基本不等式高考历年真题知识讲解.doc

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【考点20】基本不等式
2009年考题
1.（2009天津高考）设若的最小值为（ ）
A 8 B 4 C 1 D
【解析】选B. 因为，所以，
，
当且仅当即时“=”成立，故选择B.
2.（2009天津高考）设的最大值为（ ）
A.2 B. C.1 D.
【解析】选C. 因为，（当且仅当a=b=时等号成立）.
3.（2009重庆高考）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【解析】选C. 因为当且仅当，
且，即时，取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4.（2009湖南高考）若x∈(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为 .
【解析】由，知所以当且仅当时取等号，即最小值是。
答案：
5.（2009湖南高考）若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】 ，当且仅当时取等号.
答案：
6.（2009湖南高考）若，则的最小值为 .
【解析】选，当且仅当时取等号.
答案：
7.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)

当时，,
, =
（2）当时，

由，故当即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）由（2）知：=
由得：，
令则，即：。
同理，由得：
另一方面，
当且仅当，即=时，取等号。由（1）知=时h甲=h乙
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。
8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。

（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

2008年考题
1、（2008四川高考）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
（A） （B）　（C） （D）
【解析】选D.方法1：∵等比数列中∴当公比为1时，，；
当公比为时，，从而淘汰（A）（B）（C）故选D；
方法2：∵等比数列中∴∴当公比时，；当公比时，∴故选D；
方法3：．由双勾函数的图象知，或，故选D．
2、（2008重庆高考）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【解析】选B.（当且仅，即时取等号）。故选B。
3、（2008浙江高考）已知（ ）
A. B. C. D.
【解析】选C.由,且∴，当且仅当a=b=1时等号成立∴。
4、（2008陕西高考）“”是“对任意的正数，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.，另一方面对任意正数，
只要，所以选A.
5、（2008江西高考）若，则下列代数式中值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】选A.

∴
6、（２００８年安徽高考）设函数 则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
【解析】选A .，，由基本不等式有最大值.
7、（2008江苏高考）的最小值为 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。
答案:3
8、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
【解析】方法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
方法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20),由此得y=
广告的面积S=xy=x()＝x,
整理得S=
因为x－20＞0，所以S≥2
当且仅当时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，
即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

2007年考题
1.（2007上海高考）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】选C. 若Þ≥，A不成立；若B不成立；若=1，=2，
则,所以D不成立 ,故选C.
2.（2007重庆高考）若是1+2与1-2的等比中项，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选B.是1+2与1-2的等比中项，则

3.（2007山东高考）函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为 ．
【解析】函数的图象恒过定点，
，，，
（方法一）：， （当且仅当m=n=时等号成立）.（方法二）：（当且仅当m=n=时等号成立）.
答案：4.
4.（2007山东高考）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【解析】函数的图象恒过定点，，，，
答案：8.
5.（2007上海高考）已知，且，则的最大值为
【解析】，当且仅当x=4y=时取等号.
答案:
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