2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-15用导数解决生活中的优化问题-.docx

第十五节　用导数解决生活中的优化问题

题号
1
2
3
4
答案

1.把长100 cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为(　　)
A．20 cm，80 cm B．40 cm，60 cm
C．50 cm，50 cm D．30 cm，70 cm
解析：设一段长为x，则另一段长为100－x，
∴S＝＋＝[x2＋(100－x)2]＝(2x2－200x＋10 000)．
令S′＝0，得(4x－200)＝0，
∴x＝50.故选C.
答案：C
2．已知一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱的侧面积最大值为(　　)
A．2πr2 B．3πr2 C．4πr2 D.πr2
解析：设圆柱高h, 圆柱底半径x，则(2x)2＋h2＝(2r)2；
S侧＝2πxh＝2πx，令y＝S侧2＝16π2(－x4＋r2x2)，
y′ ＝0得唯一极值点x＝r，所以h＝r.
所以S侧最大值2πr2，故选A.
答案：A
3．进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每个涨价一元，其销售数就削减20个，所获得利润最大时售价应为(　　)
A．90元 B．95元 C．100元 D．105元
解析：设售价为90＋x元时利润为y，此时售量为400－20x.
y＝f(x)＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80＝20(20－x)(10＋x)，
求导得：y′＝20(－2x＋10)，令y′＝0，得x＝5，
所以当x＝5时，ymax＝4 500(元)，即售价为95元时获利最大，其最大值为4 500元，故选B.
答案：B
4．用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的容积最大时，该容器的高为(　　)

A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．12 cm
解析：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)，
∵V′(x)＝12x2－552x＋4 320，
由V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝0⇒
x2－46x＋360＝0，
解得x1＝10，x2＝36(舍去)．
∵当0<x<10时，V′(x)>0；当10<x<24时，V′(x)<0，
∴当x＝10时，V(x)在区间内有唯一极值，且取极大值．
∴容器高x＝10 cm时，容器容积V(x)最大．故选C.
答案：C
5．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度为____________．
解析：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s＝5－，
当下端移开1.4 m时，t0＝＝，
又s′＝－ (25－9t2)－·(－9·2t)＝，
所以s′(t0)＝9××＝0.875(m/s)．
答案：0.875 m/s
6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．
解析：如图为圆木的横截面，
∵b2＋h2＝d2，
∴bh2＝b(d2－b2)．
设f(b)＝b(d2－b2)，
∴f′(b)＝－3b2＋d2.
令f′(b)＝0，由于b＞0，
∴b＝d，
且在上f′(b)＞0，在上，f′(b)＜0.
∴函数f(b)在b＝d处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝d.

答案：d
7．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台．市场分析的结果表明，假如笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量削减的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．
(1)写出月利润y与x的函数关系式；
(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，可使得该公司的月利润最大？
解析：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，
则y＝a(1－x2)[6 000(1＋x)－4 500]，
即y＝1 500a(－4x3－x2＋4x＋1)，0<x<1.
(2)由(1)知y′＝1 500a(－12x2－2x＋4)，
令y′＝0，得6x2＋x－2＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)．
当0<x<时，y′>0；当<x<1时，y′<0.
故当x＝时，y取得最大值．
此时销售价为6 000×＝9 000(元)．
故笔记本电脑的销售价为9 000元/台时，该公司的月利润最大．
8．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)设AN＝x(单位：米)，要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；
(2)若x∈[3，4) (单位：米)，则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．
解析：由于＝，则AM＝，
故SAMPN＝AN·AM＝.
(1)由SAMPN＞32得＞32，
由于x＞2，
所以3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，
从而2＜x＜或x＞8，
即x的取值范围是∪(8，＋∞)．
(2)令y＝，则y′＝＝，
由于当x∈[3，4)时，y′＜0，所以函数y＝在[3，4)上为单调递减函数，
从而当x＝3时，y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大为27平方米，此时AN＝3米，AM＝9米．
9．某商场估量2022年从1月起前x个月顾客对某种商品的需求总量P(x)(单位：件)与月份x的近似关系是：
P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)．
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；
(2)若第x月的销售量
g(x)＝(x∈N*)．
(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，该商场销售该商品，估量第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？
(参考数据：e6≈403)
解析：(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39；
当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝－3x2＋42x.
又f(1)＝－3×12＋42×1＝39，
∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．
(2)h(x)＝q(x)·g(x)＝
h′(x)＝(x∈N*)．
∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，当6<x<7时，h′(x)<0，
∴当1≤x<7且x∈N*时，h(x)max＝h(6)＝3 000.
∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8<x≤12时，h′(x)≤0，
∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)＝≈≈741<3 000.
综上所述，估量第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3 000元．