2022高考总复习(人教A版)高中数学-选修4-4-第1讲-坐标系.docx

第1讲　坐标系

1．坐标系
(1)坐标变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，
点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，.
3．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a；
(3)直线过M(b，)且平行于极轴：ρsin_θ＝b．
4．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；
(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：ρ＝2asin_θ．

__平面直角坐标系中的伸缩变换__________

　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
[解]　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1，得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5，0)，F2(5，0)为所求．
[规律方法]　平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
　1.在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
解：设变换为代入其次个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4.
__极坐标与直角坐标的互化______________

　(2022·高考天津卷改编)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求a的值．

[解]　由ρ＝4sin θ，可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由ρsin θ＝a，可得y＝a.
设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．
由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.
在Rt△DOB中，易求DB＝a，
∴B点的坐标为.
又∵B在x2＋y2－4y＝0上，
∴＋a2－4a＝0，
即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.
[规律方法]　极坐标与直角坐标互化的留意点：
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，确定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在曲线的方程进行互化时，确定要留意变量的范围．要留意转化的等价性．
　2.(2021·郑州市其次次质量猜想)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0，0≤θ<2π)
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得，解得，

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，
将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．
__曲线极坐标方程的应用______________

　(2021·辽宁五校协作体高三摸底)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
[解]　(1)圆C的一般方程是(x－1)2＋y2＝1，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，
则有解得
设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有
解得
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，
所以线段PQ的长为2.
[规律方法]　在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，假如不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
　3.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求△AOB(其中O为极点)的面积．
解：由题意知A，B的极坐标分别为、，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，
则，
∴4x′2＋9y′2＝36，
即＋＝1.
∴曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，
其焦点坐标为(±，0)．
2．(2021·江苏扬州质检)求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程．
解：将点的极坐标化为直角坐标，
点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，
故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，
圆心为(3，3)，半径为3，
圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，
即x2＋y2－6x－6y＝0，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上述方程，
得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，
即ρ＝6cos.
3．(2022·高考重庆卷改编)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，求直线l与曲线C的公共点的极径ρ.
解：参数方程化为一般方程为y＝x＋1.由ρsin2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y2－4x＝0，即y2＝4x.由可得故直线和抛物线的交点坐标为(1，2)，故交点的极径为＝.
4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得的点A′的坐标；
(2)点B经过φ变换得到点B′，求点B的坐标；
(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得到的直线l′的方程．
解：(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得到由于点A的坐标为，
于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
∴A′(1，－1)即为所求．
(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：得到
由于点B′的坐标为，
于是x＝×(－3)＝－1，y＝2×＝1，
∴B(－1，1)即为所求．
(3)由伸缩变换φ：得
代入直线l：y＝6x，得到经过伸缩变换后的方程y′＝x′，因此直线l′的方程为y＝x.
5．(2021·福建泉州质检)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；
由于ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．
证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝(p>0)．
PQ是抛物线的弦，若点P的极角为θ，
则点Q的极角为π＋θ，
因此有|FP|＝，
|FQ|＝＝.
所以＋＝＋
＝(常数)．
原命题得证．

1．(2021·唐山市统一考试)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为
C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，
所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．
2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将消去参数t，化为一般方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的一般方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)．
3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，
从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.
θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．
θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.
所以点P的直角坐标为，
则点P的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．
4．(2021·太原市模拟试题)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，且曲线C1上的点M(2，)对应的参数φ＝.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D(，)．
(1)求曲线C1的一般方程，C2的极坐标方程；
(2)若A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)是曲线C1上的两点，求＋的值．
解：(1)将M(2，)及对应的参数φ＝代入
(a>b>0，φ为参数)，得，
解得，
∴曲线C1的一般方程为＋＝1，
设圆C2的半径为R，则圆C2的方程为ρ＝2Rcos θ，将点D(，)代入得＝2R·，
解得R＝1，
∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)曲线C1的极坐标方程为＋＝1，
将A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)代入得＋＝1，＋＝1，
∴＋＝＋＝.