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课时提升作业(二十)
简洁的三角恒等变换
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2021·福州模拟)已知cos,α∈(0,2π),则sin =( )
【解析】选A.角是的2倍,
所以
由于α∈(0,2π),所以∈(0,),
所以sin=
2.化简: =( )
A.sin2α B.tan2α C.sin2 D.tan2
【解题提示】用二倍角公式化简,α是的二倍.
【解析】选D.原式=故选D.
3.(2021·长沙模拟)函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为( )
A.[-2,2] B.[-, ]
C.[-1,1] D.[-, ]
【解析】选B.f(x)=sin x-cos x+sin x
= (sin x-cos x)= sin(x-).
x∈R,所以x-∈R,所以f(x)∈[-,],
故选B.
4.(2021·哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )
A.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称
B.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称
C.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称
【解析】选D.由于f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)
=sin(2x++)=cos2x,
所以f(x)在(0, )内单调递减,且图象关于x=对称.
【加固训练】(2022·郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),x∈R,则f(x)( )
A.周期为π,且图象关于点(,0)对称
B.最大值为2,且图象关于点(,0)对称
C.周期为2π,且图象关于点(-,0)对称
D.最大值为2,且图象关于x=对称
【解析】选B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)
由于x∈R,所以x-∈R,
所以-1≤sin(x-)≤1,则f(x)的最大值为2.
由于ω=1,所以周期T==2π.
当x-=kπ(k∈Z)时,f(x)图象关于某一点对称,
所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选B.
5.(2021·临沂模拟)已知函数f(x)=sin x+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是( )
A. a<b<c B.c<a<b
C.b<a<c D.b<c<a
【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.
【解析】选B.f(x)=
由于函数f(x)在[0,]上单调递增,所以,而c=
=2sin +=2sin +=f (0)< ,所以c<a<b.
【误区警示】解答本题易误选A,毁灭错误的缘由是不化简函数解析式,直接由自变量的大小推断a,b,c的大小.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是 .
【解析】y=sin42x-cos42x
=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)
=-cos 4x,
所以最小正周期T=
答案:
7.(2021·泉州模拟)函数f(x)=3sinx+sinπ2+x的最大值是 .
【解析】f(x)=3sinx+cosx=2sinx+π6,
所以f(x)max=2.
答案:2
【加固训练】(2021·咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x∈[-π,π]的最小值是 .
【解析】y=
由于x∈[-π,π],所以,
所以ymin=3.
答案:3
8.(2021·青岛模拟)设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=.则a,b,c按从小到大的挨次排列为 .
【解析】a=sin 14°+cos 14°=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°
=sin 61°,c==sin 60°.
由于59°<60°<61°,所以sin 59°<sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.
答案:a<c<b
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2021·潍坊模拟)已知函数f(x)=cos2x+π12-1,g(x)=sinx·cosx.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程.
(2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的值域.
【解析】(1)由题知f(x)=12cos2x+π6-1,
所以2x+π6=kπ(k∈Z),即x=12kπ-π12(k∈Z).
(2)由题知h(x)=f(x)+g(x)
=12cos2x+π6-1+12sin2x
=12cos2x+π6+sin2x-12
=1232cos2x+12sin2x-12
=12sin2x+π3-12,
所以h(x)的值域为[-1,0].
10.已知函数f(x)=sinx2cosx2+cos2x2-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
(2)求函数f(x)在π4,3π2上的最小值.
【解析】(1)f(x)=sinx2cosx2+1+cosx2-1
=12sinx+12cosx-12
=22sinx+π4-12.
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2,k∈Z,
得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4.
则函数f(x)的单调递减区间是2kπ+π4,2kπ+5π4,k∈Z.
(2)由π4≤x≤3π2,得π2≤x+π4≤7π4.
则当x+π4=3π2,即x=5π4时,f(x)取得最小值-2+12.
【加固训练】1.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)的单调区间.
(3)若x∈0,π2,求f(x)的最大值及最小值.
【解析】(1)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos2x+π4,
所以最小正周期T=2π2=π.
(2)由2kπ-π≤2x+π4≤2kπ,k∈Z,
得kπ-58π≤x≤kπ-π8,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为
kπ-58π,kπ-18π(k∈Z).
由2kπ≤2x+π4≤2kπ+π,k∈Z.
得kπ-18π≤x≤kπ+38π,k∈Z,
所以函数f (x)的单调减区间为
kπ-18π,kπ+38π(k∈Z).
(3)由于0≤x≤π2,所以π4≤2x+π4≤5π4,
所以-1≤cos2x+π4≤22,
所以-2≤f(x)≤1.
所以当x=0时,f(x)有最大值为1,
当x=38π时,f(x)有最小值为-2.
2.已知函数f(x)=tanxtan2xtan2x-tanx+23sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈π12,π6,求f(x)的最值.
【解题提示】(1)先化简,再求周期.
(2)由化简后的解析式及x的范围求解.
【解析】(1)f(x)=sinxcosx·sin2xcos2xsin2xcos2x-sinxcosx+23·1-cos2x2
=sinx·sin2xsin2xcosx-cos2xsinx+3-3cos2x
=sinx·sin2xsin(2x-x)-3cos2x+3
=sin2x-3cos2x+3=2sin2x-π3+3
所以T=2π2=π.
(2)由于x∈π12,π6,
所以-π6≤2x-π3≤0,
所以f(x)max=3,f(x)min=3-1.
3.(2021·大连模拟)已知函数f(x)=cos2ωx-3sinωx·cosωx(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.
(2)若A为锐角三角形ABC的内角,求f(A)的取值范围.
【解析】(1)依题意,得f(x)=1+cos2ωx2-32sin2ωx
=cos2ωx+π3+12,
由于T=2π2ω=π,所以ω=1.
所以f(x)=cos2x+π3+12,
由-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ,k∈Z,得
-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为
-2π3+kπ,-π6+kπ,k∈Z.
令2x+π3=π2+kπ,k∈Z,
所以x=π12+kπ2,k∈Z.
所以对称中心为π12+kπ2,12,k∈Z.
(2)依题意,得0<A<π2,所以π3<2A+π3<4π3,
所以-1≤cos2A+π3<12,
所以-12≤cos2A+π3+12<1,
所以f(A)的取值范围为-12,1.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·铜陵模拟)已知α为其次象限角,sinα+cosα=,则
cos 2α=( )
【解析】选A.由于sinα+cosα=,
所以(sinα+cosα)2=,
所以2sinαcosα=-,即sin 2α=-.
又由于α为其次象限角且sinα+cosα=>0,
所以2kπ+ <α<2kπ+ (k∈Z),
所以4kπ+π<2α<4kπ+ (k∈Z),
所以2α为第三象限角,
所以cos 2α=
【一题多解】本题还可用如下方法求解:
sinα+cosα=两边平方,得
1+2sinαcosα=,
所以2sinαcosα=-.
由于α为其次象限角,所以sinα>0,cosα<0,
所以sinα-cosα=
由得
所以cos 2α=2cos2α-1=-.
【加固训练】(2022·六安模拟)已知2sinθ=1+cosθ,则tan等于( )
A.2 B.
C.或不存在 D.不存在
【解析】选C.当1+cosθ=0时,tan不存在.
当1+cosθ≠0时,
2.(5分)(2022·上海高考)方程sinx+3cosx=1在区间0,2π上的全部解的和等于 .
【解题提示】首先将左边函数化为Asin(ωx+φ)的形式,再依据三角函数的图象特点可求.
【解析】令f(x)=sinx+3cosx=2sinx+π3=1,
所以sinx+π3=12,又x∈[0,2π]
所以x+π3=5π6或2π+π6,
解得x=π2或11π6,所以全部解的和为7π3.
答案:7π3
3.(5分)(2021·西安模拟)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cosθ= .
【解题提示】用挂念角公式求解,留意挂念角φ的正、余弦值.
【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),其中tanφ=-2,当x+φ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos(-φ)=sinφ,又由于tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.
答案:-
4.(12分)(2021·淮北模拟)等差数列{αn}的前n项和Sn=π36n2,数列{βn}满足
βn=(7-2n)π36.同学甲在争辩性学习中发觉以下六个等式均成立:
①sin2α1+cos2β1-sinα1cosβ1=m;
②sin2α2+cos2β2-sinα2cosβ2=m;
③sin2α3+cos2β3-sinα3cosβ3=m;
④sin2α4+cos2β4-sinα4cosβ4=m;
⑤sin2α5+cos2β5-sinα5cosβ5=m;
⑥sin2α6+cos2β6-sinα6cosβ6=m.
(1)求数列{αn}的通项公式.
(2)试从上述六个等式中选择一个,求实数m的值.
(3)依据(2)的计算结果,将同学甲的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解析】(1)当n=1时,α1=π36,
当n≥2时,αn=Sn-Sn-1=π36n2-π36(n-1)2=π18n-π36,
由于当n=1时,α1适合此式,所以数列{αn}的通项公式为αn=π18n-π36.
(2)选择②,计算如下:β2=π12,
m=sin2α2+cos2β2-sinα2cosβ2
=sin2π12+cos2π12-sinπ12cosπ12
=1-12sinπ6=34.
(3)推广为:sin2θ+cos2π6-θ-sinθcosπ6-θ=34.
证明:sin2θ+cos2π6-θ-sinθcosπ6-θ
=sin2θ+cosπ6cosθ+sinπ6sinθ2-sinθcosπ6·cosθ+sinπ6sinθ
=sin2θ+34cos2θ+14sin2θ+32cosθsinθ-32sinθcosθ-12sin2θ
=34cos2θ+34sin2θ=34.
5.(13分)(力气挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平常休闲闲逛,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OE⊥OF,如图所示.
(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
【解题提示】(1)由题意可知∠OFA=α,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域.
(2)利用换元法求最值,要留意α的范围.
【解析】(1)在Rt△BOE中,OE=,
在Rt△AOF中,OF=.
在Rt△OEF中,EF=
当点F在点D时,角α最小,α=,
当点E在点C时,角α最大,α=,
所以l=
定义域为[,].
(2)设t=sinα+cosα,α∈[,],
所以
所以当α=时, lmin=50(+1),总费用最低为20 000(+1)元.
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