高中数学必修5第一单元测试卷1(含答案)学习资料.doc

高中数学必修5第一单元测试卷1(含答案)

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《解三角形》测试题
一、选择题：
1．(2014·沈阳二中期中)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinBcosC＋csinB·cosA＝b，且a>b，则∠B＝(　　)
A．　 B． C． 　D．
[答案]　A
[解析]　因为asinBcosC＋csinBcosA＝b，
所以sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，
即sin(A＋C)＝，a>b，所以A＋C＝，B＝，故选A．
2．(文)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC中，如果sinA＝sinC，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．4　　　B．1　　　C．　　D．2
[答案]　C
[解析]　据正弦定理将角化边得a＝c，再由余弦定理得c2＋(c)2－2c2cos30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝×2×2×sin30°＝.
3．(文)(2013·合肥二检)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若<cosA，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形　D．等边三角形
[答案]　A
[解析]　依题意得<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A．
4.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．－1　 D．
[答案]　B
[解析]　解法1：由正弦定理＝得，＝，
∴sinB＝，故B＝30°或150°.
由a>b得A>B，∴B＝30°.
故C＝90°，由勾股定理得c＝2，选B．
解法2：由余弦定理知，3＝c2＋1－2ccos，
即c2－c－2＝0，∴c＝2或－1(舍去)．
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B.
C．2 D．1
[解析]　由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，
即＝×1×sinB，解得sinB＝.
∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1.
此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；
当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．故选B.
[答案]　B
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，∠B＝，∠C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
[解析]　∠A＝π－(∠B＋∠C)＝π－＝，
由正弦定理得＝，
则a＝＝＝＋，
∴S△ABC＝absinC＝×2×(＋)×＝＋1.
答案：B
7．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝＞0，所以∠A为锐角，又因为a＞b＞c，所以∠A为最大角，所以角A的取值范围是.
[答案]　C
8．(文)(2013·东北三省四市二联)若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是(　　)
A．(1，)　 B．(，)
C．(，2)　 D．(，2)
[答案]　C
[解析]　解法一：若满足条件的三角形有两个，则＝sinC<sinA<1，又因为＝＝2，故BC＝2sinA，
所以<BC<2，故选C．
解法二：由条件知，BCsin<<BC，∴<BC<2.
9．(2014·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的取值范围是(　　)
A．(0，]　B．(0，] C．[，π)　 D．[，π)
[答案]　A
[解析]　由＋≥1得：b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得：b2＋c2－a2≥bc ，同除以2bc得，≥，即cosA≥，因为0<A<π，所以0<A ≤，故选A．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是(　　)
A．1 B.
C. D．3
[解析]　由csinA＝acosC，
所以sinCsinA＝sinAcosC，即sinC＝cosC，
所以tanC＝，C＝，A＝－B，
所以sinA＋sinB＝sin＋sinB
＝sin，
∵0<B<，∴<B＋<，∴当B＋＝，
即B＝时，sinA＋sinB的最大值为.故选C.
[答案]　C
二、填空题
11．(文)(2014·河南名校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
[答案]　
[解析]　∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°，∴ab＝.
12．(文)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，则＋＝________.
[答案]　1
[解析]　∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，
∴＋＝1.
13.(理)(2014·吉林九校联合体联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，AB边上的高为，则AC＋BC＝________.
[答案]　
[解析]　由条件××＝AC·BC·sin60°，
∴AC·BC＝，
由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC·cos60°，
∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC，
∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝3＋3AC·BC＝11，∴AC＋BC＝.
14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝__________.
[解析]　∵3sinA＝5sinB，
∴3a＝5b.①
又b＋c＝2a，②
∴由①②可得，a＝b，c＝b，
∴cosC＝＝
＝－.
∴∠C＝π.
[答案]　π
三、解答题
15． (2014·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B．
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)的值．
[解析]　(1)因为A＝2B，
所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
因为b＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0<A<π，所以sinA＝＝＝，
故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin
＝×＋(－)×＝.
16.(理)(2014·浙江理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B，
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，
即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)，
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：＝，
又∵c＝，sinA＝.∴a＝.
∴S△ABC＝acsinB＝.
17.

如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？
[解析]　设到C点甲船遇上乙船，
则AC＝BC，B＝120°，
由正弦定理，知＝，
即＝，sin∠CAB＝.又∠CAB为锐角，
∴∠CAB＝30°.
又C＝60°－30°＝30°，∴BC＝AB＝10，
又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，
∴AC＝10(海里)，
因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了10海里．

18．已知a＝(2cosx＋2sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.
(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)＝3，·＝，且a＋c＝3＋，求边长b.
解：(1)由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，所以f(x)＝2sin(2x＋)＋1，
又T＝＝＝π，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由f(B)＝3得2sin(2B＋)＋1＝3，解得B＝.
又由·＝知accosB＝，所以ac＝3.
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝(3＋)2－2×3－2×3×＝3，所以b＝.

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