1、流流 体体 力力 学学 退 出中国科学文化出版社第1页第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相同原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体流动 气体动力学基础 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章第2页第七章 伯努利方程式及其应用 伯努利方程式及其限定条件 实际流体伯努利方程式 实际流体总流伯努利方程式 相对运动伯努利方程式 伯努利方程式应用 第一节第二节第三节第四节第五节退 出返 回第3页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第一节 伯努利方程式及其限定条件
2、在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式另一个形式，称为葛罗米柯方程式。令U为质量力函数，P为压力函数，使得，而且第4页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第2页页第一节 伯努利方程式及其限定条件同理可得将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到第5页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第3页页第一节 伯努利方程式及其限定条件将各项归并，并用行列式表示（7.1）第6页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第4页页第一节 伯努利方程式及其限定条件式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在普通情况下，不论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，因为数学处理十分困难，求
3、解往往是不可能。仅在一些特殊情况下，欧拉方程式三个偏微分方程式能够变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情况。一、理想流体沿流线流动将欧拉方程式应用到沿流线流动中，则依据流线方程式可知，代入式（5.8）第1式，可得到 等式两边均乘以得到 第7页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第5页页第一节 伯努利方程式及其限定条件经整理可得到下式 即一样可得到y，z轴方向关系式 将三式相加 第8页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第6页页第一节 伯努利方程式及其限定条件因为，所以 于是（7.2）式（7.2）就是沿流线欧拉方程式。假如已知压力和密度关系及其随时间改变规律，以及质
4、量力特征，上式就可进行积分，由此求出速度场。二、无旋运动流场对于无旋流场，有以下特征，第9页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第7页页第一节 伯努利方程式及其限定条件代入式（5.8）第1式，等式两侧均乘以dx，能够得到 一样由式（5.8）第2，3式可得 将上面三式相加，得到 等式两侧均加，且，则有（7.3）第10页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第8页页第一节 伯努利方程式及其限定条件此式与式（7.2）相同，即任何流场流线上各点运动方程式和无旋运动流场中任意点运动方程式是相同，都是能够积分常微分方程式。实际工程问题中经常碰到质量力场为重力场，即X=0，Y=0，Z=g。此时
5、，式（7.2）或式（7.3）成为（7.4）对于稳定流动，则上式成为 式（7.5）为稳定流动、质量力只有重力时，沿流线或无旋流场欧拉方程式。假如流体密度不变，则在稳定流动情况下，式（7.4）能够写成积分形式（7.5）第11页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第9页页第一节 伯努利方程式及其限定条件或 式（7.6）是对于只有重力场作用下稳定流动、理想不可压缩流体沿流线或无旋流场运动方程式积分形式，称为伯努利方程式。此式说明在上述限定条件下，任何点压力能、位能、动能之和为常量。利用葛罗米柯方程式（7.1），能够导得伯努利方程式更广义限定条件。对于稳定流动，式（7.1）变成（7.6）将上式分
6、别乘以dx，dy，dz，相加得到 第12页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第10页页第一节 伯努利方程式及其限定条件即若上式等号右侧为零，则 即对重力场作用下不可压缩流体，于是这就是伯努利方程式。它建立条件是：在重力场作用下，不可压缩理想流体稳定流动，另外还必须符合以下条件：第13页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第11页页第一节 伯努利方程式及其限定条件 要使上述三阶行列式等于零，有以下几个情况，即静止状态（1）（2），即无旋运动，即沿流线，即沿涡线，即螺旋运动（5）（4）（3）第14页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第12页页第一节 伯努利方程式及其限定
7、条件这就是伯努利方程式所必须满足广义限定条件。伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中以力为单位各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件情况下，流场中各点三种能量尽管它们能够相互转换，但其总和是不变。这三种能量统称为机械能。伯努利方程式能够有不一样形式，式（7.6）各项表示单位质量流体能量。如将式（7.6）除以g，则伯努利方程式形式为 式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。为压力水头，z为静水头，为速度水头。（7.6a）第15页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第13页页第一节 伯努利方程式及其
8、限定条件如将式（7.6）乘以，则伯努利方程式以下式 式中各项单位为压力。p称为静压，gz称为位压，称为动压。（7.6b）第16页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第二节 实际流体伯努利方程式 在稳定流动、重力场作用情况下，不可压缩理想流体沿流线伯努利方程式能够写成 对于实际流体，因为有粘性力，便有流动阻力，为了克服这种流动阻力，需要消耗一部分机械能。上式三项机械能之中，位能一项只决定于截面1，2位置z1和z2，是不会改变。动能一项受连续性条件约束，只要流通截面A1，A2不变，也是不会改变。唯一可能改变是压力能，所以，因而使 或者写成（7.7）第17页第七章 伯努利方程式及其应
9、用 退 出返 回第第2页页式中 代表流体由截面1流至截面2所受阻力损失，也就是实际流体流动时损失机械能。这部分损失机械能，转变为热能，增加了流体内能。计算在第九章中讨论。第二节 实际流体伯努利方程式 第18页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 一、缓变流图7.1 缓变流流线 在讨论实际流体总流伯努利方程式之前，需要提出缓变流概念。缓变流也称渐变流，是指流道中流线之间夹角很小，流线趋于平行（图7.1），且流线曲率很小（即曲率半径很大），流线都近似于直线流动。反之则称为急变流。比如在弯头和渐缩、渐扩接管中流动就属于急变流。前者流线曲率很大，后者流线
10、间夹角很大。截面不变直管中流动都可看成是缓变流。缓变流含有以下特征：（1）因为缓变流流线曲率很小，流体向心加速度引发惯性力即离心力也就很小。所以对于缓变流流场，仍可认为质量力便很小，由此仅为重力，即第19页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第2页页，或者，（2）对于稳定缓变流，若把流动方向取为x轴方向，则，。由连续性方程式可知，即，因为是稳定，。将此结果代入纳维斯托克斯方程式流动，可得(7.8)第三节 实际流体总流伯努利方程式 第20页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第3页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 在后二式中质量力，若将后两式分别乘以dy，dz，然后相加得到下式
11、若x取某一定值时，则上式能够写成 积分后得到 此式说明：对缓变流，在流道某一流通截面上，任何点 都相等，为一常数。这和流体静力学中得到结果相同，表明在缓变流中，与流动方向垂直截面上压力分布规律与静止流体压力分布规律是一致。（3）在讨论实际流体时，由式（5.11）可知，因为有剪切变形和存在切应力，因而流场中不一样方向上有不一样法向应力。但对于不可压缩流体缓变流，第21页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第4页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 且、，故，p相当于流体静力学中静压力，它与方向无关，所以对于缓变流，任何点各个方向压力都相同。有了缓变流概念及其特征，下面就能够讨论总流伯努利方
12、程式。w1图7.2 缓变流流道p112dA1z1z2dA2w2p2二、总流伯努利方程式经过一个流道流体总流是由许多流束组成，每个流束流动参量都有差异。但对于总流，可用平均参量来描述其流动特征。第22页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第5页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 由实际流体沿流线（流束）伯努利方程式（7.6），能够在流道缓变流区写出整个流道总流伯努利方程式（图7.2）。因为是在缓变流区，所以质量力只有重力且流道中任意点静压力各个方向均相等。总流伯努利方程式以下式中，和分别为单位时间流过流通截面A1和A2上任一流束为流束中流体体积流量。依据连续性方程可知：。（a）式等号左侧
13、可写成（a）流体质量，对于缓变流，截面1上为常数，所以（b）第23页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第6页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 引进平均速度及动能修正系数，则单位时间内流道流通截面A上经过所以（a）式等号左侧等于（c）流体动能为一样可得（a）式等号右侧第一项为（d）第24页 为单位重量流体流过截面1与2间流道平均能量损失，式（7.9）是描述实际流体流经流道伯努利方程式，1、2叫做计算流通截面。第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第7页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 将式（c）、（d）代入（a）式得（为书写方便，以后用w表示平均流速，省略平均符号）对于不可压
14、缩流体，所以 令，则 式中（7.9）第25页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第8页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 使用式（7.9）时限制条件为：不可压缩、实际流体、稳定流动、缓变流。这就要求在缓变流部分选取计算流通截面。比如图7.3中，只能选取截面1、3、5、6、8、10作为计算流通截面，而截面2、4、7、9不能用作计算流通截面。图7.3 计算流通截面选取12345789106利用式（7.9），能够在取得和以及流量测量数据后，推算流道阻力损失。第26页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第9页页第三节 实际流体总流伯努利方程式 也能够用经验计算方法算出流道阻力损失后，确
15、定流道中一些流动 参量,如 、等。式（7.9）中能量系数 、与流道中流速均匀程度相关。流道中流速越均匀，值越趋近于1，普通工程管道中流速都比较均匀，所以在工程计算中，能够近似认为 。流道伯努利方程式是很主要公式，它配合连续性方程式和动量方程式，能够处理许多工程实际问题。第27页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第四节 相对运动伯努利方程式 在透平机械中，比如水轮机、水泵、离心式风机中，需要研究流体流过叶轮叶道运动规律以及流体与叶轮相互作用。因为叶轮在转动，假如采取绝对静止参考坐标系来研究，则流动当然是不稳定。不过假如把坐标系中心取在叶轮轴心上，并和叶轮一起转动，则当转速不变时
16、，相对于转动坐标而言，能够认为流动是稳定。图7.4（a）是离心式风机或离心泵叶轮一部分，叶轮以恒定角速度旋转。从动坐标系来看，流体是沿着叶片以w速度流入和流出叶轮。现在叶道中沿流线（相对运动流线）ll 取一微元柱体来分析其 l 方向受力情况。设微元柱体长为dl，垂直于dl截面积为dA（图7.4（b）。作用于微元柱体l方向上力有：（1）惯性力，其值为 ；（2）l方向柱体两面压力差，其值为 ；（3）因为叶轮转动而产生离心力在 l 方向分量，其值为在旋转叶轮运动中重力普通可忽略不计，所以作用于微元柱体 l 方向上 力平衡方程式为第28页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第2页页第四节 相对
17、运动伯努利方程式(a)图7.4 透平机械叶轮内流动分析微元体r2l叶片r1rlwuo叶轮odlr2p+dppll(b)单位质量离心力第29页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第3页页第四节 相对运动伯努利方程式 式中 ，将此值代入上式，两边各除以 ，则得将上式沿流线l积分，则得因，所以对同一流线上任意两点，则上式可写成（7.10a）（7.10）式（7.10）或（7.10a）称为相对运动伯努利方程式，是透平机械一个基础方程式。应该指出，作用在微元柱体上力还有垂直于l方向力，它包含哥氏力和离心力在此方向分量以及该方向压差。因为这些力在l方向投影均为零，所以对l方向来说，可不予考虑。第30
18、页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第1页页第五节 伯努利方程式应用 一、毕托管 在管道里沿流线装设迎着流动方向开口细管（图7.5（a），能够用来测量管道中流体总压，这种装置称为总压管，亦称毕托管，毕托管后部与U形管相连。U形管中装有密度较大液体（如水银、水等）。毕托管测量原理可依据伯努利方程式来说明。因为迎着流体毕托管端对流动流体有滞止作用，此处流体流速等于零。流体滞止后，再向毕托管四面绕流。毕托管内流体是静止。列出管道来流截面11和毕托管端处伯努利方程式，因为流线水平、标高相同，流体不可压缩，则有 由上式能够看出，总压管口上感受压力总压。再经过总压管口与3点之间静压平衡关系可知，
19、即是来流第31页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第2页页第五节 伯努利方程式应用(a)图7.5 毕托管(b)11223hhw11234式中，为重液密度，于是 h，均为已知，值为U形管液位差，于是可求出管道中流体数值，称为总压头。假如在22截面处管道四面取静压测孔，。则能够测得该处静压头第32页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第3页页第五节 伯努利方程式应用 因为11，22之间距离较近，能够忽略其间管道阻力，所以 ，这么22截面处总压管感受总压头为 ，其与静压头之差为 ，即来流动压头，由此能够求得管道中流速 。一个本身带有静压测点毕托管称为动压管，如图7.5（b）所表示。
20、1点为总压测点，测得 。2点为静压测点，测得。经过3，4接头，接到同一个U形管上能够直接读出动压头。对静压测孔2位置有一定要求，这是因为管端和管四面流体绕流出现压力分布，只有在一定位置处，其压力才与该处管道主流静压力相同，仅在该位置处方能测得真实静压头。第33页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第4页页第五节 伯努利方程式应用 图7.6 文丘里管1p2w221wp1A1A2l00h1h2z2z1二、文丘里管文丘里管是装在管路中用来测量流体流速或流量惯用仪器。它是一个渐缩又渐扩接管（图7.6）。11截面为收缩前流通截面，22为收缩后最小流通截面，称为喉部截面。这两处流动都属于缓变流。因
21、为文丘里管很短，在列出11到22截面间伯努利方程式时可忽略阻力损失，则第34页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第5页页第五节 伯努利方程式应用 由连续性方程式，有，代入前式得到文丘里管（7.11）喉部流体流速为用静力学关系分析U形测压管中压力，取00为等压面，则 等式两侧除以，移项后得到 代入（7.11）式，注意到，则得到该处流过流量为（7.12）第35页为把液体吸入喷雾器中并以雾状喷出，通常采取图7.7所表示原理。活塞处压力高于喷管出口压力，气流以一定速度喷入大气，为使液体吸入喷管，喷管必须含有喉部，以使喉部截面上压力 低于大气压力 。现考查喉部截面积 与出口截面积间应含有什么样关系。第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第6页页第五节 伯努利方程式应用 pa图7.7 喷雾器01A1lh0p 1iiAi22三、喷雾器原理喉部截面ii与出口截面11之间 活塞截面22与出口截面11之间伯努利方程式为（b）连续性方程为（a）第36页第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回第第7页页第五节 伯努利方程式应用 活塞截面22与喉部截面ii之间伯努利方程式为 由（a）、（b）、（c）三式得到 液体被吸到管中心静压力关系为（c）（d）将代入（d）式得到 当时，喷雾器将有液体喷出。这是从流体力学角度，对喷雾器截面尺寸提出要求。第37页
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