流体输运性质及数学描述方法讲义省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章流体输运性质及运动物理量描述流体输运性质及运动物理量描述第一节第一节流体流体输运性质输运性质第二节第二节流体运动物理量流体运动物理量描述描述第第1页页 当系统各部分物理性质如当系统各部分物理性质如速度速度、温度温度或或密度密度不不均匀时，系统则处于均匀时，系统则处于非平衡态非平衡态。在不受外界干预时，。在不受外界干预时，系统总是要从系统总是要从非平衡态向平衡态过渡非平衡态向平衡态过渡。这种过渡称。这种过渡称为输运过程。流体输运现象是一个为输运过程。流体输运现象是一个自发过程自发过程。从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动以及分子之间碰撞产生，使流体宏观性质趋于一致。以及分子之间碰撞产生，使流体宏观性质趋于一致。输运过程有三种：输运过程有三种：动量输运动量输运、热量输运热量输运、质量质量输运输运。流体这三种输运性质分别对应。流体这三种输运性质分别对应粘滞现象粘滞现象、导导热现象热现象和和扩散现象扩散现象。第一节第一节流体流体输运输运性质性质第第2页页1 1、定义：流体内部质点间或流层间因定义：流体内部质点间或流层间因相对运动相对运动而产生而产生内摩擦力内摩擦力以反抗相对运动性质，称之为动量输运，以反抗相对运动性质，称之为动量输运，或称为或称为粘性（粘度）粘性（粘度）。此内摩擦力称为。此内摩擦力称为粘滞力粘滞力。2 2、表示式、表示式一、动量输运（粘滞现象）一、动量输运（粘滞现象）第第3页页-为为动力黏度动力黏度（黏度系数黏度系数），单位为：），单位为：Pa.s 或或 N.s/m2 或或Kg/(m.s)为速度梯度，单位为：为速度梯度，单位为：第第4页页dyyduu流速为非线性分布流速为非线性分布-为速度梯度为速度梯度 粘性切应力与速度梯度成正比粘性切应力与速度梯度成正比;(2)(2)粘度系数物理意义：粘度系数物理意义：促使流体流动产生单位速度梯促使流体流动产生单位速度梯 度剪应力度剪应力。粘度总是与速度梯度相联络。粘度总是与速度梯度相联络。第第5页页3 3、流体粘性成因、流体粘性成因 流体流体内摩擦内摩擦是两层流体间分子是两层流体间分子内聚力内聚力和和分子动量交换分子动量交换宏观宏观表现。表现。当两层液体作相对运当两层液体作相对运动时，两层液体分子平动时，两层液体分子平均距离加大，分子之间均距离加大，分子之间引力克服它们之间相对引力克服它们之间相对运动。运动。（1）液体）液体第第6页页 气体分子随机运动范围气体分子随机运动范围大，流层之间分子交换频大，流层之间分子交换频繁。繁。两层之间分子动量交换两层之间分子动量交换表现为力作用，称为表现为力作用，称为表观切表观切应力应力。气体内摩擦力即以表气体内摩擦力即以表观切应力为主观切应力为主。普通认为：液体粘性主要取决于分子间引力，气体黏性主要取决于液体粘性主要取决于分子间引力，气体黏性主要取决于分子热运动分子热运动。（2）气体）气体第第7页页运动粘度系数运动粘度系数：4 4、运动粘度、运动粘度单位单位：m2/s常见流体动力黏度和运动黏度常见流体动力黏度和运动黏度(表表2.1)2.1)第第8页页 流体黏度随流体黏度随温度温度和和压力压力而改变，分别称为而改变，分别称为黏温特征黏温特征和和黏压特黏压特征征。黏度普通随温度改变较大，随压力改变不大。黏度普通随温度改变较大，随压力改变不大。液体：分子之间液体：分子之间引力引力是产生粘度主要原因是产生粘度主要原因 温度温度分子间距分子间距分子吸引力分子吸引力内摩擦力内摩擦力粘度粘度 气体：分子热运动引发气体：分子热运动引发动量交换动量交换是产生粘度主要原因。是产生粘度主要原因。温度温度分子热运动分子热运动动量交换动量交换内摩擦力内摩擦力粘度粘度 5 5、影响粘度原因、影响粘度原因第第9页页说明：满足牛顿黏性定律流体称为说明：满足牛顿黏性定律流体称为牛顿流牛顿流体体，如油液和水为牛顿流体；反之称为，如油液和水为牛顿流体；反之称为非非牛顿流体牛顿流体，如奶油、高分子聚合物和胶质，如奶油、高分子聚合物和胶质体等。当体等。当 时称为无黏性流体。时称为无黏性流体。与垂直于流动方向速度梯度与垂直于流动方向速度梯度du/dydu/dy成正比成正比与接触面面积与接触面面积A A成正比成正比与流体种类相关与流体种类相关与接触面上压强与接触面上压强P P 无关无关内摩擦力内摩擦力 F F6 6、流体按照粘度分类、流体按照粘度分类第第10页页例例1 1：汽缸内壁直径：汽缸内壁直径D D=12=12cmcm，活塞直径，活塞直径d d=11.96=11.96cmcm，活塞长度，活塞长度L L=14=14cmcm，活塞往复运动速度为活塞往复运动速度为1 1m/sm/s，润滑油，润滑油 =0.1Pa0.1Pas s。求作用在活塞上粘。求作用在活塞上粘性力。性力。注意：面积、速度梯度取法注意：面积、速度梯度取法dDL第第11页页例例题题 2 2:直直径径为为 150150mmmm圆圆柱柱，固固定定不不动动。内内径径为为151.24151.24mmmm圆圆筒筒，同同心心地地套套在在圆圆柱柱之之外外。二二者者长长度度均均为为250250mmmm。柱柱面面与与筒筒内内壁壁之之间间空空隙隙充充以以甘甘油油。转转动动外外筒筒，每每分分钟钟100100转转，测测得得转转矩矩为为9.0919.091N.mN.m。假假设设空空隙隙中中甘甘油油速速度度按按线性分布线性分布，也不考虑末端效应。计算甘油动力粘度，也不考虑末端效应。计算甘油动力粘度第第12页页例题例题3 3：一底面积为：一底面积为40cm45cm40cm45cm，高为，高为1cm1cm木块，质量木块，质量为为5kg5kg，沿着涂有润滑油斜面等速向下运动。已知，沿着涂有润滑油斜面等速向下运动。已知v v 1m/s,1m/s,=1mm,=1mm,求润滑油动力粘度求润滑油动力粘度13125GvG第第13页页 例题例题4 4：如图所表示，转轴直径：如图所表示，转轴直径=0.36m=0.36m，轴承长度，轴承长度=1m=1m，轴与轴承之，轴与轴承之间缝隙间缝隙0.2mm0.2mm，其中充满动力粘度，其中充满动力粘度0.72 Pa.s0.72 Pa.s油，假如轴转速油，假如轴转速200rpm200rpm，求克服油粘性阻力所消耗功率。，求克服油粘性阻力所消耗功率。第第14页页二、质量输运（扩散现象）二、质量输运（扩散现象）1 1、定义：流体密度分布不均时，流体质量就会从定义：流体密度分布不均时，流体质量就会从高密度区迁移到低高密度区迁移到低密度区密度区，这种现象称为，这种现象称为扩散现象扩散现象。依据组分不一样，扩散现象分为。依据组分不一样，扩散现象分为自自扩散扩散和和互扩散互扩散。2 2、自扩散、自扩散yx单位时间内每单位面积上质量输运单位时间内每单位面积上质量输运为为:-自扩散系数自扩散系数负号表示质量输运方向和密度梯度方负号表示质量输运方向和密度梯度方向相反。向相反。第第15页页2 2、互扩散（、互扩散（FickFick定律）定律）某一个组分某一个组分定常扩散率定常扩散率与其与其密度梯度密度梯度和和截面积截面积成正比，或者成正比，或者单位时间每单位面积质量流量与密度梯度成正比。单位时间每单位面积质量流量与密度梯度成正比。-单位面积质量流量单位面积质量流量-扩散系数，单位：扩散系数，单位：m m2 2/s/s一维定常第一一维定常第一FickFick扩散定律扩散定律第第16页页 在三维空间中，每单位面积质量流量为：在三维空间中，每单位面积质量流量为：-组分组分A A密度梯度密度梯度单位为单位为m m2 2/s/s，其大小依赖于，其大小依赖于压强、温度和组分压强、温度和组分 几个物质几个物质扩散系数扩散系数第第17页页小结：小结：粘性（牛顿粘性定律）：粘性（牛顿粘性定律）：扩散（扩散（FickFick定律）：定律）：热传导（傅立叶定律）：热传导（傅立叶定律）：动量、能量和质量三种输运，从微观角度看是经过分子热运动及分子相对碰撞分子热运动及分子相对碰撞实现，使流体宏观性质趋于一致。输运过程为不可逆不可逆过程，输运现象也只在层流流层流流动动中考虑。第第18页页三、表面张力和毛细现象三、表面张力和毛细现象 1、液体内部与液体表面特征：液体内部质点内部质点之间相互作用表现为压力压力；而界面液体之间相互作用力表现为张力张力。张力引发液面内外出现压力差压力差以及毛细现象毛细现象。第第19页页 2、表面张力现象与机理：当液体与其它流体或固体接触时，在分界面上都产生表面张力，出现一些特殊现象，比如空气中雨滴呈球空气中雨滴呈球状状；液体自由表面好像一个被拉紧了弹性薄膜弹性薄膜等。表面张力形成主要取决于分界面液体分子间吸引力分界面液体分子间吸引力，也称为内聚力内聚力。在液体中，一个分子只有距离它约10-7cm半径范围内才能受到周围分子吸引力作用。在这个范围内液体分子对该分子吸引力各方向相等，处于平衡状态。但在靠近静止液体自由表面、深度小于约小于约10-7cm10-7cm薄表面层内，每个液体分子与周围分第第20页页 子之间吸引力不能到达平衡，而合成一个垂直于自由表面协力。这个协力从自由表面向下作用在该分子上，当分子处于自由表面上时，向下协力到达最大值。表面层内全部液体分子均受有向下吸引力，从而把表面层紧紧把表面层紧紧拉向液体内部拉向液体内部。因为表面层中液体分子都有指向液体内部拉力作用，所以任何液体分子在进入表面层时都必须反抗这种力作用，也就是必须给这些分子以机械功。当自由表面收缩时，在收缩方向上必定有与收缩方向相反作用力，这种力称为表面张力表面张力。第第21页页 表面张力T大小以作用在单位长度上力表示，计算式为：3、表面张力计算：为表面张力系数表面张力系数，描述单位长度截线上表单位长度截线上表面张力面张力，单位是N/m。液体表面张力系数（表液体表面张力系数（表2.62.6，p17p17）饱和水表面张力系数与温度关系（表饱和水表面张力系数与温度关系（表2.72.7，p17p17）第第22页页 惯用液体在惯用液体在20时与空气接触表面张力系数时与空气接触表面张力系数*和空气接触 *和水银本身蒸汽接触第第23页页20时两种介质分界面上表面张力系数时两种介质分界面上表面张力系数第第24页页4、弯曲液面下压强差（表面张力对液体自由表面两表面张力对液体自由表面两侧压强影响侧压强影响）：若自由表面是一个平面，则沿着平面表面张力处于平衡状态，平面表面两侧压强相等；若自由表面是曲面曲面，则表面张力将使曲面两侧产生压强差压强差p1-p2p1-p2，以维持平衡。设在曲表面上取一个边长为ds1和ds2微元矩形双曲面，双曲面曲率半径各为R1和R2，夹角为 和 ，作用在曲面凹面和凸面压强分别为p1和p2，如图所表示。在微元矩形双曲面两对边ds1和ds2上，第第25页页R1R2ds1双曲面曲率半径R2双曲面曲率半径R1双曲面曲率半径夹角R1R1R1R2与边界限正交外向力图1-5 曲表面表面张力和压强第第26页页 表面张力产生一对与边界限正交向外力 和 ，则垂直于曲面协力沿曲面法线方向力平衡方程为 于是得：由上式可知，曲面两侧压强差大小正比于表面张力系数正比于表面张力系数，反比于曲反比于曲表面曲率半径表面曲率半径。第第27页页 5、毛细现象 把细管插入液体内，若液体液体(如水如水)分子间吸引分子间吸引力力(称为内聚力称为内聚力)小于液体分子与固体分子之间吸引力小于液体分子与固体分子之间吸引力，也称为附着力，则液体能够润湿固体润湿固体，液体将在管内上升到一定高度，管内液体表面呈凹面，如图2-1(a)所表示，若液体液体(如水银如水银)内聚力大于液体与固体之间附着力内聚力大于液体与固体之间附着力，则液体不能润湿固体不能润湿固体，液体将在管内下降到一定高度，管内液体表面呈凸面，如图2-1(b)所表示。第第28页页图2-1(a)湿润管壁液体液面上升 (b)不湿润管壁液体液面下降第第29页页液体在细管中能上升或下降现象称为毛细现象毛细现象。液体在细管中上升或下降高度与表面张力相关，能够用简便方法直接求得。如图2-1(a)，密度为液体在润湿管壁表面张力作用下，沿半径为r细管上升到h高度后停顿，到达平衡状态，即表面张力向上分力协力表面张力向上分力协力与升高液柱重量相等与升高液柱重量相等。设液面与固体壁面接触角接触角(液体液体表面切面与固壁表面夹角，在液体内部表面切面与固壁表面夹角，在液体内部)为 ，第第30页页 细管内液体凹表面近似地看作是高度为、半径为R 球冠。则其平衡关系式为：或 由图2-1a可知：第第31页页 代入上面平衡关系式，即得上升高度计算式 （2-1）接触角与球冠液面高度关系：在图2-1（a）中 （2-2a）第第32页页 在图2-1（b）中 而 （2-2b）水与玻璃接触角约为 ，由式（2-2a）得 第第33页页 将上式代入式（2-1），得水在细玻璃管中上升高度为 （2-3）对于很细玻璃管很细玻璃管，水凹表面可近似地看作是一个半球面，则=00，=R=r，于是由式（2-1）可得 (2-4)水银与玻璃接触角约为1400，由式（2-2b）得第第34页页 将上式代入式（2-1），得水银在细玻璃管中下降高度为 （2-5）由式（2-3）和式（2-5）可知，当细管半径越小时，细管半径越小时，h绝对绝对值就越大值就越大。所以，当用内径很细管子作液柱式测压计管子时，会造成较大测量误差。普通来说，对于水，细管内径应大于对于水，细管内径应大于14mm；对于水银，细管内径大于细管内径大于10mm时，此时毛细现象产时，此时毛细现象产生测量误差已很小，无须加以修正生测量误差已很小，无须加以修正。第第35页页 【例例1-3】把一内径为10mm玻璃管插入盛有20水容器中，求水在玻璃管中上升高度。【解解】查得20水密度，表面张力，则由式（2-3）得：第第36页页第二节第二节流体运动物理量描述流体运动物理量描述一、拉格朗日方法一、拉格朗日方法二、欧拉法二、欧拉法三、描述流体运动概念三、描述流体运动概念第第37页页拉格朗日：拉格朗日：法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。1736年年1月月25日日生于意大利西北部都灵，生于意大利西北部都灵，184月月10日卒于巴黎。日卒于巴黎。19岁就在都灵皇家炮兵学校当数学教授。岁就在都灵皇家炮兵学校当数学教授。1766年德国腓特烈大帝向拉格朗日发出年德国腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在邀请说，在“欧洲最大王欧洲最大王”宫廷中应有宫廷中应有“欧洲欧洲最大数学家最大数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了十年之久。在此期间他完成了分析力学分析力学一一书，建立起完整力学体系。书，建立起完整力学体系。1786年，他接收法王路易十六邀请，定年，他接收法王路易十六邀请，定居巴黎，直至逝世。近百余年来，数学领域许居巴黎，直至逝世。近百余年来，数学领域许多新成就都能够直接或间接地溯源于拉格朗日多新成就都能够直接或间接地溯源于拉格朗日工作。工作。第第38页页欧拉欧拉(Euler)：瑞士数学家及自然科学家。瑞士数学家及自然科学家。174月月15日出日出生於瑞士巴塞尔，生於瑞士巴塞尔，1783年年9月月18日於俄国彼日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲教育。教育。13岁时入读巴塞尔大学，岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕岁大学毕业，业，16岁获硕士学位。岁获硕士学位。欧拉是欧拉是18世纪数学界最出色人物之一，他不世纪数学界最出色人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域。他是数学史上最多产数学家，平均每年写出领域。他是数学史上最多产数学家，平均每年写出八百多页论文，还写了大量力学、几何学、变分法八百多页论文，还写了大量力学、几何学、变分法等书本，等书本，无穷小分析引论无穷小分析引论、微分学原理微分学原理、积分学原理积分学原理等都成为数学中经典著作。欧拉对等都成为数学中经典著作。欧拉对数学研究如此广泛，所以在许多数学分支中也可经数学研究如此广泛，所以在许多数学分支中也可经常见到以他名字命名主要常数、公式和定理。常见到以他名字命名主要常数、公式和定理。第第39页页拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法 着着眼眼于于流流体体质质点点，跟跟踪踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着着眼眼于于空空间间点点，研研究究质质点点流流经经空空间间各各固固定定点运动特征点运动特征是描述液体运动是描述液体运动惯用一个方法。惯用一个方法。描述流体运动两种方法描述流体运动两种方法描述流体运动两种方法描述流体运动两种方法:第第40页页一、一、LagrangeLagrange法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：跟踪每个流体质点运动全过程，统计它们在跟踪每个流体质点运动全过程，统计它们在跟踪每个流体质点运动全过程，统计它们在跟踪每个流体质点运动全过程，统计它们在运动过程中各物理量及其改变规律运动过程中各物理量及其改变规律运动过程中各物理量及其改变规律运动过程中各物理量及其改变规律。基本参数：基本参数：基本参数：基本参数：位移位移位移位移流体质点位置坐标：流体质点位置坐标：流体质点位置坐标：流体质点位置坐标：几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：1、对于某个确定流体质点，（、对于某个确定流体质点，（a，b，c）为常数，）为常数，为变量为变量2、t为常数，（为常数，（a，b，c）为变量）为变量某一时刻不一样流体质点位置分布某一时刻不一样流体质点位置分布3、a，b，c为为Lagrange变量变量，不是空间坐标函数，是流体质点标号，不是空间坐标函数，是流体质点标号“跟踪跟踪”方法方法独立变量：独立变量：独立变量：独立变量：（a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,）区分流体质点标志区分流体质点标志区分流体质点标志区分流体质点标志第第41页页1.1.流体质点位置坐标：流体质点位置坐标：流体质点位置坐标：流体质点位置坐标：2.2.速度：速度：速度：速度：3.3.流体质点加速度：流体质点加速度：流体质点加速度：流体质点加速度：质点物理量：质点物理量：质点物理量：质点物理量：流体质点运动方程流体质点运动方程第第42页页 直观性强、物理概念明确、能够描述各质点时变过程直观性强、物理概念明确、能够描述各质点时变过程 数学求解较为困难，普通问题研究中极少采取数学求解较为困难，普通问题研究中极少采取 优缺点优缺点优缺点优缺点：第第43页页二、二、二、二、EulerEuler法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）流体质点和空间点是两个完全不一样概念。流体质点和空间点是两个完全不一样概念。流体质点和空间点是两个完全不一样概念。流体质点和空间点是两个完全不一样概念。uu 独立变量：独立变量：独立变量：独立变量：uu 基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：考查空间每一点上物理量及其改变。考查空间每一点上物理量及其改变。考查空间每一点上物理量及其改变。考查空间每一点上物理量及其改变。空间一点上物理量是指占据该空间点流体质点物理量。空间一点上物理量是指占据该空间点流体质点物理量。空间一点上物理量是指占据该空间点流体质点物理量。空间一点上物理量是指占据该空间点流体质点物理量。“站岗站岗”方法方法第第44页页二、二、二、二、EulerEuler法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）uu 流体质点运动加速度流体质点运动加速度流体质点运动加速度流体质点运动加速度矢量形式矢量形式第第45页页局部加速度局部加速度质点加速度质点加速度质点加速度质点加速度：位变加速度位变加速度第一部分：是因为某一空间点上流体质点速度随时第一部分：是因为某一空间点上流体质点速度随时间改变而产生，称为间改变而产生，称为局部加速度局部加速度第二部分：是某一瞬时因为流体质点速度随空间点第二部分：是某一瞬时因为流体质点速度随空间点改变而产生，称为改变而产生，称为位变加速度位变加速度第第46页页密度质点导数密度质点导数 压强质点导数压强质点导数 括弧内能够代表描述流体运动任一物理量，如密度、温括弧内能够代表描述流体运动任一物理量，如密度、温度、压强，能够是标量，也能够是矢量。度、压强，能够是标量，也能够是矢量。全导数全导数局部导数局部导数位变导数位变导数第第47页页3.在工程实际中，在工程实际中，并不关心每一质点来龙去脉并不关心每一质点来龙去脉。基于上述三点原因，。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采取欧拉法在流体力学研究中广泛被采取。欧拉法优越性：欧拉法优越性：1.利用欧拉法得到是利用欧拉法得到是场场，便于采取，便于采取场论场论这一数学工具来研究。这一数学工具来研究。2.采取欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶采取欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方导数，所得运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解轻易一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解轻易。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学一些问题中方便。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学一些问题中方便。第第48页页 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法分别描述有限质点轨迹分别描述有限质点轨迹 同时描述全部质点瞬时参数同时描述全部质点瞬时参数表示式复杂表示式复杂 表示式简单表示式简单不能直接反应参数空间分布不能直接反应参数空间分布 直接反应参数空间分布直接反应参数空间分布拉格朗日观点是主要拉格朗日观点是主要 流体力学最惯用解析方法流体力学最惯用解析方法两种方法比较两种方法比较:第第49页页 在任意固定空间点处，全部物理量均不随在任意固定空间点处，全部物理量均不随时间而改变流动。即有时间而改变流动。即有 在流场某点处有物理量随时间改变在流场某点处有物理量随时间改变.三、描述流体运动概念三、描述流体运动概念uu 定常流动定常流动定常流动定常流动uu 非定常流动非定常流动非定常流动非定常流动第第50页页1、迹线：流体质点在空间运动所经过轨迹。拉格朗日法迹线微分方程独立变独立变量量第第51页页 迹线是流场中某一质点运动轨迹某一质点运动轨迹。比如在流动水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流路径就是某一质点运动轨迹，也就是迹线。流场中全部流体质点都有自己迹线，迹线是流体运动一个几何表示，能够用它来直观形象地分析流体运动，清楚地看清楚地看出质点运动情况出质点运动情况。迹线研究是属于拉格朗日法拉格朗日法内容，迹线表示同一流体质点在不一样时刻所形成曲线同一流体质点在不一样时刻所形成曲线.第第52页页 【例例1】已知用拉格朗日变量表示速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a，y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点运动规律；（3）质点加速度。【解解】已知：将上式积分，得 上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量函数。利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2第第53页页 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)流体指点加速度为：第第54页页 【例例2】在任意时刻，流体质点位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向分量为多少？【解解】第第55页页 【例例2】在任意时刻，流体质点位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向分量为多少？【解解】由已知条件得到：深入求导，得到第第56页页 流线是某一瞬时在流场中所作一条曲线，在这条曲线上各这条曲线上各流体质点速度方向都与该曲线相切流体质点速度方向都与该曲线相切，所以流线是同一时刻，不同一时刻，不一样流体质点所组成曲线一样流体质点所组成曲线，如图3-3所表示。流线能够形象地给出流场流动状态。经过流线，能够清楚地看出某时刻流场中各点速度方向，由流线密集程度，也能够判定出速度大小。流线引入是欧拉法研究特点流线引入是欧拉法研究特点。比如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点流动方向线就是流线。a、流线基本特征 (1)在定常流动时，因为流场中各流体质点速度不随2、流线：第第57页页图 3-3 流线概念第第58页页 时间改变，所以经过同一点流线形状一直保持不变经过同一点流线形状一直保持不变，所以流线和迹线相重合。而在非定常流动时，普通说来流线要随时间改变，故流线和迹线不相重合。(2)经过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，普通情况流线不能相交和分支流线不能相交和分支。不然在同一空间点上流体质点将同时有几个不一样流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大那些点，只有在流场中速度为零或无穷大那些点，流线能够相交流线能够相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不一样流动方向问题。速度为零点称驻点驻点，速度为无穷大点称为奇点奇点。(3)流线不能突然折转，是一条光滑连续曲线是一条光滑连续曲线。(4)流线密集地方，表示流场中该处流速较大流线密集地方，表示流场中该处流速较大，稀疏地方，表示该处流速较小。第第59页页 b、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点速度矢量 ，经过该点流线上微元线段 。由流线定义知，空间点上流体流体质点速度与流线相切质点速度与流线相切。依据矢量分析，这两个矢量矢量积应等于零，即 即 上式又可写成第第60页页 上式就是流线微分方程流线微分方程，式中时间t是个参变量。【例例3】有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求其流线方程。【解解】因为w=0，所以是二维流动，二维流动流线方程为 将两个分速度代入流线微分方程，得到 即 xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心同心圆。第第61页页试求：试求：（）时刻流体质点分布规律；（）时刻流体质点分布规律；（），时这个质点运动规律；（），时这个质点运动规律；（）流体质点加速度；（）流体质点加速度；例例 4 4 已知拉格朗日变数下速度表示式为：已知拉格朗日变数下速度表示式为：v vx x=(a+1)e=(a+1)et t-1 v-1 vy y=(b+1)e=(b+1)et t-1-1、为时流体质点所在位置坐标。、为时流体质点所在位置坐标。第第62页页注意到在注意到在t=0t=0时，时，x=ax=a、y=by=b，即有，即有解解（1 1）C C1 1=-1 C=-1 C2 2=-1=-1深入求得流体质点普通运动规律为深入求得流体质点普通运动规律为:第第63页页t=2t=2时流体质点分布规律时流体质点分布规律:（2 2）a=1a=1，b=2b=2特定流体质点，其运动规律为：特定流体质点，其运动规律为：（）质点加速度为（）质点加速度为:第第64页页例例 5:5:试求点(1,2,3)处流体加速度三个分量解解:第第65页页小结：小结：流流线线是是流流速速场场矢矢量量线线，是是某某瞬瞬时时对对应应流流场场中中一一条条曲曲线线，该该瞬瞬时时位位于于流流线线上上液液体体质质点点之之速速度度矢矢量量都都和和流流线线相相切切，是是与与欧欧拉拉法法观观点相对应概念。点相对应概念。迹线迹线是是流体质点流体质点运动运动轨迹线轨迹线，与与拉格朗日拉格朗日观点相对应概念观点相对应概念迹线和流线最基本差异是：迹线和流线最基本差异是：迹迹线线是是同同一一流流体体质质点点在在不不一一样样时时刻刻位位移移曲曲线线(与与拉拉格格朗朗日日观观点点对对应应);流流线线是是同同一一时时刻刻、不不一一样样流流体体质质点点速速度度矢矢量量与与之之相相切切曲曲线线(与与欧欧拉观点相对应拉观点相对应)。第第66页页3、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线封闭曲线一条不是流线封闭曲线，经过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管流管。如图3-4所表示。因为流管是由流线组成，所以它含有流线一切特征，流体质点不流体质点不能穿过流管流入或流出能穿过流管流入或流出(因为流线不能相交因为流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管一束流线簇，称为流束流束。当流束横截面积趋近于零时，则流束到达它极限当流束横截面积趋近于零时，则流束到达它极限流线流线。在流束中与各流线相垂直横截面称为有效截面有效截面。流线相互平流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图3-5所表示。第第67页页图 3-4 流管和流束图 3-5 有效截面第第68页页 有效截面面积为无限小流束和流管，称为微元流束微元流束和微元流管微元流管。在每一个微元流束有效截面上，各点速度可认为是相同。无数微元流束总和称为总流总流。自然界和工程中所碰到管流管流或渠流渠流都是总流。依据总流边界情况，能够把总流流动分为三把总流流动分为三类类：（1）有压流动 总流全部边界受固体边界约束全部边界受固体边界约束，即流体充满流道，如压力水管中流动。（2）无压流动 总流边界一部分受固体边界约束总流边界一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中流动。（3）射流 总流全部边界均无固体边界约束总流全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口流动。第第69页页