2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：2.3-函数的奇偶性与周期性-.docx

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课时提升作业(六)
函数的奇偶性与周期性
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2021·蚌埠模拟)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,则f(1)的值(　　)
A.恒为正数　　　　　 B.恒为负数
C.恒为0 D.可正可负
【解析】选A.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,又f(x)是R上的单调递增函数,
所以f(1)>f(0)=0.
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)
A.y= B.y=e-x
C.y=-x2+1 D.y=lg |x|
【解析】选C.A中,y=为奇函数,故排解A;
B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排解B;
C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;
D中,y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排解D.
3.(2021·泉州模拟)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x(2-x),则f(2021)等于　(　　)
A.1 B.-1 C.3 D.-3
【解析】选B.f(2021)=f(4×503+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1×(2-1)=-1.
【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时留意以下两点:
(1)周期的确定:特殊是给出递推关系要明确周期如何确定.
(2)周期性与奇偶性在解题时,一般状况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调整转化正负号的作用.
【加固训练】(2021·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f (x)=2x+,则f(2 013)=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.±1
【解析】选A.由于f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.由于f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.
所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).由于f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2 013)=f(1)=-1,故选A.
4.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.增函数 D.周期函数
【解析】选D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.
【一题多解】本题还可以接受如下方法:
方法一:(特值法)取x1=1.2,x2=2,则f(x1)=1.2-[1.2]=0.2,f(-x1)=-1.2-[-1.2]= 0.8,所以f(-x1)≠±f(x1),所以f(-x)≠±f(x),故A,B错;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,明显f(x)不是增函数,故C错,故选D.
方法二:(图象法)依据已知可以作出函数f(x)的图象,如图所示,则可知f(x)是有界,且周期为k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为1,故选D.

5.(2022·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】选C.设H(x)=f(x)·|g(x)|,
则H(-x)=f(-x)·|g(-x)|,
由于f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以H(-x)=-f(x)·|g(x)|=-H(x),
故H(x)是奇函数.
6.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,则f(f())的值等于(　　)
A. B.- C.lg 2 D.-lg 2
【解析】选D.由于当x>0时,f(x)=lg x,所以f()=lg =-2,则f(f())=f(-2),
由于函数y=f(x)是奇函数,
所以f(f())=-f(2)=-lg 2.
7.(2021·黄冈模拟)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是(　　)
A.f(x)=4x3+x B.f(x)=ln
C.f(x)=tan D.f(x)=ex+e-x
【解析】选D.由“和谐函数”的定义知,若函数为 “和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.
A中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,所以f(x)=4x3+x为“和谐函数”;
B中,f(0)=ln=ln 1=0,且f(-x)=ln =ln=-ln =-f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(x)=ln为“和谐函数”;
C中,f(0)=tan 0=0,
且f(-x)=tan(-)=-tan =-f(x),
所以f(x)为奇函数,
故f(x)=tan为“和谐函数”;
D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点,所以f(x)=ex+e-x不是“和谐函数”.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=　　　　.
【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.
答案:-2
9.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=　　　　.
【解析】由于函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.
答案:0
10.(2021·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】由于f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).
所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).
又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数.
所以解得-1≤m<.
答案:[-1,)
(20分钟　40分)
1.(5分)(2022·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是(　　)
A.f(x)= B.f(x)=x2
C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1)
【解题提示】本题为新定义问题,精确理解准偶函数的概念再运算.
【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f(x)关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.
【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是
(　　)
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
【解析】选A.由于2⊗x=,x⊕2=,
所以f(x)=
该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],
且满足f(-x)=-f(x).
故函数f(x)是奇函数.
2.(5分)(2021·杭州模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图象与y=log4|x|的图象的交点个数是(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图象如图所示,依据函数y=log4|x|也是偶函数,其图象也关于y轴对称,简洁知道它们的交点共有6个.故选C.

3.(5分)(2022·安徽高考)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=x(1-x),0≤x≤1,sinπx,1<x≤2,则f294+f416=　　　　.
【解析】f294+f416
=f4+134+f4+176
=f134+f176
=f4-34+f4-76
=f-34+f-76
=-f34-f76
=-341-34-sin7π6
=-316+12=516.
答案:516
【加固训练】已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 015) =　　　　.
【解析】令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),
解得f(0)=,
令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),
解得f(2)=-,
令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),
解得f(3)=-,
依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…
可知f(x)是以6为周期的函数,
所以f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=.
答案:
【一题多解】本题还可以接受如下方法:
由于f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),
所以构造符合题意的函数f(x)=
所以f(2 015)=
答案:
4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值.
(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
(3)假如f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【解析】(1)由于对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.证明如下:
令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,
所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数.
所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.
5.(13分)(力气挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x), 且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)试推断函数y=f(x)的奇偶性.
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论.
【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))= f(4+x)=f(x),
所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0冲突;因此f(x)不是偶函数.
若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),
所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0冲突;因此f(x)不是奇函数.
综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)由⇒⇒
f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),
从而知函数y=f(x)的周期T=10.
由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.
故f(x)在[0,10]和[-10, 0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2 014]上有404个解,在[-2 014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有806个解.
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