资源描述
板块一.向量的概念
与线性运算
典例分析
题型一： 向量及与向量相关的基本概念
【例1】 推断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）共线向量确定在同一条直线上。 （ ）
（2）全部的单位向量都相等。 （ ）
（3）向量共线，共线，则共线。 （ ）
（4）向量共线，则 （ ）
（5）向量，则。 （ ）
（6）平行四边形两对边所在的向量确定是相等向量。 （ ）
【例2】 给出命题
⑴零向量的长度为零，方向是任意的.
⑵若，都是单位向量，则＝.
⑶向量与向量相等.
⑷若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线.
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷
【例3】 如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】 下列命题正确的是（ ）
A.与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【例5】 设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（ ）
A． B． C． D．
【例6】 下列命题中正确的有： ( )
⑴四边形是平行四边形当且仅当；
⑵向量与是两平行向量；
⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同始终线上；
⑷单位向量不愿定都相等；
⑸与共线，与共线，则与也共线；
⑹平行向量的方向确定相同；
【例7】 推断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若，则
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则；
(7)若，，则
(8)若四边形ABCD是平行四边形,则
(9) 的充要条件是且；
【例8】 在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【例9】 推断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在始终线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点确定不同.
【例10】 平面对量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量
C．， D．存在不全为零的实数，，
【例11】 给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且；
⑤若，，则；
其中正确的序号是 ．
题型二: 向量的加、减法
【例12】 化简
【例13】 化简下列各式：
⑴ ；⑵
【例14】 若，，其中，是已知向量，求，.
【例15】 设是所在平面内的一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例16】 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例17】 是的边上的中点，则向量（ ） A． B． C． D．.
【例18】 依据图示填空：
⑴ ；⑵ ．
【例19】 已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则( )
A． B． C． D．
【例20】 设，，，分别是的三边、、上的点，且则与( )
A.反向平行 B.同向平行
C.相互垂直 D.既不平行也不垂直
【例21】 如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【例22】 如图所示，是四边形的对角线的中点，已知，求向量．
【例23】 如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，，，求，．
A
B
C
D
E
【例24】 已知任意四边形中，分别是的中点，求证：．
【例25】 若则向量的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．不确定
【例26】 若非零向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【例27】 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是 ( )
A． B． C． D．
B
C
A
P
题型三: 向量数乘运算及其几何意义
【例28】 已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、t（+）三向量的终点在始终线上，则实数t=_________.
【例29】 设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则 ．
【例30】 已知是不共线的向量，，，，则四点中共线的三点是___________
【例31】 设是不共线的两个向量，已知，，，若三点共线，求的值．
【例32】 设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值．
【例33】 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使，且m+n=1．
【例34】 已知向量，若向量和共线，则下列关系确定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、或
【例35】 D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
① ②
③ ④
A、1 B、2 C、3 D、4
【例36】 已知：，则下列关系确定成立的是（ ）
A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线
C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线
【例37】 如图，在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例38】 如图，已知，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【例39】 已知，且，试求t关于k的函数。
【例40】 证明对角线相互平分的四边形是平行四边形．
【例41】 向量方法证明：对角线相互平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB，求证：ABCD是平行四边形。
【例42】 已知的两条对角线与交，是任意一点．
求证：+++=
【例43】 如图所示，，，，…，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半径倍的向量有多少个？
【例44】 已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是和的中点，求证：平行且等于.
【例45】 如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点和点．求证．(向量法)
【例46】 四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用向量的方法证明：也是的中点．
【例47】 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则( )
A． B．
C． D．
【例48】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若， 则 ， = ．
【例49】 若等边的边长为，平面内一点满足，则 ， ．（用，向量表示）
【例50】 如图，在△OAB中，，，AD与BC交于M点，设，，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。
求证：。
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