2021届高考文科数学二轮复习提能专训6-平面向量、复数、程序框图及合情推理.docx

提能专训(六)　
平面对量、复数、程序框图及合情推理　
A组
一、选择题
1．(2022·济南统考)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　)

A．1　　　　 B.　　　　
C．2　　　　　　　　　　　 D．3
答案：B
解析：由题中图象可知，z1＝－2－2i，z2＝i，所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝.
2．(2022·陕西质检三)已知复数z1＝(2－i)i，复数z2＝a＋3i(a∈R)，若复数z2＝kz1(k∈R)，则a＝(　　)
A. B. C. D.
答案：A
解析：依题意，z1＝1＋2i，由z2＝kz1，得a＋3i＝k(1＋2i)，即有故a＝.

3．(2022·贵阳检测)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是(　　)
A. B．2
C．0 D．1
答案：A
解析：∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，
∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
4．(2022·长春二次调研)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－，故选A.
5．(2022·洛阳统考)设复数z＝(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则在复平面内i对应的点的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(1，－1) D．(－1，－1)
答案：C
解析：∵z＝＝－1＋i，∴i＝i(－1－i)＝1－i，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．
6．(2022·河南三市调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B. C. D.
答案：C
解析：由复数相等的充要条件，可得
化简，得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ，由于sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈.
7．(2022·郑州质检)如图，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝m＋2m，＝λ，则λ＝(　　)

A. B. C. D.
答案：D
解析：依题意，设＝n，则有－＝λ(－)，n－＝λ(－)，n(m＋2m)－＝λ(－)，即(mn＋λ－1)＋(2mn－λ)＝0；又与不共线，于是有解得λ＝，故选D.
8．(2022·福建质检)在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，假如存在非零平面对量a，对于任意点P∈Ω，都有点Q∈Ω，使得＝＋a，则称a为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：
①若平面点集Ω存在向量周期a，则ka(k∈Z，k≠0)也是Ω的向量周期；
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；
③若平面点集Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，则b＝(－1,2)为Ω的一个向量周期；
④若平面点集Ω＝{(x，y)|y＝|sin x|－|cos x|}，则c＝为Ω的一个向量周期．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：对于①，取Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，a＝(1,0)，则a为Ω的向量周期，但－a＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，取＝，由＝＋b＝＋(－1,2)＝，则Q∉Ω，∴b不是Ω的一个向量周期，故③是假命题；对于④，取P，＝＋c＝＋＝(π，1)，∴Q(π，1)，∵|sin π|－|cos π|＝－1≠1，∴Q∉Ω，∴c不是Ω的一个向量周期，故④是假命题．故选A.

二、填空题
9．(2022·湖北七市联考)若i为虚数单位，如图所示的网格纸中的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．
答案：－i
解析：由题图知，z＝2＋i，
则＝＝＝i，
其共轭复数是－i.
10．(2022·浙江名校联考)若a为实数，i为虚数单位，＝－i，则a等于________．
答案：－
解析：由＝－i，得
2＋ai＝－i(1＋i)，即2＋ai＝－i＋2，
∴a＝－.
11．(2022·洛阳统考)已知向量与的夹角为60°，且||＝3，||＝2，若点P在直线BC上，＝λ＋μ，且⊥，则＝________.
答案：6
解析：以A点为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)．设点P(x0，y0)，由⊥可求得，直线AP和BC的交点P的坐标为，由＝λ＋μ得，
λ＝，μ＝，所以＝6.
12．(2022·合肥八校联考)已知△OFQ的面积为S，且·＝1，若＜S＜，则，的夹角θ的取值范围是________．
答案：
解析：∵·＝||||cos θ＝1，又△OFQ的面积S＝||||sin(π－θ)
＝||||sin θ，
∴S＝tan θ，
∵＜S＜，∴1＜tan θ＜，
∴＜θ＜.
13．(2022·吉林长春第三次调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)(λ∈R)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
答案：15
解析：＝－＝(λ－1)，即＝λ，则O，P，A三点共线，又·＝72，所以与同向，所以||||＝72.
设OP与x轴夹角为θ，A点坐标为(x，y)，B为点A在x轴上的投影，则OP在x轴上的投影长度为||cos θ＝||·＝＝72·＝72·＝72·≤72×＝15.
当且仅当|x|＝时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.
B组
一、选择题
1．(2022·河南六市联考)已知数列{an}，观看如图所示的程序框图，若输入a1＝1，d＝2，k＝7，则输出的结果为(　　)

A. B. C. D.
答案：C
解析：由题中程序框图知，输出S＝＋＋＋…＋＝×
＝，故选C.
2.(2022·太原一模)给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中推断框①处和执行框②处可分别填入(　　)

A．i≤30？和p＝p＋i－1
B．i≤31？和p＝p＋i＋1
C．i≤31？和p＝p＋i
D．i≤30？和p＝p＋i
答案：D
解析：由题意，本题求30个数的和，故在推断框中应填“i≤30？”，由于②处是要计算下一个加数，由规律知，应填“p＝p＋i”，故选D.
3．(2022·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是(　　)
A．(7,5) B．(5,7)
C．(2,10) D．(10,1)
答案：B
解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，留意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12组)的第5个位置，结合题意可知，每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，故选B.
4．(2022·山西质检)执行如图所示的程序框图，输出的S值是(　　)

A. B.
C．0 D．－
答案：B
命题意图：本题考查程序框图及数列的求和，难度中等．
解析：由题意知，该框图是求数列{an}的前2 014项和，其中an＝sin，又由于数列{an}为周期6的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，又由于2 014＝6×335＋4，所以前2 014项和S2 014＝sin＋sin＋sin＋sin＋…＋sin＝sin＋sin＋sin＋sin＝，故选B.
5．(2022·云南统检)如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝2 010，n＝1 541，则输出的m的值为(　　)

A．2 010 B．1 541
C．134 D．67
答案：D
解析：按题中程序框图逐步执行，有：①m＝1 541，n＝469；②m＝469，n＝134；③m＝134，n＝67；④m＝67，n＝0，故输出的m＝67.
6．(2022·河北保定模拟)执行如图所示的程序框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的S等于(　　)

A．2 B．3
C. D.
答案：C
解析：由题中程序框图知，输出S＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝.
7．(2022·咸阳二模)定义一种运算“”，两个实数a，b的“ab”运算原理如图所示，若输入a＝2cos，b＝2tan，则输出的P＝(　　)

A．4 B．2
C．0 D．－2
答案：A
解析：a＝2cos＝2cos＝1，
b＝2tan＝2tan＝2，
输出的P＝2×(1＋1)＝4.
8．(2022·海口调研)设{an}是集合{2s＋2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中全部的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…，将数列{an}各项依据上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3

5
6

9
10
12
…

则a99等于(　　)
A．8 320 B．16 512
C．16 640 D．8 848
答案：B
解析：用(s，t)表示2s＋2t，则三角形数表可表示为
第一行3(0,1)
其次行5(0,2)　6(1,2)
第三行9(0,3)　10(1,3)　12(2,3)
第四行17(0,4)　18(1,4)　20(2,4)　24(3,4)
第五行33(0,5)　34(1,5)　36(2,5)　40(3,5)　48(4,5)
…
由于99＝(1＋2＋3＋4＋…＋13)＋8，所以a99＝(7,14)＝27＋214＝16 512，故选B.
二、填空题
9．(2022·陕西质检三)观看等式：f＋f＝1；
f＋f＋f＝；
f＋f＋f＋f＝2；
f＋f＋f＋f＋f＝；
…
由以上几个等式的规律可猜想f＋f＋f＋…＋f＋f＝________.
答案：
解析：从所给四个等式看：等式右边依次为1，，2，，将其变为，，，，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最终一项中自变量的分子相同，所以f＋f＋f＋…＋f＝.
10．(2022·福建质检)对于数列{cn}，假如存在各项均为正整数的等差数列{an}和各项均为正整数的等比数列{bn}，使得cn＝an＋bn，则称数列{cn}为“DQ数列”．已知数列{en}是“DQ数列”，其前5项分别为：3,6,11,20,37，则en＝________.
答案：n＋2n
解析：∵e1＝3＝2＋1，e2＝6＝4＋2，e3＝11＝8＋3，e4＝20＝16＋4，e5＝37＝32＋5，…，∴an＝n，bn＝2n，∴en＝an＋bn＝n＋2n.
11．(2022·呼和浩特调研)在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为a(i，j)，且a(1，j)＝2j－1，a(i,1)＝i，a(i＋1，j＋1)＝a(i，j)＋a(i＋1，j)，则此数表中若记第3行的数3,5,8,13,22，…，为数列{bn}，则{bn}的通项公式为________.
第1行
1
2
4
8
…
第2行
2
3
5
9
…
第3行
3
5
8
13
…
…

答案：bn＝2n－1＋n＋1
解析：利用归纳推理求解．则题意，可得当n≥2时，a(2，n)＝2＋1＋2＋22＋…＋2n－2＝2＋＝2n－1＋1，当n＝1时阅历证知成立，a(2，n)＝2n－1＋1.则当n≥2时，a(3，n)＝3＋(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n－2＋1)＝3＋＋n－1＝2n－1＋n＋1.当n＝1时，阅历证成立，∴a(3，n)＝2n－1＋n＋1，即bn＝2n－1＋n＋1.
12．(2022·成都第三次诊断)图(1)是某地区参与2022年高考的同学身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的同学人数依次记为A1，A2，A3，…，A10[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的同学人数]．图(2)是图①中统计身高在肯定范围内同学人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160,180)内的同学人数，那么流程图中推断框内整数k的值为________．

答案：7
解析：由题知，即求A4＋A5＋A6＋A7的值，留意到是先对i赋值增加再进行推断，可得k＝7.
13．(2022·广东东莞一模)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，由于对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
依据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)
答案：a1＋a2＋…＋an≤
解析：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1.
∵∀x∈R，f(x)≥0恒成立，
∴Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
∴(a1＋a2＋…＋an)2≤n，
即a1＋a2＋…＋an≤.