整数的和为 ．比大的实数是 ．
8. 与的大小关系为 ．
9. 已知一个数的平方根为与，则这个数是 ．
10. ，则．
11. 已知实数x，y满足,则的值是 ．
12. 请你观察思考下列计算过程．
由此猜想：．
二、精心选一选，慧眼识金！(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
13. 三个实数，，之间的大小关系为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
15. 下列说法正确的有（ ）
⑴一个数立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根
⑵的平方根是，立方根是
⑶表示的平方根，表示的立方根
⑷不一定是负数
Ａ．⑴⑶ Ｂ．⑵⑷ Ｃ．⑴⑷ Ｄ．⑴⑶⑷
16. 给出下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③；④是无理数；⑤一个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（ ）
Ａ．①③⑤ Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．①
17. 开立方所得的数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
19. 以下四个命题
①若是无理数，则是实数；②若是有理数，则是无理数；③若是整数，则是有理数；④若是自然数，则是实数．其中，真命题的是（ ）
Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④
20. 已知实数满足，则的值是（ ）
Ａ．1991 Ｂ．1992 Ｃ．1993 Ｄ．1994
三、用心做一做，马到成功！（本大题共8小题，第26题10分，其余每小题6分，共52分）
22.计算： 23．计算：
24.已知： ，求的值. 25.已知： ，求的值.
26.若实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：
．
27.已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求的值。
28.平面内有三个点，它们的坐标分别为A（1，），B（3，），C（2，）。
（1）依次连接A、B、C围成的三角形是一个什么图形?
（2）求这个图形的面积。
实数整章水平测试题
一、选择题：
1、在实数中，其中无理数的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
2、的算术平方根为（ ）
A、4 B、 C、2 D、
3、下列语句中，正确的是（ ）
A、无理数都是无限小数 B、无限小数都是无理数
C、带根号的数都是无理数 D、不带根号的数都是无理数
4、若为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）－64的立方根是－4；（2）49的算术平方根是；（3）的立方根为；（4）是的平方根。
A、1 B、2 C、3 D、4
6.估算的值在
A. 7和8之间 B. 6和7之间
C. 3和4之间 D. 2和3之间
7、下列说法中正确的是（ ）
A、若为实数，则 B、若为实数，则的倒数为
C、若为实数，且，则 D、若为实数，则
8、若，则中，最小的数是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、下列各组数中，不能作为一个三角形的三边长的是（ ）
A、1、1000、1000 B、2、3、 C、 D、
二、填空题：
1. 和数轴上的点一一对应.
2.若实数满足，则．
3、如果，，那么的值等于 ．
4.（内江课改）有若干个数，依次记为，若，从第２个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则 ．
5.比较大小： ； ．
6.
如图，数轴上的两个点所表示的数分别是，在，，，中，是正数的有 个．
7.若是4的平方根，则＿＿＿＿＿＿，若－8的立方根为，则y=________.
8、计算：的结果是＿＿＿＿＿＿。
9.用“”定义新运算：对于任意实数，，都有．例如，，那么 ；
当为实数时， ．
三、1. 计算：
2.实数在数轴上的位置如图所示，化简：.
3. 如图，数轴上点表示，点关于原点的对称点为，设点所表示的数为，求的值．
4.已知某数的平方根为，求这个数的是多少？
5、阅读题
先阅读理解，再回答下列问题：
因为，且，所以的整数部分为1；
因为，且，所以的整数部分为2；
因为，且，所以的整数部分为3；
以此类推，我们会发现为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由。
实数整章水平测试题答案：
一、1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 6.D 7、D 8、D 9、C
二、1.实数 2.－1 3.或 4. 5. ； 6. 1
7. 1 8.1 9. 10，26 10.
三、1. 答案：解： 原式= 1+4×12 （上面四个数中每计算正确一个得1分）= 1+42 。
2. b3. 答案：解：点表示的数是，且点与点关于原点对称，
· 点表示的数是，即
·
4. 49
实数
一.选择题（每小题3分，共30分）
1.实数等于它的倒数，实数等于它的相反数，则（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.2
2.下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. (2008年永州) 下列判断正确的是（ ）答案:A
A． ＜＜2 B． 2＜＋＜3
C． 1＜－＜2 D． 4＜·＜5
4.下列说法正确的有（ ）
①无理数包括正无理数，0和负无理数；②无理数都可以用数轴上点表示；③数轴上点表示无理数；④实数与数轴上点是一一对应关系.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.实数a和它的相反数的差的绝对值是（ ）
A.2a B.0 C.－2a D.
6.已知实数与互为相反数，则（ ）
A.为任意实数 B.为非正实数 C.为非负实数 D.等于0
7.若的值是（ ）
A.0 B.2 C.0或－2 D.0或2
8.一个数的算术平方根是，比这个数大5的数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
9.若的值为（ ）
A.0 B.－10 C.0或10 D.10或－10
10.已知：
A. B.
C. D.
二.填空题（每小题3分，共30分）
11.的平方根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12.一个正数的两个平方根是，则.
13.当时，的值最大是＿＿＿＿＿.
14.平方根与立方根相同的数为，立方根与算术平方根相同的数为，则的立方根是＿＿＿＿＿＿＿.
15.在,其中是无理数的是＿＿＿＿＿＿＿.
16.已知为实数，且，则a＋b的绝对值为＿＿＿＿.
17.在数轴上到原点距离等于的所有点所表示的数是＿＿＿＿.
18.若
19.实数满足，则a＋b的立方根为＿＿＿＿.
20.已知互为相反数，互为倒数，的倒数等于它的本身，则的结果等于＿＿＿＿＿＿.
三.解答下列各题：（共60分）
21.（每小题4分，共8分）计算与化简
①
②
22.（6分）薛老师在讲“实数”这节时，画了如图所示，即以数轴的单位线段为边作一个正方形，再以O为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴交于点A，作这样的图是用来说明什么？
23.（8分）如果是非零实数，且
（1）求的值.
（2）本题采用的数学思想是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
24.（8分）已知某商品的价格由180元逐年下降，到第四年销售价已经变成了原来的，假设每年下降的百分比是一样的，试求该商品每年下降的百分比。（已知，结果精确到）
25.（9分）张奶奶新买了一套两室一厅的住房，将原边长为1米的方桌换成边长是1.3米的方桌，为使新方桌有块桌布，既能利用原边长为1米的桌布，又节约开支且能美观，问在读八年级的孙子小刚有什么办法，聪明的小刚想了想说：“奶奶，您再去买回原来一样的桌布，按照如图所示做就行了.
小刚的做法对吗？为什么？
你还有其它方法吗？画出图形.
26.（9分）若，求的值.
27.观察（8分）
猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；那么呢？
28.（8分）探索题
细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：
；；；…….，……
（1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律
（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：＿＿＿＿＿＿＿。
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