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第六章 第2节
一、选择题
1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b<<
B．a<<<b
C．a<<b<
D.<a<<b
[解析] ∵0<a<b，
∴a<<b，A、C错误；
－a＝(－)>0，即>a，D错误，故选B.
[答案] B
2．下列不等式肯定成立的是( )
A．lg(x2＋)>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
[解析] 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg(x2＋)≥lg x(x>0)，故选项A不正确；
而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由均值不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
[答案] C
3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵0<x<1，∴1－x>0.
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3()2＝.
当x＝1－x，即x＝时取等号．
[答案] B
4．(2021·福建厦门质检)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)．若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 依题意得－2×(a－1)＝b×1，∴2a＋b＝2.∴×＝2＋＋≥2＋2＝4，.故选B.
[答案] B
5．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
[解析] ∵x＜0，∴f(x)＝－ [(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
[答案] C
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
[解析] (1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2 ＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
[答案] B
7．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于 ( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
[解析] f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x>2，∴x－2>0.
∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立．
又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.
[答案] C
8．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为 ( )
A．4 B．16 C．9 D．3
[解析] 由于a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．
由于＋≥2 ＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.
[答案] B
9．(2021·福建宁德质检)关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2 ＝，故x1＋x2＋的最小值为.故选C.
[答案] C
10．设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )
A．4 B．4
C．9 D．16
[解析] 由＋＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16. 故选D.
[答案] D
11．(2021·洛阳市高三统考)在△ABC中，D为BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD上，则·(＋)的最小值为( )
A．－1 B．1
C. D．－
[解析] 依题意得，·(＋)＝＝2·＝－2||·||≥－2()2＝－＝－，当且仅当||＝||＝时取等号，因此·(＋)的最小值是－，故选D.
[答案] D
12．(2021·北京模拟)已知关于x的方程x2＋2px＋(2－q2)＝0(p，q∈R)有两个相等的实数根，则p＋q的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．[－，] D．(－，)
[解析] 由题意知4p2－4(2－q2)＝0，即p2＋q2＝2，
∵()2≤＝1，
∴－1≤≤1，即－2≤p＋q≤2，故选A.
[答案] A
二、填空题
13．(2021·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
[解析] 借助基本不等式求最值的条件求解．
f(x)＝4x＋≥2 ＝4(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，
∴＝3，即a＝36.
[答案] 36
14．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹放射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与放射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为________千米．
[解析] 令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
[答案] 10
15．(2021·青岛二模)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．
[解析] ＝－＝(a－1,1)，＝－
＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，
∴与共线，
∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a＞0，b＞0，∴＋＝(＋)(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
[答案] 8
16．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为____________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
[解析] 1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍)，k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝即x＝1时等号成立．
[答案] 1 3
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