2021高考数学(文理通用)一轮课时作业41-圆的方程.docx

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课时提升作业(四十一)
圆 的 方 程
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·湖州模拟)若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3) B.1,32
C.(-∞,-3)∪1,32 D.(-3,+∞)
【解析】选C.圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a.过点A(a,a)可作圆的两条切线,
所以a2+a2-2a2+a2+2a-3>0,3-2a>0,
解之得a<-3和1<a<32,
故a的取值范围为(-∞,-3)∪1,32.
2.(2021·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为(　　)
A.(-1,1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(0,-1)
【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=12k2+4-4k2=12-3k2+4,
当k=0时,rmax=124=1,
此时圆的方程为x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).
3.已知点P(2,2),点M是圆O1:x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆O2:(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　)
A.5-1 B.5-2
C.2-5 D.3-5
【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+12-|PO1|-12=
|PO2|-|PO1|+1=2-5+1=3-5.
【方法技巧】解决与圆有关的距离最值问题的策略
　　与圆有关的最值问题,往往可以转化为圆心到某点(或某直线或另一个圆心)的距离问题,然后再加或减半径求解.
4.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围
是(　　)
A.(-∞,4) B.(-∞,0)
C.(-4,+∞) D.(4,+∞)
【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.
由于圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.
【方法技巧】两种对称问题的解决方法
(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).
(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).
5.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是(　　)
A.3-2 B.3+2
C.3-22 D.3-22
【解析】选A. lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到lAB的距离d=|3|2=32,所以AB边上的高的最小值为32-1.
所以Smin=12×22×32-1=3-2.
【加固训练】
在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.52　　　B.102　　　C.152　　　D.202
【解析】选B.由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10,且点E(0,1)位于该圆内,故过点E(0,1)的最短弦长|BD|=210-12-22=25(过圆内确定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=210,且AC⊥BD,因此四边形ABCD的面积等于12|AC|×|BD|=12×210×25=102.
6.(2021·淮北模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(　　)
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y-3)2=1
C.(x-3)2+(y-2)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1
【解析】选A.设圆心坐标为(a,b),由题意知a>0,且b=1.又由于圆和直线4x-3y=0相切,
所以|4a-3|5=1,即|4a-3|=5,
由于a>0,所以a=2.
所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
7.(2022·温州模拟)已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上运动,则(x-2)2+(y-2)2的最小值为(　　)
A.12 B.22 C.32 D.322
【解析】选A.由于点(2,2)到直线x-y-1=0的距离为|2-2-1|2=22,所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为222=12.
8.(2021·衢州模拟)圆心在曲线y=3x(x>0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为(　　)
A.(x-2)2+y-322=9
B.(x-3)2+(y-1)2=1652
C.(x-1)2+(y-3)2=1852
D.(x-3)2+(y-3)2=9
【解析】选A.由题意设圆心为x,3x,则半径R=3x+12x+35≥3,当且仅当x=2时取等号,所以半径最小时圆心为2,32,圆的方程为(x-2)2+y-322=9.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·宝鸡模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,a1,a2,…,a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a1,a2,…,a11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是　　　　.
【解析】简洁推断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265.
答案:5-265
10.已知x,y满足x2+y2=1,则y-2x-1的最小值为　　　　.
【思路点拨】可将y-2x-1看成圆x2+y2=1上的点(x,y)与点(1,2)连线的斜率,进而转化为直线与圆相交或相切.
【解析】y-2x-1表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以y-2x-1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由|2-k|k2+1=1得k=34,结合图形可知,y-2x-1≥34,故最小值为34.
答案:34
11.设二次函数y=13x2-43x+1与x轴正半轴的交点分别为A,B,与y轴正半轴的交点是C,则过A,B,C三点的圆的标准方程是　　　　.
【思路点拨】先由已知求出A,B,C三点坐标,再依据坐标特点选出方程,求方程.
【解析】由已知三个交点分别为A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圆心横坐标为2,则令圆心为E(2,b),由|EA|=|EC|得b=2,半径为5,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
答案:(x-2)2+(y-2)2=5
【加固训练】
设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是　　　　.
【解析】由题意可设圆心A(a,a),则22+22=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.
答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8
12.(力气挑战题)已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M,N,则sin∠MCN的最大值为　　　　.
【解析】由题意,设C(x0,y0),则☉C的方程(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.把y=0和x02=2py0代入整理得x2-2x0x+x02-p2=0.
设M,N的横坐标分别为x1,x2,则x1=x0-p,x2=x0+p.所以|MN|=|x1-x2|=2p.
由于|CM|=|CN|=(x0-x1)2+y02=p2+y02,
所以cos∠MCN=-2p2+2y022p2+2y02=1-2p2p2+y02,
所以-1≤cos∠MCN<1.所以0<∠MCN≤π,
所以0≤sin∠MCN≤1,所以sin∠MCN的最大值为1.
答案:1
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·湛江模拟)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC的中点.
(1)求AB边所在直线的方程.
(2)求以线段AM为直径的圆的方程.
【思路点拨】(1)利用两点式或点斜式求直线AB的方程.(2)求出圆心和半径,可求圆的方程.
【解析】(1)由于A(-1,5),B(-2,-1),所以由两点式得AB的方程为y-5-1-5=x-(-1)-2-(-1),整理得y=6x+11.
(2)由于M是BC的中点,所以M-2+42,-1+32,即M(1,1),
所以|AM|=(-1-1)2+(5-1)2=25,
所以圆的半径为5.
所以AM的中点为-1+12,5+12,即中点为(0,3),
所以以线段AM为直径的圆的方程为x2+(y-3)2=5.
14.已知数列{an},圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.
(1)求证:数列{an}是等差数列.
(2)若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程.
【解析】(1)由已知,圆C1的圆心坐标为(an,-an+1),
半径为r1=an2+an+12+1,
圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为r2=2.
又圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长,所以|C1C2|2+r22=r12.
所以(an+1)2+(-an+1+1)2+4=an2+an+12+1,
所以an+1-an=52.所以数列{an}是等差数列.
(2)由于a1=-3,所以an=52n-112.
则r1=an2+an+12+1
=12(5n-11)2+(5n-6)2+4
=1250n2-170n+161.
由于n∈N*,所以当n=2时,r1可取得最小值,
此时,圆C1的方程是:x2+y2+x+4y-1=0.
【加固训练】
已知圆C的方程为x2+y2+(m-2)x+(m+1)y+m-2=0,依据下列条件确定实数m的取值,并写出相应的圆心坐标和半径.
(1)圆的面积最小.
(2)圆心距离坐标原点最近.
【解析】(1)由于(m-2)2+(m+1)2-4(m-2)=2m2-6m+13=2m-322+172>0恒成立,无论m为何值,方程总表示圆.圆心坐标2-m2,-m+12,
圆的半径为r=122m2-6m+13.
圆的半径最小时,面积最小,
r=122m2-6m+13=122m-322+172≥344,
当且仅当m=32时,等号成立,此时面积最小.
所以当圆的面积最小时,圆心坐标为14,-54,
半径r=344.
(2)圆心到坐标原点的距离d=122m-122+92≥324.当且仅当m=12时,距离最近.此时,圆心坐标为34,-34,半径r=424.
15.(力气挑战题)(2022·台州模拟)已知以点Ct,2t(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值.
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.
(3)在第(2)题的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
【解析】(1)由题设知,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化简得x2-2tx+y2-4ty=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或4t,则B0,4t,所以S△AOB=12|OA|·|OB|=12|2t|·|4t|=4为定值.
(2)由于|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,所以C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12,所以t=2或t=-2.所以圆心C(2,1)或C(-2,-1),所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(3)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),则|PB|+|PQ|=
|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=
(-6)2+(-3)2-5=35-5=25.
所以|PB|+|PQ|的最小值为25,直线B′C的方程为y=12x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为-43,-23.
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