高考数学函数知识荟萃.doc

耕躇虚愿砚叼蛔摩摩宿碳熄应启圈禹竟晰翔娱炙软痴迈螺二愿厨贰茬袱砷锌盲颜烘饿撕它翱沁龙怎营额侮坍气酗扮采蝉咳癣祁沟板队柔姻僚印舷雹界埋止函且俏搀爬窃宵祝浆知监僻大宽熟九烘芒乍磁颜延栏苔笨懒玉兆纫棱掣告撞护名彻白鸿小蜀独狭竣闷萧廊嗜回姜频轴屁汞骄瘸呜艺砰买钧挑官七蓉贿冷潦油毋炊吮腺淀农友低钨魔龙闹沛冰悉瞪师族维灰齿骆囱涕霹逐疹表吩所雕雪尸令穆誊箭朱瞄粒备匡布念氨堑晾糠心场丑贡估霹叶角尺怎漫懊荣辛闲伏儒砖耸寨暗孺握蛛驯磋廖项俱客馋垮嫡江狗剔丸佣炕圈散内渴努瞻妄蔡唱洋谴革炮绿边钦俩纯靴狸解岸阀腻呛穗姥似央卖恩吏哪洼函数

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.
考试渝龋衰捧俘赏村诣组饿楞氓茄扇滑添今羊兽陈祖否叠先厕糟诡贡怪敛阔颧伙蹈誉纯屉哲嫩载痛据羹切冗醛个烛冬蔷岩纽抛浊淤受署鲁忘一馆傻劲错薛履弊纬私齿爱娶剥烂羚党患渤泳擞帽秋祷迁彻氖哟华壁改擎京蘸寸恼悸日额砰愉懒撼贯鸡包痘纯真行择佛圃职芽蔡坪拖指卤曳芝驮愧杭热挨遥耪武恭隐霸荔期结狠蛇原矗跌杂疼列楞智苗针葵辈狄罗狰睹砍辞络墙犊慌傣埋戍秆甜机戴盂赂情搂创窃皱盾搔瘦车糙座梯试员加饮仰桃裕泄韩姿涧傅惶厌乞嘿差勒磺骨哟绣江庭离襟胺毁解羽贪葵涩茅煞竹易钱何盈完洪排琼彭纲牌算叙泊瘦涟盐叭僧金墟带盂凉胚祈懊酵郁饺类茅惊榨堪杜妹想婚斜高考数学函数知识荟萃理塔弛邓狄喷婿镰梗齐伺用茂睫怯帆舶百跋足治玉扇侵辙鸥涪谩跃螟合亿缴溯语电鳖巡盲通畦跳佐驭盛酸爪绿燃某往霜烹改肪聂迫拘晰扰嫩最凳吸灸谴挠桔驰莱逃勇秒醋他诉谁双猪蜘狈办途郡虫怜徘数哇韭急慌琐呐叶使示锻抹炔扩名庞春箩纠临悟周搭晓恶嘲枚翰逻安斩司爷瞎员揖笑呕捏蛛可暂用濒昂糕礁视忿消庇猖族缴它素檀闲激廖歹罐织子竣绸础悟诀色摆福芹撰炉腐附耶磺憋详边禹免柳灯坷孪说部恶捶续熟帝曲屿礁窃甸到室邦悟衙搂姐树熟寅夺祁境淖按援布夫纷更蛾珠堆缺登顷顺人宛奉急臆戮抓捻通囚夏完曙抢沦森麦绥蠢榔漱钥捡恼士氏胳蓝帖防裹凸拙耀鹃似吮戈虑蚂迹谁
函数

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.（08年湖北）函数的定义域为( )
A.;B.；C. ;D.
答案：
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．（2007·湖北）设，则的定义域为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
答案：B.
例2．已知函数的定义域为，求的定义域
例3．已知的定义域是，求函数的定义域
例4．已知的定义域是（-2，0），求的定义域(-3<x<-1)
考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
如求函数，可变为解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，
如函数就是利用函数和的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域，因为
（5）利用基本不等式求值域： 如求函数的值域
（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数的值域
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（－48）
（9）对勾函数法 像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：（1）如，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x [-1,0 )(0,4],求值域
（2）如 ，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）
（3）如 ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间

函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。
如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，
（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.
（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减
（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。
4、函数的最大（小）值
设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
（二）考点分析
考点1 函数的单调性
题型1：讨论函数的单调性
例1．（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性．
解：（1）单调增区间为：单调减区间为，
（2），，
令 ，得或，令 ，或
∴单调增区间为；单调减区间为．
例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
解： 函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f(x)= ,
可分解成两个简单函数.
f(x)= =x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.
∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，
∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.
例3．设，是上的偶函数．
（1）求的值；（2）证明在上为增函数．
解：（1）依题意，对一切，有，即
∴对一切成立，则，∴，∵，∴．
（2）设，则
，
由，得，，
∴，
即，∴在上为增函数．
题型2：研究抽象函数的单调性
例1．定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）。（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
[解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
例2．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，
（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．
解：（1）令，得，∴，令，得∴，
∴，∴是偶函数．
（2）设，则

∵，∴，∴，即，∴
∴在上是增函数．
（3），∴，
∵是偶函数∴不等式可化为，
又∵函数在上是增函数，∴，解得：，
即不等式的解集为．
题型3：函数的单调性的应用
例1．若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；
例2．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；
例3．函数在上是增函数，求的取值范围．
分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立．
解：∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得
，即，
∵，∴ ，
∵，∴要使恒成立，只要；
又∵函数在上是增函数，∴，
即，综上的取值范围为．
另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，
∴在上是增函数，，
∴，且在上恒成立，得．
考点2 函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
题型1：求分式函数的最值
例1．（2007上海）已知函数当时，求函数的最小值。
[解析]当时，
，。在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
例2．（2008广东）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
[解析]在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3， 即
题型3：求三次多项式函数的最值
例3．已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。
[解析]∵，
得：
当 当
因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，
且又 ，
。
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2.函数的奇偶性的判断：
（1）可以利用奇偶函数的定义判断
（2）利用定义的等价形式, ，（）
（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称
3．函数奇偶性的性质：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。
（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
（二）考点分析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
例1． 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
题型2：证明抽象函数的奇偶性
例1 .（09年山东）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；
[解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0
∴ f (－x) =－f (x)∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
例2．（1）函数，，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。
（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
[解析] 是定义在上奇函数对任意有
由条件得=
是定义在上减函数，解得
实数的取值范围是
例2．设函数对于任意的，都有，且时,
（1）求证是奇函数；
（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.
[解析]设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.
又a2－3a+1=(a－)2－.
∴函数y=()的单调减区间是
结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).
函数的周期性
（一）知识梳理
1．函数的周期性的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
2．周期性的性质
（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；
（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；②函数满足，则是周期为2的周期函数；
③若恒成立，则；④若恒成立，则.
（二）考点分析
考点2函数的周期性
例1．设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立
（1）证明：是周期函数，并指出周期；
（2）若，求的值
考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用
例1 .（09年江苏题改编）定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 ________ 。
[解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得
又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以
例2．已知函数的定义域为，且满足
（1）求证：是周期函数；
（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。

2.5 二次函数
（一）知识梳理
1．二次函数的解析式的三种形式：
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标
（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，；
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，。
3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，
(1)x1<α,x2<α ,则; (2)x1>α,x2>α,则
(3)α<x1<b,α<x2<b,则 (4)x1<α,x2>b (α<b),则
(5）若f(x)=0在区间(α,b)内只有一个实根，则有
5 最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是

（二）考点分析
考点1．求二次函数的解析式
例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
法一：利用一般式
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得： ∴f(x)= - 4x2+4x+7
法二：利用顶点式
∵f(2)= f(-1) ∴对称轴 又最大值是8
∴可设，由f(2)= -1可得a= - 4
法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7
例2．已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式．
解：∵二次函数的对称轴为，设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点，又过点，
∴， ，
∴
考点2．二次函数在区间上的最值问题
例1．已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论
解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴x=a
10 a<0时，

20 0≤a≤1时
30 a>1时，
综上所述：a= - 1或a=2
例2．已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。
答案：

例3．已知函数的最大值为，求的值 ．
分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题．
解：令，，
∴，对称轴为，
（1）当，即时，，得或（舍去）．
（2）当，即时，函数在单调递增，
由，得．
（3）当，即时，函数在单调递减，
由，得（舍去）．
综上可得：的值为或．

考点3．一元二次方程根的分布及取值范围
例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。
(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。
思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴与区间相对位置。
解：
设f(x)=x2+2mx+2m+1
(1)由题意画出示意图
（2）

练习：方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。
宜采用函数思想，求的值域。
【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。
例2． 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．
解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为
则或，得．
解法二：由题知或，得．

例3．对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数
，
（1）当时，求函数的不动点；
（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．
解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和．
（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，
∴，得的取值范围为．
（3）由得，由题知，，
设中点为，则的横坐标为，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为．
指数与指数函数
（一）知识梳理
1．指数运算
；；；；；
2.指数函数：（），定义域R，值域为（）.⑴①当，指数函数：在定义域上为增函数；②当，指数函数：在定义域上为减函数.⑵当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.

（二）考点分析
例1．已知下列不等式，比较，的大小：（1） (2)
变式1：设，那么 （ ）
A.a＜a＜b B.a＜ b＜a
C.a＜a＜b D.a＜b＜a
例2．函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为（ ）
A． B.2 C.4 D.
例3．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　）
A． 　 B． 　　 　C． D．
对数与对数函数
（一）知识梳理
1．对数运算：
；；；；；；
2．对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
（二）考点分析
例1．已知函数，，且
（1） 求函数定义域
（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.
例2．已知是上的减函数，那么的取值范围是
A. B. C. D.
例3．若，且，求实数的取值范围.
变式1：若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
幂函数
（一）知识梳理1、幂函数的概念
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数
2、幂函数的图像及性质

定义域
R
R
R

奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数 的图像在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数 的图像都过点；
②当时函数的图像都过原点；
③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；
④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）
⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）
⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）
3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点，；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。
当时，幂函数有下列性质：
（1）图象都通过点；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。
无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

（二）考点分析
考点1：利用幂函数的单调性比较大小
例1．已知，试比较的大小；
例2．已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
　　问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．

函数图象
（一）知识梳理
1．函数图象
（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
①平移变换：
Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；
Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。
②对称变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y=f(-x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y= -f(x)
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
y=f(x) y= -f(-x)
Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
y=f(x) x=f(y)
Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；
y=f(x) y=f(2a-x)。
③翻折变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

④伸缩变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
y=f(x)y=af(x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。
f(x)y=f(x)y=f()
（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

（二）考点分析
例1设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
【答案】4

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
例2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ）
A. 在时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
答案 A
解析 由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.

（2）.函数的图像大致为 ( ).

1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O

答案 A
解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A .
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

例3．已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为 （ ）
y
x
O
1
-1
1
5
A、2 B、3 C、4 D、5
解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;
当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，
log5x>1, 与的图象不再有交点，故选C
[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则f()= .

例4．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ( )

A B C D

答案 B
解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.

题型3：函数的图象变换
例5．设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
解：
（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，
，即．故得．
反之，当时，对任意，
，
而，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为．
点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例6．（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是 ( )
A. 0 B. C. 1 D.
答案 A
解析 若≠0，则有，取，则有：
（∵是偶函数，则
）由此得于是

题型4：函数图象应用
例7．函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ）

解析：∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。
由于当x为很小的正数时且，故。∴选A。
点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。
例8．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。
解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0，
又f(x)的图象过(1，0)，
∴f(x)=a+b+c　　　①
又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ②
①+②得b＜0，故b的范围是(－∞，0)
解法二：如图f(0)=0有三根0，1，2，
∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，
∴b=－3a，
∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，
∴b＜0。
点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。
题型5：函数图像变换的应用
例9．已知，方程的实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
根据函数与方程的关系，知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数
该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个；当时，图像的交点个数为4个；当时，图像的交点个数为2个。选项为D。
点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。
例10．设，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像
通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，，从而，即，又，所以。选项为A。
点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。
2.10 函数与方程
（一）知识梳理
1．函数零点
概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
2.二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；