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课时提升作业(三十)
等比数列及其前n项和
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2021·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于 ( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.
【加固训练】(2021·福州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x- ①,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=（x·3n-1-）-（x·3n-2-）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,
由于{an}是等比数列,所以
由①②得x-=,解得x=.
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为 ( )
A.100 B.1000 C.10000 D.10
【解析】选C.由于lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13==106,所以a8=100,所以a1a15==10000.
3.(2021·昆明模拟)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是 ( )
A.-2 B.- C.± D.
【解析】选B.依据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=,所以a5=-=-.
4.在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于
( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】选C.由于a3a11==4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{bn}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.
【加固训练】已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】选D.由于数列{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.
5.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是 ( )
A.k为任意实数时,{an}是等比数列
B.k=-1时,{an}是等比数列
C.k=0时,{an}是等比数列
D.{an}不行能是等比数列
【解析】选B.由于Sn=3n+k(k为常数),所以a1=S1=3+k,n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,当k=-1时,a1=2满足an=2×3n-1,{an}是等比数列,当k=0时,a1=3不满足an=2×3n-1,{an}不是等比数列.
【加固训练】(2021·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.
【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,由于{an}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= .
【解析】方法一:由已知=3,知=1+q3=3,所以q3=2,所以===.
方法二:由已知=3,得S6=3S3,又由于S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而==.
答案:
【加固训练】在正项等比数列{an}中,若++=81,则+= .
【解析】由于a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,即又a3>0,a5>0,故+=9.
答案:9
7.(2021·徐州模拟)若等比数列{an}满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .
【解析】由a2+a4=20,a3+a5=40,
得即
解得q=2,a1=2,
所以Sn===2n+1-2.
答案:2 2n+1-2
8.定义“等平方和数列”:在一个数列中,假如每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{an}是等平方和数列,且a1=1,平方和为5,且an>0,则a2021= ,这个数列的前n项和Sn的计算公式为 .
【解析】由定义知+=5,a1=1,所以=4,由于an>0,所以a2=2.又由+=5,所以=1,由于a3>0,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,…
即数列{an}的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a2021=1.
当n为偶数时,Sn=(a1+a2)=n,
当n为奇数时,Sn=(a1+a2)+an=+1=.故Sn=
答案:1 Sn=
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2021·天津模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求证Sn<.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
由于S1,2S2,3S3成等差数列,
所以4S2=S1+3S3,
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),
所以a2=3a3,
所以q==.
又S4=,
即=,
解得a1=1,
(2)由(1)得
【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区分
等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差
(2)a1和d可以为0
(3)任意两实数的等差中项唯一
(4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时am+an=ap+aq
(1)强调每一项与前一项的比
(2)a1与q均不为0
(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值
(4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时aman=apaq
相同点
(1)都强调每一项与其前一项的关系
(2)结果都必需是常数
(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定
联系
(1)若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中m>0,且m≠1
(2){an}为等差数列,则为等比数列
(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列
10.设f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=f2(n),数列{bn}中,b1=2,bn=f1(bn-1).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求证:数列{bn-1}是等比数列.
【解析】(1)由题意知Sn=n2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=S1=1也适合上式,
故an=2n-1.
(2)由题意知bn=2bn-1-1,
即bn-1=2(bn-1-1),
由于b1-1=1,所以{bn-1}是以2为公比,
以1为首项的等比数列.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·济南模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= ( )
【解析】选C.由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,
所以==,又a-1=4.
所以数列{an}是公比为,首项为4的等比数列,
2.(5分)等比数列{an}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有an+1>an”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.易知,当a1>0,且q>1时,an>0,所以=q>1,表明an+1>an;若对任意自然数n,都有an+1>an成立,当an>0时,同除以an得q>1,但当an<0时,同除以an得q<1.
3.(5分)(2021·唐山模拟)已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,其次行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an=
(n∈N*).
第一列
其次列
第三列
第一行
1
10
2
其次行
6
14
4
第三行
9
18
8
【解析】观看题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即{an}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=2·3n-1.
答案:2·3n-1
【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”
,
,,
……
满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则(1)anm= ,
(2)a83= .
【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比.
【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.
答案:
4.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n+1,设bn=an+n+2
(1)证明:数列{bn}是等比数列.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求an和Sn.
【解析】(1)由bn=an+n+2,则
===2,又b1=a1+3=4,故{bn}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得bn=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-n-2,
故Sn=a1+a2+…+an=(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n
=--2n=2n+2--4.
【加固训练】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).
(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明:{bn}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.
【解析】(1)由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),
得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.
由b1=a2-a1=1,q≠0,
所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.
(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…,an-an-1=qn-2(n≥2),
将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2),
即an=a1+1+q+…+qn-2(n≥2).
上式对n=1明显成立.
(3)由(2),当q=1时,明显a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,
由q≠0得q3-1=1-q6, ①
整理得(q3)2+q3-2=0,
解得q3=-2.于是q=-.
由①可得an-an+3=an+6-an,
所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.
5.(13分)(力气挑战题)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得
故an=·3n-1,或an=-5·(-1)n-1.
(2)若an=·3n-1,则=·
故{}是首项为,公比为的等比数列,
若an=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,
故{}是首项为-,公比为-1的等比数列,
综上,对任何正整数m,总有<1.
故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.
【方法技巧】解决数列探究性问题基本方法
(1)对于条件开放的探究性问题,往往接受分析法,从结论和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.
(2)对于结论探究性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.留意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量,依据题目条件,确定变量的值.数列中大小关系的探究问题可以接受构造函数,依据函数的单调性进行证明,这是解决简洁问题常用的方法.
(3)处理规律探究性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,依据前几项的特点透彻分析,发觉规律、猜想结论.
【加固训练】已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式.
(2)若{an}是等比数列,求{bn}的前n项和Sn.
(3)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)由于{an}是等差数列,a1=1,a2=a,所以an=1+(n-1)(a-1).
又由于b3=12,所以a3a4=12,
即(2a-1)(3a-2)=12.
解得a=2或a=-.
由于a>0,所以a=2.所以an=n.
(2)由于数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),所以an=an-1.所以bn=anan+1=a2n-1.
由于=a2,所以数列{bn}是首项为a,公比为a2的等比数列.
当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=
(3)数列{an}不能为等比数列.
由于bn=anan+1,所以
则=a-1.所以a3=a-1.
假设数列{an}能为等比数列.
由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,
此方程无解,
故数列{an}确定不能为等比数列.
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