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突破练(一)
1．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx－1(ω＞0)的周期T＝π.
(1)若直线y＝m与函数f(x)的图象在x∈时有两个公共点，其横坐标分别为x1，x2，求f(x1＋x2)的值；
(2)已知三角形ABC的内角A、B，C的对边分别为a，b，c且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．
解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx－1
＝sin (ωx－)－1，
∴T＝＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin (2x－)－1，
又∵y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以当x∈时，
y＝m与函数f(x)图象的交点关于x＝对称，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝f()＝－.
(2)由(1)知f(C)＝sin (2C－)－1＝0，
∴C＝.
又∵m∥n，∴2sin A－sin B＝0，
∴2a＝b，
又a2＋b2－2abcos C＝c2，c＝3，
解得：a＝，b＝2.
2．某市训练主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最终选出甲、乙两名选手代表本校参与市里决赛，甲、乙两名选手七轮竞赛得分状况如下表所示：
甲
86
94
89
88
91
90
92
乙
88
89
90
91
93
92
87
(1)依据表中的数据分析，哪位选手成果更为稳定？
(2)从甲选手的7次成果中随机抽取两次成果，求抽出的两次成果的分数差距至少是3分的概率．
解 (1)由题意得甲＝＝90，
乙＝＝90，
s＝[(86－90)2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2]＝6；
s＝[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝4；
由于6＞4，所以乙选手成果更稳定．
(2)从甲选手的七次成果中随机抽取2次的全部基本大事为：(86,94)(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种状况，则抽取的两次分数差距至少3分的大事包含：(86,94)(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种状况．则抽取的两次成果差距至少3分的概率P＝＝.
3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)当n≥2时，an＝－4Sn－1＋1，又an＋1＝－4Sn＋1，
∴an＋1－an＝－4an，即＝－3，n≥2，
又a2＝－4a1＋1＝－3，a1＝1，
∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝－3的等比数列，
∴an＝(－3)n－1.
(2)由(1)可得bn＝n·(－3)n－1，
Tn＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n－1)·(－3)n－2＋n·(－3)n－1，
－3Tn＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n－2)·(－3)n－2＋(n－1)·(－3)n－1＋n(－3)n.
∴4Tn＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n·(－3)n.
所以，Tn＝.
4．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面三角形PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC上一点，且AD＝2BC＝4，CD＝2.
(1)试确定点M的位置，使得PE∥平面BDM，并证明；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－MBD的体积．
解 (1)点M是PC的中点．连接BE，由于BC∥AD，DE＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，又MO⊂平面BDM，PE⊄平面BDM，所以PE∥平面BDM.
(2)由题意VP－MBD＝VP－DBC－VM－DBC，由于平面PAD⊥底面ABCD，三角形PAD是等边三角形，所以PE⊥AD，所以PE⊥底面ABCD.
则PE是三棱锥P－DBC的高，
由题意PA＝AD＝PD＝4，
所以PE＝2，
由(1)知MO是三棱锥M－DBC的高，
MO＝，S△DBC＝2，
所以VP－DBC＝4，VM－DBC＝2，则VP－MBD＝2.
5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，l与抛物线的一个交点为A，与抛物线的准线交于点B，且＝.
(1)求以AB为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；
(2)平行于AB的直线与抛物线相交于C、D两点，若在抛物线上存在一点P，使得直线PC与PD的斜率之积为－4，求直线CD在y轴上截距的最大值．
解 (1)过A作y2＝4x准线的垂线AH，垂足为H，
则|AH|＝|AF|＝|AB|，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，
所以B(－1，－2)，|BF|＝4，所以以AB为直径的圆为(x－1)2＋y2＝16，
所以，截得的弦长为4.
(2)设直线CD：y＝x＋m，P，C，
D，
把y＝x＋m代入y2＝4x，消去x，得y2－4y＋4m＝0，则
y1＋y2＝，y1·y2＝，
Δ＝16－16m＞0，所以m＜，
所以，kPC·kPD＝·＝－4，
所以y1·y2＋y0(y1＋y2)＋y＝－4，
所以y＋＋＝－4，
所以y＋4y0＋(4m＋4)＝0.
所以，Δ＝16－4(4m＋4)≥0，所以m≤－.
当m＝－时，直线CD：y＝x－，
所以直线在y轴上截距最大值为－..
6．已知函数f(x)＝ln x.
(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＞；
(2)若＜在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
(1)证明 设g(x)＝ln(x＋1)－，
则g′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)＞0.∴g(x)在区间(0,1)上是增函数．∴g(x)＞g(0)＝0，
∴ln(x＋1)＞.即当0<x<1时，f(1＋x)>.
(2)解 由已知，对∀x∈[1，＋∞)，有＜恒成立．∵ln(x＋1)＞0，∴a＞0.
从而，a＜ln(x＋1)在区间[1，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝ln(x＋1)，
则h′(x)＝[x－ln(x＋1)]．
再令t(x)＝x－ln(x＋1)，则t′(x)＝1－＝＞0.∴t(x)在区间[1，＋∞)上递增，从而t(x)≥t(1)＝1－ln 2＞0.∴h′(x)＞0在区间[1，＋∞)上恒成立．∴h(x)在区间[1，＋∞)上递增．
h(x)min＝h(1)＝2ln 2，∴0＜a＜2ln 2.
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