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力的合成与分解
【典型例题】
类型一、求合力的取值范围
例1、物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用,下列几组力的合力不可能为零的是( )
A.5 N,7 N,8 N
B.5 N,2 N,3 N
C.1 N,5 N,10 N
D.10 N,10 N,10 N
【答案】C
【解析】分析A､B､C､D各组力中,前两力合力范围分别是:2 N≤F合≤12 N,第三力在其范围之内:3 N≤F合≤7 N,第三力在其合力范围之内;4 N≤F合≤6 N,第三力不在其合力范围之内;0≤F合≤20 N,第三力在其合力范围之内,故只有C中第三力不在前两力合力范围之内,C中的三力合力不可能为零.
【点评】共点的三个力的合力大小范围分析方法是:这三个力方向相同时合力最大,最大值等于这三个力大小之和;若这三个力中某一个力处在另外两个力的合力范围中,则这三个力的合力最小值是零.
举一反三
【变式】一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？
【答案】0≤F≤24 N
类型二、求合力的大小与方向
例2、如图所示，物体受到大小相等的两个拉力作用，每个拉力都是20 N，夹角是60°，求这两个力的合力．

【解析】　本题给出的两个力大小相等，夹角为60°，所以可以通过作图和计算两种方法计算合力的大小．
解法1(作图法)：取5 mm长线段表示5 N，作出平行四边形如图甲所示，量得对角线长为35 mm.合力F大小为35 N，合力的方向沿F1、F2夹角的平分线．

解法2(计算法)：由于两个力大小相等，所以作出的平行四边形是菱形，可用计算法求得合力F，如图乙所示，
【点评】力的合成方法有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋.“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确.
【高清课程：力的合成与分解 例2】
例3、如左图在正六边形顶点A分别施以F1～F5 5个共点力，其中F3=10N，A点所受合力为 ；如图，在A点依次施以1N～6N，共6个共点力．且相邻两力之间夹角为600，则A点所合力为 。

【答案】30N，方向与F3相同；6N
【解析】对于左图，依据正六边形的性质及力的三角形作图法，不难看出，、、可以组成一个封闭三角形，即可求得和的合力必与相同。同理可求得,的合力也与相同。所求五个力的合力就等效为三个共点同向的的合力，即所求五个力的合力大小为30 N，方向沿的方向（合力与合成顺序无关）。
对于右图，先将同一直线上的三对力进行合成,可得三个合力均为3 N,故总合力为6N.
【点评】巧用物理概念、物理规律和物理方法做出平行四边形去分析、研究、推理和论证，合理地选择合成的顺序就使解题思路过程变得极为简单明了、巧妙而富有创意。
类型三、按力的实际作用效果分解力
例4、如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡柱，挡板A沿竖直方向．挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球压力的大小之比为__________，斜面受到两个小球压力大小之比为__________.

【答案】
【解析】本题考查的是如何根据实际效果分解重力，应注意球与接触面间作用力的特点．
球1重力分解如图甲所示，， ；
球2重力分解如图乙所示，，.

所以，挡板A、B所受压力之比：
斜面受两球压力之比：
【点评】(1)弹力的方向一定与接触面或接触点的切面垂直.(2)力产生的作用效果是进行力的分解的重要依据，根据作用效果先判断分力的方向，再用平行四边形定则求解.
举一反三
【变式】质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁的分力F1,二是使球拉紧悬线的分力F2.则：,

题型四、正交分解法的应用
例5、质量为m的木块，在与水平夹角为θ的推力F作用下，沿水平地面做匀速运动，如图所示．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力应为 (　　)

A．μmg
B．μ(mg＋Fsinθ)
C．μ(mg－Fsinθ)
D．Fcosθ
【答案】BD
【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、支持力FN、摩擦力Ff、推力F，建立如图所示的坐标系，因木块做匀速运动，所有：

Fcosθ＝Ff
FN＝mg＋Fsinθ
又∵Ff＝μFN
∴Ff＝μ(mg＋Fsinθ)，故BD答案是正确的．
【评价】在对实际问题的求解中，可以用合成法，也可以用分解法，还可以用正交分解法，要善于根据题目要求，灵活选择解题方法,一般来说，在研究多个共点力作用的力学问题时，选用正交分解法比较方便.
举一反三
【变式1】如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为 (　　)

【答案】A
类型五、力的合成与分解的实际应用
例6、如图所示,质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点,轻杆OB可绕B点转动,求细绳OA中张力F的大小和轻杆OB受力N的大小.

【答案】
【解析】由于悬挂物的质量为m,绳OC拉力的大小为mg,而轻杆能绕B点转动,所以轻杆在O点所受的压力N将沿杆的方向(如果不沿杆的方向杆就要转动),将绳OC的拉力沿杆和OA方向分解,可求得 ,.
【点评】在物体平衡中,有些题目是相似的,但实质是完全不同的,如审题时不认真,盲目地用相同的方法去求解就会出错,对于固定轻杆与转动轻杆来说,转动轻杆产生的弹力一定沿杆的方向,如果不沿杆的方向时就要转动;而固定轻杆产生的弹力不一定沿杆的方向,因为杆不可转动.
举一反三
【高清课程：力的合成与分解 例4】
【变式】求图中两种情况下，轻绳的拉力T和轻杆中的弹力N。

【答案】（1）
（2）
【巩固练习】
一、选择题：
1．有两个共点力，F1＝2 N，F2＝4 N，它们合力F的大小可能是(　　)
A．1 N　　　　　　　　　 B．5 N
C．7 N D．9 N
2．王飞同学练习单杠时，两臂平行握住单杠，在他两臂逐渐分开的过程中，手臂的拉力(　　)
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．先变小，后变大 D．先变大，后再变小
3．F1、F2合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F2的大小不变，而将F2的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是(　　)
A．F1一定大于F2
B．F1可能小于F2
C．F2的方向与水平面成30°角
D．F1方向与F2的方向成60°角
4．我国自行设计建造的世界第二斜拉索桥——上海南浦大桥，桥面高46 m，主桥全长845 m，引桥全长7500 m，引桥建得这样长的目的是(　　)
A．增大汽车上桥时的牵引力
B．减小汽车上桥时的牵引力
C．增大汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力
D．减小汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力
5．如图甲为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O、a、b、c、d……为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe，bOg均成120°向上的张角，如图乙所示，此时O点受到的向下的冲击力大小为F，则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为(　　)

A．F B.
C．F＋mg D.
6．如图所示，两根轻绳AO与BO所能承受的最大拉力大小相同，轻绳长度AO<BO，若把所吊电灯的重力逐渐增大，则(　　)

A．AO绳先被拉断
B．BO绳先被拉断
C．AO绳和BO绳同时被拉断
D．条件不足，无法判断
7．人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，如图所示，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．绳的拉力不断增大
B．绳的拉力保持不变
C．船受到的浮力保持不变
D．船受到的浮力不断减小
8．如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住．

在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，轴心对定滑轮的支持力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则(　　)
A．FT1＝FT2＝FT3，FN1>FN2>FN3
B．FT1>FT2>FT3，FN1＝FN2＝FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3
D．FT1<FT2<FT3，FN1<FN2<FN3
二、计算题
1．如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？

2．如图为曲柄压榨机结构示意图，A处作用一水平力F，OB是竖直线．若杆和活塞重力不计，两杆AO与AB的长度相同；当OB的尺寸为200，A到OB的距离为10时，求货物M在此时所受压力为多少？

3．在医院里常用如图所示装置对小腿受伤的病人进行牵引治疗．不计滑轮组的摩擦和绳子的质量，绳子下端所挂重物的质量是5 kg，问：
(1)病人的腿所受水平方向的牵引力是多大？
(2)病人的脚和腿所受的竖直向上的牵引力共是多大？(g取10 N/kg)

【答案与解析】
一、选择题：
1．B
解析：由|F1－F1|≤F≤|F1＋F2|知，B选项正确．
2．A
解析：当两臂夹角为θ时，手臂的拉力为F，则
，所以
当θ变大时，减小，F变大，故A正确．
3．AC
解析：由于合力始终向下，可知F2与F2′的水平分力相同．故F2与F2′关于水平方向对称．所以F2与水平方向成30°，设F1与竖直方向成α，如图所示．

对各力进行分解可得： F1sinα＝F2cos30°①
F1cosα>F2sin30°②
由①2＋②2得：F12>F22.即F1>F2.
4．D
解析：引桥越高，斜面倾角θ越小，重力沿斜面方向的分力F＝mgsinθ越小，故D对．
5．B
解析：对O点进行受力分析，O点受到竖直向下的冲力F和斜向上的网绳的拉力，设每根网绳的拉力大小为F1，由力的合成与分解的知识可知，dOe和bOg竖直向上的拉力都为F1，由2F1＝F得，故B对．
6．A
解析：物体对O点拉力等于物体重力，此力有两个效果：一是使AO绳拉紧；二是使BO绳拉紧．按效果把物体对O点的拉力分解，通过作图可得AO绳受的力大于BO绳受的力．
7．AD
解析：分析船的受力情况如图所示，船匀速靠岸的过程中，.Ff不变，α增大，cosα减小．所以FT增大，A正确，B错误；拉力FT竖直向上的分力为，因FT、α均增大，增大，那么船受到的浮力不断减小，所以C错误，D正确．

8．A
解析：由于定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以FT1＝FT2＝FT3.又轴心对定滑轮的支持力等于绳对其的合作用力．而已知两个分力的大小、其合力与两分力的夹角θ满足关系式：，θ越大，F越小，故FN1>FN2>FN3，只有选项A正确．
二、计算题
1．5 N
解析：当OC下端所悬物重不断增大时，细线OA、OB所受的拉力同时增大．为了判断哪根细线先被拉断，利用假设，分别假设OA、OB达最大值时，看另一细线是否达到最大值，从而得到结果．可选O点为研究对象，其受力情况如图所示，

假设OB不会被拉断，且OA上的拉力先达到最大值，即F1＝10 N，根据平衡条件有，由于F2大于OB能承受的最大拉力，所以在物重逐渐增大时，细线OB先被拉断．
再假设OB线上的拉力刚好达到最大值(即F2max＝5 N)处于将被拉断的临界状态，根据平衡条件有F1·cos45°＝F2max，F1sin45°＝F3.
再选重物为研究对象，根据平衡条件有F3＝Gmax.
以上三式联立解得悬挂最大重物为
Gmax＝F2max＝5 N.
2．5F
解析：力F的作用效果是对AB、AO两杆产生沿杆方向的压力F1、F2，如图(a)．而F1的作用效果是对M产生水平的推力F′和竖直向下的压力FN，如图(b)，可得对货物M的压力．由图可得：

　而FN＝F1sinα
则
3．(1)93.3 N　(2)75 N
解析：因绳子中各处与其他物体没有结点，所以绳子中各处的张力(拉力)都等于所悬挂的重物的重力，即FT＝mg＝50 N.
将ab段的绳子拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示．

(1)由图知，病人的脚所受水平方向的牵引力：
F牵＝FT＋F水平＝50 N＋43.3 N＝93.3 N
(2)由图知，病人的脚和腿所受的竖直向上的牵引力：

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