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2019年高考全国卷3文科数学及答案(精校版)

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷 3 文科数学

考试时间： 2019 年 6 月 7 日 15： 00—— 17： 00

使用省份：云南、广西、贵州、四川、西藏

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 , 满分 150 分，考试时间 120 分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

（选择题，共
60 分）

一、选择题：本题共

12 小题，每小题
5 分，共 60
分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1 ．已知集合 A
{
1,0,1,2}， B { x x2
1} ，则 AI
B
（
）

A． 1,0,1

B．
0,1

C．
1,1

D．
0,1,2

2．若 z(1
i) 2i ，则 z=（
）

A． 1
i

B． 1+i

C． 1 i

D． 1+i

3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（

）

A ． 1

B． 1

C． 1

D． 1

6

4

3

2

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著
.

某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了

100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》

的学生共有
90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有
80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共

有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（

）

A．0.5

B．0.6

C． 0.7

D．0.8

5．函数 f ( x) 2sin x
sin2 x 在 [0 ，
π

）

2 ] 的零点个数为（

A．2

B．3

C． 4

D．5

6．已知各项均为正数的等比数列
{ a } 的前 4 项和为
15，且 a =3a +4a ，则 a =（
）

n

5
31
3

A． 16

B． 8

C． 4

D． 2

7．已知曲线 y aex
x ln x 在点（ 1， ae）处的切线方程为
y=2x+b，则（
．
）
，
b 1

． a=
， b

．
a= ，
b

．
a= -1
， b
a= -1

A
e =-1

B
e
=1

C
e

=1
D
e

8．如图，点 N为正方形 ABCD的中心，△ ECD为正三角形，平面
ECD⊥平面 ABCD， M是线段 ED的中点，则

（

）

A． BM=EN，且直线 BM、 EN 是相交直线

B．

≠ ，且直线

，

是相交直线

BM EN

BM EN

C． BM=EN，且直线
BM、 EN 是异面直线

D．

≠ ，且直线

，

是异面直线

BM EN

BM EN

为 0.01
，则输出 s 的值等于

9 ．执行下边的程序框图，如果输入的

（

）

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

.

.

A. 2
1

B.
1

C.
1
D.
2
1

2

2
27

24

25

26

10．已知
F
是双曲线
： x2
y2
的一个焦点，点
P在 C上， O为坐标原点，若
OP = OF ，则 △OPF

C

1

4

5

的面积为（

）

A． 3

B． 5

C． 7
D． 9

2

2

2

2

x

y⋯6,

(x , y ) D , 2x⋯ y； 命 题

11．记不等式组

y
表 示 的 平 面 区 域 为 D. 命 题 p :

2x

0

q :

(x , y )
D , 2x,
y. 下1面给出了四个命题

① p q

②
p q
③ p
q
④
p
q

这四个命题中，所有真命题的编号是（
）

A．①③

B．①②

C．②③
D．③④

12．设 f

x 是定义域为 R 的偶函数，且在
0,
单调递减，则（
）

1

3

2

A． f

（log 3
）＞ f
（ 2
2 ）＞ f （ 2
3 ）

4

2

3

1

B． f

（log 3
）＞ f
（ 2
3 ）＞ f （ 2
2 ）

4

3 2

C． f （ 2 2 ）＞ f （ 2 3 ）＞ f

2 3

D． f （ 2 3 ）＞ f （ 2 2 ）＞ f


（ log

（ log


3

3

1 ）

4
1 ）

4

第Ⅱ卷

（非选择题，共 90 分）

二、填空题：本题共 4 小题，每小题
5 分，共 20 分。
13．已知向量 a
(2,2), b ( 8,6)
，则 cos
a, b
___________.
14．记 S 为等差数列 { a } 的前 n 项和，若 a3
5, a7
13 ，则 S10 ___________.
n
n

.

.

15．设 F1，F2 为椭圆 C:
x2
+ y2
1 的两个焦点， M为 C上一点且在第一象限
. 若 △MF1F2 为等腰三角形，

36

20

则 M的坐标为 ___________.

16．学生到工厂劳动实践，利用

3D 打印技术制作模型 . 如图，该模型为长方体
ABCD A1B1C1 D1 挖去四棱
锥 O- EFGH后所得的几何体，其中
O 为长方体的中心，
E， F， G， H 分别为所在棱的中点，
AB = BC =6cm
, AA1
=4cm，3D 打印所用原料密度为 0.9
g/cm
3，不考虑打印损耗，制作该模型所需
原料的质量为 ___________g.

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17．（ 12 分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机分成 A， B两组，每组

100只，其中 A组小鼠给服甲离子溶液， B组小鼠给服乙离子溶液 . 每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔

浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比 . 根据试验数据分别得

到如下直方图：

记 C为事件： “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5 ”，根据直方图得到 P（ C）的估计值为 0.70.

（ 1）求乙离子残留百分比直方图中a， b的值；

（ 2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

18．（ 12 分）
△ABC 的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 asin A C bsin A ．
2

（ 1）求 B；

（ 2）若 △ABC为锐角三角形，且 c=1，求 △ABC面积的取值范围．

19．（ 12 分）

图 1 是由矩形 ADEB、 Rt△ ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中
°

AB=1， BE=BF=2， ∠FBC=60 .

将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图 2.

（ 1）证明图
2 中的 A，C， G， D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

（ 2）求图 2
中的四边形 ACGD的面积 .

.

.

20．（ 12 分）

已知函数 f ( x) 2x3

ax 2
2 .

（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；

（ 2）当 0<a<3时，记 f ( x) 在区间 [0 ，1] 的最大值为 M，最小值为 m，求 M m 的取值范围 .

21．（ 12 分）

已知曲线 ： = x2
， 为直线
=
1

D

C

A B.

C y

D

y
上的动点，过
作
的两条切线，切点分别为

2

，

（ 1）证明：直线

2

过定点：

AB

（ 2）若以 E(0 ， 5
) 为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求该圆的方程 .

2

（二）选考题：共
10 分。请考生在第
22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程
]（10 分）

如图，在极坐标系

Ox 中，
A(2,0) ， B( 2,
)，C(
2,
)， D(2, ) ，弧 AB， BC ，CD 所在圆

4

4

的圆心分别是 (1,0)
， (1, )，(1,
) ，曲线 M1
是弧 AB ，曲线 M2
是弧 BC ，曲线 M3是弧 CD .

2

（ 1）分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；

（2）曲线 M 由 M1， M2 ， M3构成，若点 P在 M上，且 |OP |
3 ，求 P的极坐标 .

23． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10
分）

设 x, y, z R ，且 x
y z 1 .

（1）求 ( x 1)2
( y
1)2
( z
1)2 的最小值；

（2）若 ( x 2) 2
( y
1)2
( z
a)21
成立，证明： a
3 或 a 1 .

3

.

.

2019 年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷
3 文科数学·参考答案

一、选择题

1．A2． D
3．D4．C
5．B6．C7． D
8． B
9． C10． B 11． A 12．C

二、填空题

13．
2
14． 100
15． (3,
15)
16．118.8

10

三、解答题

17．解：（ 1）由已知得 0.70= a+0.20+0.15 ，故 a=0.35 ．

b=1–0.05 –0.15 –0.70=0.10 ．

（ 2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3 ×0.20+4 ×0.30+5 ×0.20+6 ×0.10+7 ×0.05=4.05 ．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4 ×0.10+5 ×0.15+6 ×0.35+7 ×0.20+8 ×0.15=6.00 ．
18．解：（ 1）由题设及正弦定理得
sin Asin A C
sin B sin A ．

0，所以 sin A
C

2

因为 sin A
sin B ．

2

由 A
B
C 180 ，可得 sin A
C
cos B ，故 cos B
2sin B cos B ．

因为 cos B
0 ，故 sin B
1
2

2

2

2
2

，因此 B=60°．

2

2
2

（ 2）由题设及（ 1）知 △ ABC 的面积 S△ABC

3 a ．

4

由正弦定理得 a

c sin A
sin 120
C

3
1
．

sin C

sin C

2tan C
2

由于 △ABC 为锐角三角形， 故 0°<A<90°，0°<C<90°.由（ 1）知 A+C=120°，所以 30°<C<90°，故 1
a 2 ，

2

从而
3
S△ ABC
3 ．

8

2

因此， △ ABC 面积的取值范围是
3 ,
3
．

8

2

19．解：（ 1）由已知得 AD BE，CG BE，所以 AD
CG，故 AD，CG确定一个平面，从而
A， C，G， D四点共面．

由已知得 AB BE，AB BC，故 AB
平面 BCGE．

又因为 AB
平面 ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE．

（ 2）取 CG的中点 M，连结 EM， DM.

因为 AB// DE， AB
平面 BCGE，所以 DE
平面 BCGE，故 DE
CG.

由已知，四边形

是菱形，且∠

=60°得
EM
，故

平面
DEM.

BCGE

EBC

CG
CG

因此 DM CG.

在 Rt△ DEM中， DE=1， EM=
3 ，故 DM=2.

所以四边形

的面积为 4.

ACGD

.

.

20. 解：（1） f (x)
6x2
2ax 2x(3x
a) ．

令 f ( x)

a

0 ，得 x=0 或 x.

3

若 a>0 ， 则 当 x

(
, 0 )
a ,

时 ， f ( x )
0； 当 x

0, a

3

3

(
,0),

a ,
单调递增，在
0, a
单调递减；

3

3

若 a=0， f ( x) 在 (

,

) 单调递增；

若 <0，则当
x

,
a
( 0,

时 ，
f ( x)
0
； 当
x

a
,0

a

3

)

3

, a
,(0,
) 单调递增，在
a ,0
单调递减 .

3

3

（ 2）当
0

a
3 时，由（ 1）知， f ( x) 在 0, a 单调递减，在
a ,1

3

3

的最小值为 f
a

a3
2 ，最大值为
f (0)=2 或 f (1)=4
a . 于是

3

27

m
a3

2 ， M

4
a,0
a
2,

27

2,2 a
3.

2
a
a3
a
2,

,0

所以 M

m

27

a3

,2
a
3.

27

a3

当 0
a

2
时，可知
2

m 的取值范围是

a
单调递减，所以 M

27

当 2
a

3 时， a3
单调递减，所以
M
m 的取值范围是 [
8
,1) .

27

27

综上， M

m 的取值范围是 [ 8 , 2) .

27

21．解：（ 1）设 D
t,

1
,
A x1, y1
，则 x12

2 y1 .

2

y1
1

由于 y'

x ，所以切线 DA的斜率为
x1

2
x1 .

，故

x1
t

整理得 2 tx1
2 y1 +1=0.

设 B x2, y2
，同理可得 2tx2
2 y2 +1=0 .



时 ， f (x ) 0． 故 f ( x) 在

时 ， f (x ) 0． 故 f ( x) 在

单调递增，所以 f (x) 在 [0,1]

8 , 2 .
27

.

.

故直线

的方程为
2tx
2 y
1
0
.

AB

所以直线 AB过定点 (0, 1) .

2

1

（ 2）由（ 1）得直线 AB的方程为
y

.

tx

2

y

tx
1

2
，可得 x2

由

x2
2tx

1

0 .

y

2

于是 x1
x2

2t, y1
y2
t
x1
x2
1
2t2
1 .

设 M为线段 AB的中点，则 M

t ,t 2
1 .

2

由于 EM
AB ，而
EM

t, t
2
2
，AB 与向量 (1, t ) 平行，所以
t
t
2
2 t 0 .
解得 t
或
t
1.

=0

5
2

当 t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为
x2
y

4 ；

2

2

当 t

1时， |EM |
2 ，所求圆的方程为
x2

y
5
2 .

2

22. 解：（
1 ）由题设可得，弧

AB, BC, CD 所在圆的极坐标方程分别为

2cos
，
2sin
，

2cos

.

所以 M1
的极坐标方程为

2cos

0

π ， M 2 的极坐标方程为

2sin
π

3π ，

4

4

4

M 3 的极坐标方程为

2cos

3π
π .

4

（ 2）设 P(
,
) ，由题设及（
1）知

若 0

π

3 ，解得
π

，则 2cos

；

4

6

若
π

3π

3 ，解得
π

2π

4

4
，则 2sin

3
或

；

3

若
3π

π，则

2cos

3 ，解得
5π

4

6
.

综上， P的极坐标为

3, π 或
3, π 或

3, 2π 或
3, 5π .

6

3

3

6

23．解：（ 1）由于 [( x

1)
( y

1)
( z 1)]2

( x
1)2
( y
1)2
( z
1)2

2[( x
1)( y
1)
( y

1)( z
1) ( z

1)(x
1)]

3 ( x 1)2
( y 1)2
(z 1)2 ，

故由已知得 ( x
1)2

( y
1)2

( z

1)24
，

5 ， y

1

1

3

当且仅当 x=

， z

时等号成立．

3

3

3

4

所以 ( x
1)2
( y 1)2
( z
1)2 的最小值为
.

3

.

.

（ 2）由于

[( x
2) ( y
1)
( z

a)] 2

( x
2) 2
( y 1)2
( z a)2
2[( x
2)( y 1)
( y
1)( z a) (z a)( x 2)]

3 ( x 2) 2
( y
1)2
( z
a)2 ，

故由已知 ( x
2)2
( y

1)2
( z
a)2
(2
a)2
，

3

当且仅当 x
4 a

1
a

2a
2

3
， y
， z
3
时等号成立．

3

a)2

因此 ( x 2) 2
( y
1)2
( z
a)2 的最小值为 (2
．

3

由题设知 (2
a)2
1 ，解得 a
3 或 a
1 ．

3
3

单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善

教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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