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第2讲 导数及其应用
1．(仿2021·广东，10)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为________．
解析 y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝
－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
答案 4x－y－2＝0
2．(仿2022·重庆，16)若曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是________．
解析 由y＝x3知y′＝3x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·＝－1，即a2＝1，a＝±1.
答案 ±1
3．(仿2022·安徽，19)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为________．
解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．
∵x∈，f′(x)＞0.
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，
f(x)max＝f＝e.
答案
4．(仿2022·重庆，8)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列关于y＝f(x)的四种说法①在(－∞，0)上为减函数，②在x＝0处取微小值，③在(4，＋∞)上为减函数，④在x＝2处取极大值，其中正确的是________．
解析 使f′(x)＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x)＜0的x的取值范围为减区间．
答案 ③
5．(仿2022·陕西，7)设f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，给出下列四组条件：
①p：f(x)是奇函数，q：f′(x)是偶函数；
②p：f(x)是以T为周期的函数，q：f′(x)是以T为周期的函数；
③p：f(x)在区间(－∞，＋∞)上为增函数，q：f′(x)＞0在(－∞，＋∞)恒成立；
④p：f(x)在x0处取得极值，q：f′(x0)＝0.
由以上条件中，能使p⇒q成立的序号为________．
解析 由f(－x)＝－f(x)，得－f′(－x)＝－f′(x)．
∴f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是偶函数①正确．
易知②正确．③不正确．
依据f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0取得极值的必要不充分条件，∴④正确．
答案 ①②④
6．(仿2022·陕西，7)已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是________．
①当x＝时，f(x)取最大值；
②当x＝时，f(x)取最小值；
③当x＝－时，f(x)取最大值；
④当x＝－时，f(x)取最小值．
解析 由题意知，f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－，又当x＜－时，f′(x)＜0；当x＞－时，f′(x)＞0，∴当x＝－时，f(x)取最小值．④正确．
答案 ④
7．(仿2011·北京，18)函数f(x)＝x(a＞0)的单调递减区间是________．
解析 由ax－x2≥0(a＞0)，解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝＝.
由f′(x)≤0，解得x≥，因此f(x)的单调递减区间是.
答案
8．(仿2021·江西，13)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.
解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，
∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
答案 －120
9．(仿2011·江苏，17)甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得肯定净收入，在乙方不赔付甲方的状况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000.若乙方每生产一吨产品必需赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方依据获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？
解 (1)由于赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为w＝2 000－St.
w′＝－S＝，
令w′＝0，得t＝t0＝2.
当t＜t0时，w′＞0；
当t＞t0时，w′＜0，所以t＝t0时，w取得最大值．
因此乙方取得最大利润的年产量t0＝2(吨)．
(2)设甲方净收入为v元，
则v＝St－0.002t2，
将t＝2代入上式，得到甲方净收入
v与赔付价格S之间的函数关系式．
v＝－.
又v′＝－＋
＝，
令v′＝0，得S＝20.
当S＜20时，v′＞0；
当S＞20时，v′＜0，所以S＝20时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求的赔付价格S＝20(元/吨)时，获得最大净收入．
10．(仿2021·广东，21)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
(3)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)＜g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＜0，得0＜x＜；
令f′(x)＞0，得x＞.
∴f(x)的递减区间是，递增区间为.
(2)(ⅰ)当0＜t＜t＋2＜时，无解．
(ⅱ)当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜，
由(1)知，f(x)min＝f＝－.
(ⅲ)当≤t＜t＋2，即t≥时，
f(x)在区间[t，t＋2]上递增，f(x)min＝f(t)＝tln t.
因此f(x)min＝
(3)2f(x)＜g′(x)＋2，得2xln x≤3x2＋2ax＋1.
∵x＞0，∴a≥ln x－x－.
设h(x)＝ln x－x－，
则h′(x)＝－＋＝－.
令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－(舍)．
当0＜x＜1时，h′(x)＞0，h(x)在(0,1)上单调递增；
当x＞1时，h′(x)＜0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x＝1时，h(x)取得最大值h(x)max＝－2.
∴a≥－2.
∴a的取值范围是[－2，＋∞)．
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