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多面体题根多面体题根 解正方体解正方体一、正方体高考十年一、正方体高考十年二、正四面体与正方体二、正四面体与正方体三、正方体成为十年大难题三、正方体成为十年大难题四、解正方体四、解正方体五、解正四面体五、解正四面体1第1页一、正方体高考十年一、正方体高考十年 十年来，立体几何考题普通呈十年来，立体几何考题普通呈“一小一大一小一大”形式形式.分数分数约占全卷总分八分之一至七分之一约占全卷总分八分之一至七分之一.立几题难度普通在立几题难度普通在0.550.55左右，属中等考题，是广大考生左右，属中等考题，是广大考生“上线竞争上线竞争”时势在必夺时势在必夺“成败线成败线”或或“生死线生死线”.”.十年立几高考，考都是多面体十年立几高考，考都是多面体.其中：其中：（1 1）直接考正方体题目占了三分之一；）直接考正方体题目占了三分之一；（2 2）间接考正方体题目也占了三分之一）间接考正方体题目也占了三分之一.所以有些人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕所以有些人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题着正方体出题.正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话2第2页解解 析析外接球表面积，比起内接正方体全方面积来，自然要大一些，但绝不外接球表面积，比起内接正方体全方面积来，自然要大一些，但绝不能是它能是它(C)(C)约约6 6倍或倍或(D)(D)约约9 9倍，否定倍，否定(C)(C)，(D)(D)；也不可能与其近似相等，；也不可能与其近似相等，否定否定(A)(A)，正确答案只能是，正确答案只能是(B).(B).（1995年）年）正方体全方面积为正方体全方面积为a2，则其外接球表面积为，则其外接球表面积为考题考题 1 （正方体与其外接球）（正方体与其外接球）3第3页考题考题 2 （正方体中线面关系）（正方体中线面关系）小问题很多，但都不难小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系考生，都能快速作答系考生，都能快速作答.如解答（如解答（1），只要知道棱），只要知道棱AD与后与后侧面垂直就够了侧面垂直就够了.说说 明明（1997年）如图，在正方体年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1、CD中点中点（1）证实）证实ADD1F；（2）求）求AE与与D1F所成角；所成角；（3）证实面）证实面AED 面面A1FD1；（4）设）设AA1=2,求三棱锥求三棱锥F-A1ED1体积体积 .4第4页考题考题 3 （正方体侧面展开图）（正方体侧面展开图）考查空间想象能力考查空间想象能力.假如能从展开图（右上）想假如能从展开图（右上）想到立体图（右），则能马上判定命题到立体图（右），则能马上判定命题、为假，为假，而命题而命题、为真，答案是为真，答案是C.解解 析析（）右图是正方体平面展开图在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题序号是（A）（B）（C）（D）5第5页（）在以下四个正方体中，能得出ABCD是考题考题4 （正方体中主要线段关系）（正方体中主要线段关系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上射影，由三垂线定理知其所在平面上射影，由三垂线定理知其正确答案为正确答案为A.平移法：可快速排除平移法：可快速排除(B)，(C)，(D)，故选（，故选（A）.解解 析析6第6页（）棱长为a正方体中，连结相邻面中心，以这些线段为棱八面体体积为 考题考题 5 （正方体与正八面体）（正方体与正八面体）解解 析析将正八面体一分为二，得将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱个正四棱锥，正四棱锥底面积为正方形面积锥底面积为正方形面积 ，再乘，再乘 得得 .答案选答案选C.7第7页 考题考题 6 （正方体中三角形）（正方体中三角形）解解 析析在正方体上任选在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体一边与过此即正方体一边与过此点一条面对角线点一条面对角线)，共有，共有24个，得个，得 ，所以选，所以选C.8第8页在三棱锥在三棱锥OABC中，三条棱中，三条棱OA、OB、OC两两相互垂直，且两两相互垂直，且OA=OB=OC，M是是AB边中点，则边中点，则OM与平面与平面ABC所成角正弦值是所成角正弦值是 考题 7 四川卷第13题正方体一“角”如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、P分别是分别是BC、A1D1中点，中点，M、N分别是分别是AE、CD1中点，中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：）求证：MN面面ADD1A1；（2）求二面角）求二面角PAED大小；大小；（3）求三棱锥）求三棱锥PDEN体积体积.考题8 四川卷第19题两正方体“并”P9第9页如图，在棱长为如图，在棱长为1正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P是侧棱是侧棱CC1上一点，上一点，CP=m.()试确定试确定m,使得直线使得直线AP与平面与平面BDD1B1所成角正切值为所成角正切值为3 ；()在线段在线段A1C1上是否存在一个定点上是否存在一个定点Q，使得对任意，使得对任意m，D1Q在平面在平面APD1上射上射影垂直于影垂直于AP.并证实你结论并证实你结论.分析：分析：熟悉正方体对角面和对角线考生，对第熟悉正方体对角面和对角线考生，对第()()问，可心算出问，可心算出结果为结果为m=1/3=1/3；对第；对第()()问，可猜出这个问，可猜出这个Q点在点在O1点点.可是因为对正可是因为对正方体熟悉不多，所以第方体熟悉不多，所以第()()小题成了大题，第小题成了大题，第()()小题成了大难小题成了大难题题.考题9 （湖北卷第18题）10第10页o 考题 10（安徽卷第16题）多面体上，位于同一条棱两端顶点称为相邻，多面体上，位于同一条棱两端顶点称为相邻，如图，正方体一个顶点如图，正方体一个顶点A在平面，其余顶点在平面，其余顶点在同侧，正方体上与顶点在同侧，正方体上与顶点A相邻三个顶点到相邻三个顶点到距离分别为距离分别为1，2和和4，P是正方体其余四个顶是正方体其余四个顶点中一个，则点中一个，则P到平面距离可能是：到平面距离可能是：3；4；5；6；7以上结论正确为以上结论正确为_.（写出全部正确结论编号）（写出全部正确结论编号）11第11页二、正四面体与正方体二、正四面体与正方体从从“正方体高考十年正方体高考十年”和和“全国热炒正方体全国热炒正方体”中，我们中，我们看到正方体在立体几何中特殊地位看到正方体在立体几何中特殊地位.在实践中，正方体在实践中，正方体是最常见多面体；在理论上，全部多面体都可看作是由是最常见多面体；在理论上，全部多面体都可看作是由正方体演变而来正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体我们认定了正方体是多面体“根基根基”.我们在思索我们在思索：（1）正方体怎样演变出正四面体？）正方体怎样演变出正四面体？（2）正方体怎样演变出正八面体？）正方体怎样演变出正八面体？（3）正方体怎样演变出正三棱锥？）正方体怎样演变出正三棱锥？（4）正方体怎样演变出斜三棱锥？）正方体怎样演变出斜三棱锥？正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话12第12页考考 题题 1 （正四面体化作正方体解）（正四面体化作正方体解）说说 明明本题假如就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，本题假如就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量大题而是有相当计算量大题.此时解法也就沦为拙解此时解法也就沦为拙解.13第13页拙解拙解 硬碰正四面体硬碰正四面体14第14页联想联想 、关系关系正四面体棱长为正四面体棱长为 ，这个正四面体岂不是由棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1正方体正方体6条条“面对角线面对角线”围成？围成？则三棱锥则三棱锥BA1C1D是棱长为是棱长为 正四面体正四面体.于是正四于是正四面体问题可化归为对应正方体处理面体问题可化归为对应正方体处理.为此，在棱长为为此，在棱长为1正方体正方体BD1中，中，（1）过同一顶点）过同一顶点B作作3条面对角线条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点）将顶点A1，C1，D依次首尾连结依次首尾连结.A1C1DBACA1B1D1C1DB15第15页妙解妙解 从正方体中变出正四面体从正方体中变出正四面体以以 长为面对角线，可得边长为长为面对角线，可得边长为1正方体正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体体对角线长为，这个正方体体对角线长为 ，则其外接球，则其外接球半径为半径为 ，则其外接球表面积为，则其外接球表面积为S=4R2=4()23以以 为棱长正四方体为棱长正四方体B-A1C1D与以与以1为棱长正方体有共为棱长正方体有共同外接球，故其外接球表面积也为同外接球，故其外接球表面积也为S=3.答案为答案为A.16第16页寻根寻根 正方体割出三棱锥正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下余下”4个正三棱锥个正三棱锥.每个正三棱锥体积均为每个正三棱锥体积均为1/6，故内接正四面体体积，故内接正四面体体积为为1/3.这这5个四面体都与正方体个四面体都与正方体“内接内接”而而“共球共球”.实际上，正方体内接四面体（即三棱锥）共有实际上，正方体内接四面体（即三棱锥）共有 -12=58个个.至此能够想通，正方体为何成为多面体题根至此能够想通，正方体为何成为多面体题根.17第17页按理说，立体几何考题属中等考题，难度值追求在按理说，立体几何考题属中等考题，难度值追求在0.4到到0.7之间之间.所以，十年来立几考题所以，十年来立几考题哪怕是解答题也哪怕是解答题也没有出现在压轴题中没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在从题序上看，立几大题在6个大题中间部分，立几小题个大题中间部分，立几小题也安排在小题中间部分也安排在小题中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超出了压轴题难度，在立几考题中弄出了大难题，其难度超出了压轴题难度，从而成为近十年高考难题高难之最！从而成为近十年高考难题高难之最！三、正方体成为十年大难题三、正方体成为十年大难题正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话18第18页命题命题 将正方体一分为二将正方体一分为二全国卷第18题，天津卷第18题，河南卷第19题等，是当年数学卷大难题.其难度，超出了当年压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过直三棱柱.图中点E正是正方体中心.19第19页考题考题如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面中，底面是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB=90.侧棱侧棱AA1，D、E分别是分别是CC1与与A1B中点，点中点，点E在在平面平面ABD上射影是上射影是ABD重心重心G.()求求A1B与平面与平面ABD所成角大小所成角大小(结果用结果用反三角函数值表示反三角函数值表示)；()求点求点A1到平面到平面AED距离距离.20第20页解解 析析（转下页）（转下页）考场反馈：按出题人给出图形（右上），答题时无法作辅助线考场反馈：按出题人给出图形（右上），答题时无法作辅助线.21第21页（转下页）（转下页）解解 析（续上）析（续上）考场反馈：按出题人给出这种解析，无法在原图上显示考场反馈：按出题人给出这种解析，无法在原图上显示.22第22页解解 析（续上）析（续上）（解毕）（解毕）阅卷人说：在见到答卷中，几乎没有看到这种阅卷人说：在见到答卷中，几乎没有看到这种“标准答案标准答案”.23第23页难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.本题难在哪里？从正方体内切出直三棱柱本题难在哪里？从正方体内切出直三棱柱画法不标准！画法不标准！24第24页难题（难题（0318）题图探究）题图探究正方体立体图常见画法有两种：正方体立体图常见画法有两种：（1）斜二测法（图右）斜二测法（图右）此法缺点：此法缺点：A1、B、C 三点三点“共线共线”造成造成“三线三线”重合重合（2）正等测法（图右）正等测法（图右）此法缺点：此法缺点：A、C、C1、A1“共线共线”造成造成“五线五线”重合重合难题图近乎第二种画法（图右）：难题图近乎第二种画法（图右）：将正方体对角面置于正前面将正方体对角面置于正前面.25第25页四、解正方体四、解正方体正方体既然这么主要，我们就不能把这个正方体既然这么主要，我们就不能把这个“简简单正方体单正方体”看得太简单看得太简单.像数学中其它板块基础内容一样，越简单东西，像数学中其它板块基础内容一样，越简单东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延东西就越多其基础性就越深刻，其内涵和外延东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体根基，那我们我们既然认定了正方体是多面体根基，那我们就得趁着正方体很就得趁着正方体很“简单简单”时候，把它上上下时候，把它上上下下、左左右右、里里外外关系，都弄个清楚明下、左左右右、里里外外关系，都弄个清楚明白！白！正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话26第26页正方体，（正方体，（）个面，）个面，线面距转（线面距转（）面距，）面距，（）个顶点（）个顶点（）棱。）棱。寻找（寻找（）要依据。）要依据。顶点连线（顶点连线（）条，）条，异面直线求距离，异面直线求距离，一顶（一顶（）线来相交。）线来相交。确定（确定（）是难题。）是难题。三顶确定三角形，三顶确定三角形，正方体，是个宝，正方体，是个宝，要求三顶不共（要求三顶不共（）。）。各种关系藏得巧。各种关系藏得巧。四顶确定四面体，四顶确定四面体，正四面体（正四面体（）条棱，）条棱，要求四顶不共（要求四顶不共（）。）。选自选自6面（面（）线；）线；三种线段结数缘，三种线段结数缘，正八面体（正八面体（）个顶，）个顶，根根1、根、根2和（和（）。）。6面（面（）对得准。）对得准。68 12 28 7 线线 面面点点射影射影垂足垂足6对角对角6中心中心根根3关于正方体关于正方体 你已经知道了多少？你已经知道了多少？关于正方体关于正方体 还有许多许多！还有许多许多！比如，比如，8个顶点中，个顶点中，4顶共面有（顶共面有（）个，）个，4顶异面（顶异面（）个。）个。正是正是4顶异面个数，决定了正方体中三棱锥个数。顶异面个数，决定了正方体中三棱锥个数。27第27页五、解正四面体五、解正四面体统计十年高考立几题，除直接考统计十年高考立几题，除直接考“解正方体解正方体”题目比重最题目比重最大以外，接下来就是大以外，接下来就是“解正四面体解正四面体”题目了题目了.其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体上是正方体“演生体演生体”，通俗地说：正四面体是正方体儿，通俗地说：正四面体是正方体儿子！假如把正方体搞清楚了，正四面体就随之清楚了子！假如把正方体搞清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年高考在十年高考“正四面体正四面体”中，凡是就中，凡是就“儿子解儿子儿子解儿子”解法，解法，都是拙法；凡是由都是拙法；凡是由“老子解儿子老子解儿子”方法都是妙法！方法都是妙法！正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话28第28页正四面体棱长设作正四面体棱长设作1，则对应正方体棱长为，则对应正方体棱长为底面正三角形高为（底面正三角形高为（）；）；底面正三角形外半径为（底面正三角形外半径为（）；）；正三角形内半径为（正三角形内半径为（）；）；正四面体斜高为（正四面体斜高为（）；）；斜高在底面上射影为（斜高在底面上射影为（）；）；斜面与底面成角余弦值（斜面与底面成角余弦值（）；）；正四面体高为（正四面体高为（）；）；外接球半径为（外接球半径为（）；）；内切球半径为（内切球半径为（）.一句话小结一句话小结 正四面体与正方体对应量只相差一个系数：正四面体与正方体对应量只相差一个系数：（或（或 ）29第29页（湘卷理9）棱长为2正四面体四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心一个截面如图，则图中三角形(正四面体截面)面积是 A.B.C.D.PDA1P.C1B22A1PC1妙解妙解 （找老子解儿子）（找老子解儿子）答案为答案为C30第30页拙解拙解 （就儿子解儿子）（就儿子解儿子）如图所表示：即如图所表示：即求求三角形三角形PCD面积面积.因为因为CD=2，四面体，四面体A-BCD是正三棱锥，是正三棱锥，则则PD=PC，三角形，三角形PCD是等腰三角形是等腰三角形.过过P作作CD中线交中线交CD于于Q，则球心在，则球心在PQ上上.连连BQ，AQ，则，则AQ=BQ,因为因为O在在PQ上，则上，则PQ是线段是线段AB中垂线中垂线.即即Q是是AB中点中点.31第31页（1 1）由正方体变出正四面体；）由正方体变出正四面体；（2 2）由正方体变出正八面体；）由正方体变出正八面体；（3 3）由正方体变出正棱柱、直棱柱；）由正方体变出正棱柱、直棱柱；（4 4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；（5 5）由正方体变出斜三棱锥：）由正方体变出斜三棱锥：DA1B1C1小结小结 正方体是多面正方体是多面“题根题根”ACA1B1D1C1DB正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话32第32页 题生根题生根 根生题根生题 题根、根题不分离题根、根题不分离 有根无题一光杆有根无题一光杆 有题无根一潭泥有题无根一潭泥尾尾 声声正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话33第33页
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