母函数与指数型母函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第二章第二章 母函数与递推关系母函数与递推关系2.1 母函数与指数型母函数母函数与指数型母函数2.2 递推关系与递推关系与Fibonacci数列数列2.3 线性常系数递推关系线性常系数递推关系2.4 非线性递推关系举例非线性递推关系举例2.5 应用举例应用举例第1页2.1 母函数与指数型母函数母函数与指数型母函数1.母函数母函数2.母函数性质母函数性质3.整数拆分整数拆分4.Ferrers 图像图像5.指数型母函数指数型母函数第2页1.母函数母函数母函数方法是一套非常有用方法，应用极广。这套方法系统叙述，最早见于Laplace在18名著概率解析理论。我们来看以下例子我们来看以下例子：两个骰子掷出两个骰子掷出6点，有多少种点，有多少种选法？选法？注意到，出现注意到，出现1，5有两种选法，出现有两种选法，出现2，4也有两也有两种选法，而出现种选法，而出现3，3只有一个选法，按加法法则，只有一个选法，按加法法则，共有共有2+2+1=5种不一样选法。种不一样选法。或者，第一个骰子除了或者，第一个骰子除了6以外都可选，有以外都可选，有5种选法，种选法，一旦第一个选定，第二个骰子就只有一个可能选法，一旦第一个选定，第二个骰子就只有一个可能选法，按乘法法则有按乘法法则有51=5种。种。第3页但碰到用三个或四个骰子掷出但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就点，上述两方法就不胜其烦了。不胜其烦了。构想把骰子出现点数构想把骰子出现点数1,2,6和和t,t2,t6对应起来，对应起来，则每个骰子可能出现点数与则每个骰子可能出现点数与(t+t2+t6)中中t各次幂一各次幂一一对应。一对应。若有两个骰子，则若有两个骰子，则其中其中t6系数为系数为5，显然来自于，显然来自于这表明，这表明，掷出掷出6点方法一一对应于得到点方法一一对应于得到t6方法方法。第4页故使两个骰子掷出故使两个骰子掷出n点方法数等价于求点方法数等价于求中中tn系数。系数。这个函数这个函数f(t)称为称为母函数母函数。母函数方法基本思想：母函数方法基本思想：把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间相互结合关系对应成为幂级数间运算关系，最终由相互结合关系对应成为幂级数间运算关系，最终由幂级数形式来确定离散数列结构。幂级数形式来确定离散数列结构。第5页再来看下面例子：再来看下面例子：若令若令a1=a2=an=1，则有，则有这就是二项式展开定理。这就是二项式展开定理。第6页比较等号两端项对应系数，能够得到恒等式：比较等号两端项对应系数，能够得到恒等式：第7页比较等式两端常数项，能够得到恒等式：比较等式两端常数项，能够得到恒等式：第8页中令中令x=1 可得可得又如在等式又如在等式两端对两端对x求导可得：求导可得：再令再令x=1 可得可得类似还能够得到类似还能够得到第9页还能够类似地推出一些等式，但经过上面一些例子还能够类似地推出一些等式，但经过上面一些例子已可见函数已可见函数(1+x)n在研究序列在研究序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)关系时所起作用。关系时所起作用。定义定义：对于序列：对于序列a0,a1,a2,，函数，函数称为序列称为序列a0,a1,a2,母函数母函数。比如比如函数函数(1+x)n就是就是序列序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)母母函数。函数。如若已知序列，则对应母函数可依据定义给出。如若已知序列，则对应母函数可依据定义给出。反之，假如已经求出序列母函数反之，假如已经求出序列母函数G(x)，则该序列也，则该序列也随之确定。随之确定。第10页DDD输入输入u输出输出v例例1 下列图是一逻辑回路，符号下列图是一逻辑回路，符号D是一延迟装置，是一延迟装置，即在时间即在时间t输入一个信号给延迟装置输入一个信号给延迟装置D，在，在t+1时刻时刻D将输出一样信号，符号将输出一样信号，符号 表示加法装置。表示加法装置。若在若在t=0,1,2,时刻输入为时刻输入为u0,u1,u2,求在这些时刻求在这些时刻输出输出v0,v1,v2,第11页显然，显然，普通有普通有若信号输入序列若信号输入序列u0,u1,母函数为母函数为U(x)，输出信号，输出信号序列序列v0,v1,母函数为母函数为V(x)，则，则其中其中被装置特征所确定，称为该装置传递函数。被装置特征所确定，称为该装置传递函数。第12页设设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。分别代表红球，白球，黄球。例例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不一样组合方案。不一样组合方案。(1)取一个球组合数为取一个球组合数为3，即分别取红，白，黄。，即分别取红，白，黄。(2)取两个球组合数为取两个球组合数为4，即两个红，一红一黄，一红，即两个红，一红一黄，一红一白，一白一黄。一白，一白一黄。(3)取三个球组合数为取三个球组合数为3，即两红一黄，两红一白，一，即两红一黄，两红一白，一红一黄一白。红一黄一白。(4)取四个球组合数为取四个球组合数为1，即两红一黄一白。，即两红一黄一白。第13页共有共有1+3+4+3+1=12种组合方式种组合方式。令取令取r组合数为组合数为 ,则序列则序列母函数为母函数为第14页令令an为从为从8位男同志中抽取出位男同志中抽取出n个允许组合数。因为个允许组合数。因为要男同志数目必须是偶数。故要男同志数目必须是偶数。故例例3 某单位有某单位有8个男同志，个男同志，5个女同志，现要组织一个女同志，现要组织一个由数目为偶数男同志和数目不少于个由数目为偶数男同志和数目不少于2女同志组成女同志组成小组，试求有多少种组成方式？小组，试求有多少种组成方式？所以序列所以序列a1,a2,a8对应母函数为：对应母函数为：第15页类似可得女同志允许组合数对应母函数为类似可得女同志允许组合数对应母函数为其中其中xk系数就是组成符合要求系数就是组成符合要求k人小组数目。人小组数目。第16页2.母函数性质母函数性质设序列设序列ak,bk对应母函数分别为对应母函数分别为A(x),B(x)。则下面两个性质显然成立：则下面两个性质显然成立：(1)A(x)=B(x)当且仅当当且仅当 ak=bk。(2)若若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+，则，则ck=ak+bk。性质性质1：若：若 则则 B(x)=xlA(x)。证证:第17页则则例例4 已知已知性质性质2：若：若bk=ak+l，则，则则则例例5 已知已知第18页性质性质3：若：若bk=a0+ak，则，则1:x:x2:xk:+)第19页则则例例6 已知已知第20页性质性质4：若：若bk=ak+ak+1+，则，则1:x:x2:+)第21页性质性质5：若：若bk=kak，则，则性质性质6：若：若bk=ak/(1+k)，则，则则则例例7 已知已知第22页性质性质7：若：若ck=a0bk+a1bk-1+ak-1b1+akb0，则，则1:x:x2:+)第23页令令例例8 已知已知则则第24页3.整数拆分整数拆分所谓正整数拆分即把正整数分解成若干正整数和。所谓正整数拆分即把正整数分解成若干正整数和。相当于把相当于把n个无区分球放到个无区分球放到n个无标志盒子，盒子允个无标志盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。许空着，也允许放多于一个球。整数拆分成若干整数和，方法不一，不一样拆分法整数拆分成若干整数和，方法不一，不一样拆分法总数叫做拆分数。总数叫做拆分数。拆分能够分为拆分能够分为无序拆分无序拆分和和有序拆分有序拆分；不允许重复拆不允许重复拆分分和和允许重复拆分允许重复拆分。第25页例例9 若有若有1克、克、2克、克、3克、克、4克砝码各一枚，问能称克砝码各一枚，问能称出那几个重量？有几个可能方案？出那几个重量？有几个可能方案？从右端母函数知可称出从从右端母函数知可称出从1克到克到10克，系数便是方克，系数便是方案数。案数。比如右端有比如右端有2x5项，即称出项，即称出5克方案有克方案有2种：种：5=2+3=1+4。类似，称出类似，称出6克方案也有克方案也有2种：种：6=2+4=1+2+3。第26页例例10 求用求用1分、分、2分、分、3分邮票贴出不一样数值方案分邮票贴出不一样数值方案数。数。以以x4为例，其系数为为例，其系数为4，即，即4拆分成拆分成1，2，3之和允许之和允许重复拆分数为重复拆分数为4：4=1+1+1+1 =1+1+2 =1+3 =2+2。注意邮票允许重复，所以母函数为：注意邮票允许重复，所以母函数为：第27页例例11 若有若有1克砝码克砝码3枚、枚、2克砝码克砝码4枚、枚、4克砝码克砝码2枚，枚，问能称出那几个质量？各有几个方案？问能称出那几个质量？各有几个方案？即可称出即可称出1至至19克质量，不一样方案数即为对应项前克质量，不一样方案数即为对应项前面系数。面系数。母函数为：母函数为：第28页例例12 把整数把整数N无序拆分成整数无序拆分成整数a1,a2,an和，且不和，且不允许重复，求不一样拆分数。允许重复，求不一样拆分数。不一样解个数。不一样解个数。这个问题对应于求不定方程这个问题对应于求不定方程令令bN表示不一样拆分数，则其对应母函数为：表示不一样拆分数，则其对应母函数为：特殊，当特殊，当ai=i时，对应母函数为：时，对应母函数为：第29页例例13 把整数把整数N无序拆分成整数无序拆分成整数a1,a2,an和，允许和，允许重复，求不一样拆分数。重复，求不一样拆分数。不一样解个数。不一样解个数。这个问题对应于求不定方程这个问题对应于求不定方程令令bN表示不一样拆分数，则其对应母函数为：表示不一样拆分数，则其对应母函数为：第30页特殊，当特殊，当ai=i时，对应母函数为：时，对应母函数为：第31页例例14 把整数把整数N无序拆分成奇整数和，允许重复，求无序拆分成奇整数和，允许重复，求不一样拆分数。不一样拆分数。这相当于在上例中把这相当于在上例中把ai取成奇数，所以拆分数对应取成奇数，所以拆分数对应母函数为：母函数为：例例15 把整数把整数N无序拆分成无序拆分成2幂次和，求不一样拆分数。幂次和，求不一样拆分数。这相当于把这相当于把N拆分成拆分成1,2,4,8,和，但和，但不允许重复不允许重复。所。所以拆分数对应母函数为：以拆分数对应母函数为：第32页例例16 把整数把整数N无序拆分无序拆分1,2,m和，允许重复，求不和，允许重复，求不一样拆分数。若要求一样拆分数。若要求m最少出现一次呢？最少出现一次呢？若无要求，由例若无要求，由例13可知其母函数为：可知其母函数为：若要求若要求m最少出现一次，则拆分数对应母函数为：最少出现一次，则拆分数对应母函数为：第33页这个等式组合意义很显著：整数这个等式组合意义很显著：整数n拆分成拆分成1到到m和拆和拆分数减去拆分成分数减去拆分成1到到m-1和拆分数，即为最少出现一和拆分数，即为最少出现一个个m拆分数。拆分数。显然有显然有第34页设设bN表示表示N剖分成不一样正整数和剖分数，则其对剖分成不一样正整数和剖分数，则其对应母函数为：应母函数为：定理定理1 整数剖分成不一样整数和剖分数整数剖分成不一样整数和剖分数(不允许重复不允许重复)等于剖分成奇数剖分数等于剖分成奇数剖分数(允许重复允许重复)。第35页设设bN表示表示N剖分成剖分成重复数不超出重复数不超出2正整数之和剖分数，正整数之和剖分数，则其对应母函数为：则其对应母函数为：定理定理2 N剖分成其它数之和但重复数不超出剖分成其它数之和但重复数不超出2，其剖，其剖分数等于它剖分成不被分数等于它剖分成不被3整除数和剖分数。整除数和剖分数。第36页定理定理3 N被剖分成一些重复次数不超出被剖分成一些重复次数不超出k次整数和，次整数和，其剖分数等于被剖分成不被其剖分数等于被剖分成不被k+1除尽数和剖分数除尽数和剖分数。定理定理4 对任意整数对任意整数N，它被无序剖分成，它被无序剖分成2幂次和剖分幂次和剖分方式一定唯一。方式一定唯一。第37页例例17 若有若有1、2、4、8、16克砝码各一枚，问能称出克砝码各一枚，问能称出那几个质量？有几个可能方案？那几个质量？有几个可能方案？这说明用这些砝码能够称出从这说明用这些砝码能够称出从1克到克到31克质量，而且克质量，而且方案都是唯一。方案都是唯一。实际上这说明整数实际上这说明整数二进制表示是唯一二进制表示是唯一。第38页4.Ferrers图像图像一个从上而下一个从上而下n层格子组成图像，层格子组成图像，mi为第为第i层格子数。层格子数。当当mimi+1，即上层格子数不少于下层格子数时，称，即上层格子数不少于下层格子数时，称之为之为Ferrers图像，以下列图：图像，以下列图：每一层最少有一个格子。每一层最少有一个格子。绕虚线轴旋转所得图依绕虚线轴旋转所得图依然是然是Ferrers图像。这么图像。这么两个两个Ferrers图像称为一图像称为一对对共轭共轭Ferrers图像。图像。第39页(1)整数整数n拆分成拆分成k个数和拆分数，与数个数和拆分数，与数n拆分成最大拆分成最大数为数为k拆分数相等。拆分数相等。因为整数因为整数n拆分成拆分成k个数和拆分能够用一个个数和拆分能够用一个k行图像表行图像表示。所得示。所得Ferrers图像共轭图像最上面一行有图像共轭图像最上面一行有k个格个格子。比如：子。比如：利用利用Ferrers图像能够得到一些关于整数拆分结果：图像能够得到一些关于整数拆分结果：24=6+6+5+4+3 5个数，最大数为个数，最大数为6 24=5+5+5+4+3+2 6个数，最大数为个数，最大数为5第40页理由和理由和(1)相类似。相类似。所以，拆分成最多不超出所以，拆分成最多不超出m个数和拆分数母函数是：个数和拆分数母函数是：(2)整数整数n拆分成最多不超出拆分成最多不超出m个数和拆分数，与个数和拆分数，与n拆分成最大不超出拆分成最大不超出m拆分数相等。拆分数相等。恰好拆分成恰好拆分成m个数和拆分数母函数为个数和拆分数母函数为第41页(3)整数整数n拆分成互不相同若干奇数和拆分数，与拆分成互不相同若干奇数和拆分数，与n拆分成自共轭拆分成自共轭Ferrers图像拆分数相等。图像拆分数相等。设整数设整数n拆分为拆分为n=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nk+1)，其，其中中n1n2nk。结构一个结构一个Ferrers图像，第一行第一列都是图像，第一行第一列都是n1+1格，格，对应于对应于2n1+1，第二行第二列都是，第二行第二列都是n2+1格，对应于格，对应于 2n2+1，依这类推。，依这类推。这么得到这么得到Ferrers图像一定是自共轭。图像一定是自共轭。反过来，自共轭反过来，自共轭Ferrers图像也能够对应到一些不一图像也能够对应到一些不一样奇数和。样奇数和。第42页比如比如17=9+5+3对应对应Ferrers图像为：图像为：(4)正整数正整数n剖分成不超出剖分成不超出k个数和剖分数，等于将个数和剖分数，等于将n+k剖分成恰好剖分成恰好k个数剖分数。个数剖分数。不超出不超出k层层Ferrers图像每一层加上一个格子，一一图像每一层加上一个格子，一一对应到一个刚好对应到一个刚好k层层Ferrers图像。图像。第43页5.指数型母函数指数型母函数考虑考虑n个元素组成多重集，其中个元素组成多重集，其中a1重复了重复了n1次，次，a2 重重复了复了n2次，次，ak重复了重复了nk次，次，n=n1+n2+nk。从从中取中取r个排列，求不一样排列数。个排列，求不一样排列数。若若r=n，即考虑，即考虑n个元素全排列，则不一样排列数为：个元素全排列，则不一样排列数为：不过对于普通不过对于普通r，情况就比较复杂了。，情况就比较复杂了。第44页876543232543232232369109631)1()23321()1)(1)(1()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxG+=+=+=先看一个详细问题：假设有先看一个详细问题：假设有8个元素，其中个元素，其中a1重复重复3次，次，a2重复重复2次，次，a3重复重复3次。从中取次。从中取r个组合，其组个组合，其组合数为合数为cr，则其对应母函数为：，则其对应母函数为：从从x4系数可知，从这系数可知，从这8个元素中取个元素中取4个组合，不一样个组合，不一样组合数为组合数为10。这这10个组合可从下面展开式中得到：个组合可从下面展开式中得到：第45页 其中其中4次方项表示了全部从次方项表示了全部从8个元素中取个元素中取4个组合方案。个组合方案。比如比如 表示一个表示一个a1三个三个a3组合，组合，表示两个表示两个a1两两个个a3组合，依这类推。组合，依这类推。第46页接下来讨论从这接下来讨论从这8个元素中取个元素中取4个不一样排列总数。个不一样排列总数。以以两个两个a1两个两个a3组合组合为例，不一样排列数为为例，不一样排列数为4!/(2!2!)。一样一个一样一个a1三个三个a3不一样排列数为不一样排列数为4!/(1!3!)。依这类推能够得到不一样排列总数为：依这类推能够得到不一样排列总数为：第47页为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数从右边很轻易能够看出，取从右边很轻易能够看出，取2个排列数为个排列数为9，取，取3个排个排列数为列数为28，取，取4个排列数为个排列数为70依这类推。依这类推。第48页定义定义：对于序列：对于序列a0,a1,a2,，函数，函数称为序列称为序列a0,a1,a2,对应对应指数型母函数指数型母函数。这么，对于一个多重集，其中这么，对于一个多重集，其中a1重复重复n1次，次，a2 重复重复n2次，次，ak重复重复nk次，次，从中取从中取r个排列不一样排列个排列不一样排列数所对应指数型母函数为：数所对应指数型母函数为：第49页例例18 求以下数列指数型母函数：求以下数列指数型母函数：第50页例例19 由由1，2，3，4四个数字组成五位数中，要求数四个数字组成五位数中，要求数1出现次数不超出出现次数不超出2次，但不能不出现；次，但不能不出现；2出现次数不出现次数不超出超出1次；次；3出现次数最多出现次数最多3次，能够不出现；次，能够不出现；4出现出现次数为偶数。求满足上述条件数个数。次数为偶数。求满足上述条件数个数。设满足上述条件设满足上述条件r位数个数为位数个数为cr，则其对应指数型母，则其对应指数型母函数为：函数为：第51页由此可见满足条件由此可见满足条件5位数共位数共215个。个。第52页例例20 求由求由1，3，5，7，9五个数字组成五个数字组成n位数个数，位数个数，要求其中要求其中3，7出现次数为偶数，其它出现次数为偶数，其它1，5，9出现次出现次数不加限制。数不加限制。设满足上述条件设满足上述条件n位数个数为位数个数为cn，则其对应指数型母，则其对应指数型母函数为：函数为：第53页所以所以第54页例例21 7个有区分球放进个有区分球放进4个有标志盒子里，要求个有标志盒子里，要求1，2两个盒子必须有偶数个球，第两个盒子必须有偶数个球，第3个盒子有奇数个球，个盒子有奇数个球，求不一样方案个数。求不一样方案个数。这相当于从这相当于从1234这这4个数中取个数中取7个做允许重复排列，即个做允许重复排列，即每个数字对应于每个球所放盒子序号。每个数字对应于每个球所放盒子序号。这么排列数所对应指数型母函数为：这么排列数所对应指数型母函数为：第55页所以所以第56页例例22 r个有标志球放进个有标志球放进n个不一样盒子里，要求无一个不一样盒子里，要求无一空盒，问有多少种不一样分配方案？空盒，问有多少种不一样分配方案？这相当于从这相当于从1到到n这这n个数字中取个数字中取r个做允许重复排列，个做允许重复排列，即每个数字对应于每个球所放盒子序号。即每个数字对应于每个球所放盒子序号。这么排列数所对应指数型母函数为：这么排列数所对应指数型母函数为：要求无一空盒即相当于要求每个数字最少出现一次。要求无一空盒即相当于要求每个数字最少出现一次。第57页所以所以第58页