2021高考数学(文理通用)一轮课时作业41-圆的方程.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十一)圆 的 方 程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2022湖州模拟)若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)B.1,32C.(-,-3)1,32D.(-3,+)【解析】选C.圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a.过点A(a,a)可作圆的两条切线,所以a2+a2-2a2+a2+2a-30,3-2a0,解之得a-3和1a0,即a2.由于圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b0,且b=1.又由于圆和直线4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,即|4a-3|=5,由于a0,所以a=2.所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.7.(2022温州模拟)已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上运动,则(x-2)2+(y-2)2的最小值为()A.12B.22C.32D.322【解析】选A.由于点(2,2)到直线x-y-1=0的距离为|2-2-1|2=22,所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为222=12.8.(2021衢州模拟)圆心在曲线y=3x(x0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为()A.(x-2)2+y-322=9B.(x-3)2+(y-1)2=1652C.(x-1)2+(y-3)2=1852D.(x-3)2+(y-3)2=9【解析】选A.由题意设圆心为x,3x,则半径R=3x+12x+353,当且仅当x=2时取等号,所以半径最小时圆心为2,32,圆的方程为(x-2)2+y-322=9.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2022宝鸡模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,a1,a2,a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a1,a2,a11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是.【解析】简洁推断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265.答案:5-26510.已知x,y满足x2+y2=1,则y-2x-1的最小值为.【思路点拨】可将y-2x-1看成圆x2+y2=1上的点(x,y)与点(1,2)连线的斜率,进而转化为直线与圆相交或相切.【解析】y-2x-1表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以y-2x-1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由|2-k|k2+1=1得k=34,结合图形可知,y-2x-134,故最小值为34.答案:3411.设二次函数y=13x2-43x+1与x轴正半轴的交点分别为A,B,与y轴正半轴的交点是C,则过A,B,C三点的圆的标准方程是.【思路点拨】先由已知求出A,B,C三点坐标,再依据坐标特点选出方程,求方程.【解析】由已知三个交点分别为A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圆心横坐标为2,则令圆心为E(2,b),由|EA|=|EC|得b=2,半径为5,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.答案:(x-2)2+(y-2)2=5【加固训练】设圆C同时满足三个条件:过原点;圆心在直线y=x上;截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是.【解析】由题意可设圆心A(a,a),则22+22=2a2,解得a=2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=812.(力气挑战题)已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M,N,则sinMCN的最大值为.【解析】由题意,设C(x0,y0),则C的方程(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.把y=0和x02=2py0代入整理得x2-2x0x+x02-p2=0.设M,N的横坐标分别为x1,x2,则x1=x0-p,x2=x0+p.所以|MN|=|x1-x2|=2p.由于|CM|=|CN|=(x0-x1)2+y02=p2+y02,所以cosMCN=-2p2+2y022p2+2y02=1-2p2p2+y02,所以-1cosMCN1.所以00恒成立,无论m为何值,方程总表示圆.圆心坐标2-m2,-m+12,圆的半径为r=122m2-6m+13.圆的半径最小时,面积最小,r=122m2-6m+13=122m-322+172344,当且仅当m=32时,等号成立,此时面积最小.所以当圆的面积最小时,圆心坐标为14,-54,半径r=344.(2)圆心到坐标原点的距离d=122m-122+92324.当且仅当m=12时,距离最近.此时,圆心坐标为34,-34,半径r=424.15.(力气挑战题)(2022台州模拟)已知以点Ct,2t(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:AOB的面积为定值.(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.(3)在第(2)题的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.【解析】(1)由题设知,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化简得x2-2tx+y2-4ty=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或4t,则B0,4t,所以SAOB=12|OA|OB|=12|2t|4t|=4为定值.(2)由于|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CHMN,所以C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12,所以t=2或t=-2.所以圆心C(2,1)或C(-2,-1),所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|,又B到圆上点Q的最短距离为|BC|-r=(-6)2+(-3)2-5=35-5=25.所以|PB|+|PQ|的最小值为25,直线BC的方程为y=12x,则直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为-43,-23.关闭Word文档返回原板块