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其次章
函数与基本初等函数I
第1讲 函数及其表示
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为 ( )．
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
解析 函数y＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝的定义域相同，故选D.
答案 D
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．
答案 C
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．
解析 依据函数的定义，观看得出选项B.
答案 B
4．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是 ( )．
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析 a，b，c互不相等，不妨设a<b<c，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，由图可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.
∵f(a)＝f(b)，
∴|lg a|＝|lg b|，
∴lg a＝－lg b，即lg a＝lg ⇒a＝，
∴ab＝1,10<abc＝c<12.故应选C.
答案 C
5．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )．
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C.∪
D.∪
解析 当(x2－2)－(x－x2)≤1，即－1≤x≤时，f(x)＝x2－2；
当x2－2－(x－x2)＞1，即x＜－1或x＞时，f(x)＝x－x2，
∴f(x)＝
f(x)的图象如图所示，c≤－2或－1＜c＜－.
答案 B
6.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从动身到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为（ ）
解析 留意本题中选择项的横坐标为小王从动身到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选D.
答案 D
二、填空题
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
解析 ∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以发觉g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1.
答案 1 2
8．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析 由题意有或解得－1<x<0或0≤x<－1，∴所求x的取值范围为(－1，－1)．
答案 (－1，－1)
9.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)= f(x)的定义域是______.
解析 要使函数有意义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知,
当x∈(2,8］时，f(x)＞0.
答案 (2,8］
10．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)确定是单函数．
其中的真命题是________．(写出全部真命题的编号)
解析 对①，f(x)＝x2，则f(－1)＝f(1)，此时－1≠1，则f(x)＝x2不是单函数，①错；对②，当x1，x2∈A，f(x1)＝f(x2)时有x1＝x2，与x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)互为逆否命题，②正确；对③，若b∈B，b有两个原象时．不妨设为a1，a2可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件冲突，故③正确；对④，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f(x)＝x2在R上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确．
答案 ②③
三、解答题
11．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax，
x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．
解 (1)由题意知g(x)＝
当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，此时g(x)max＝g(3)＝2－3a，g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a；
当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，此时g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1；
当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，有g(2)<g(x)≤g(3)，因此g(x)min＝g(2)＝1－2a，而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，
故当0≤a≤时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
当<a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.
综上所述，h(a)＝
(2)画出y＝h(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x)min＝h＝.
12．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝－lg cos x；
(3)y＝lg(x－1)＋lg ＋.
解 (1)，⇒x＜4且x≠3，
故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)即
故所求定义域为∪∪.
(3)即或x＜－1，解得1＜x＜9.
故该函数的定义域为(1,9)．
13. 设x≥0时，f(x)=2;x＜0时，f(x)=1，又规定：g(x)=
(x＞0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象.
解 当0＜x＜1时，x-1＜0,x-2＜0,
∴g(x)= =1.
当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0,
∴g(x)= ;
当x≥2时，x-1＞0，x-2≥0,
∴g(x)= =2.
故g(x)=
其图象如图所示.
14．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由题意，得解得
故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，对x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min>m，又由于g(x)在[－1,1]上递减， 所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.
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