三角恒等变换与解三角形-高考理科数学课时分层训练题练习题教学文案.doc

三角恒等变换与解三角形-高考理科数学课时分层训练题练习题

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（八） 三角恒等变换与解三角形

1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C．5 D．－5
解析：选A　由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝.
2．(2018届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan＝(　　)
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选A　由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，
∴tan＝＝.
3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，则sin A＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵＝，即＝，又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，∴sin A＝.
4．(2017·惠州模拟)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选C　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，∴当t＝时，函数取得最大值.
5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－＝－＝－.
6．(2017·长沙模拟)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为(　　)
A．6sin＋3 B．6sin＋3
C．2sin＋3 D．2sin＋3
解析：选C　设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin，于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.
7．(2017·福州模拟)已知m＝，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选D　设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，
则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，
因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，
所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，
即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，
即2cos Asin B＝sin Acos B，
所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2.
8．(2017·云南模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　　)
A. B．3
C. D．6
解析：选B　由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，
得b2＝2ac. ①
又B＝，所以a2＋c2＝b2. ②
联立①②解得a＝c＝，
所以S＝××＝3.
9．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈.若f(x1)＜f(x2)，则一定有(　　)
A．x1＜x2 B．x1＞x2
C．x＜x D．x＞x
解析：选D　f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos 4x＋.
因为4x∈[－π，π]，
所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，
由f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)，
所以|x1|＞|x2|，即x＞x.
10．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
11．(2017·贵阳监测)已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选D　∵sin＋sin α＝，
∴sin cos α＋cos sin α＋sin α＝，
∴sin α＋cos α＝，
即sin α＋cos α＝sin＝，
故sin＝－sin＝－.
12．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，
再由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0.
则cos A＝>0，
∵0<A<π，∴0<A<.
又a为最大边，∴A>.
因此得角A的取值范围是.
13．(2017·南京模拟)若sin＝，则cos＝________.
解析：因为＋＝，所以cos＝cos＝sin＝.
答案：
14．(2017·长沙模拟)化简：＝________.
解析：＝
＝＝4sin α.
答案：4sin α
15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tan A＝________.
解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，∴c＝b，cos A＝＝＝，∴sin A＝＝＝，∴tan A ＝＝.
答案：
16.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°.
在△ABD中，由正弦定理可得＝，
即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)
＝25(－1)．
在△BCD中，∠DCB＝90°＋θ，
所以＝，
即＝，
解得cos θ＝－1.
答案：－1

1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈，则cos 2θ＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　法一：由tan θ＝2，且θ∈，
可得sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cos2θ＝，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.
法二：因为tan θ＝2，且θ∈，所以cos 2θ＝＝＝＝－.
2．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰三角形 D．不能确定
解析：选B　由已知并结合正弦定理得，·＝，即＝，∴sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　在△ABC中，由正弦定理化简已知的等式得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，所以sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，所以cos A＝＝＝≥＝(当且仅当c2＝3a2，即c＝a时取等号)，因为A为△ABC的内角，且y＝cos x在(0，π)上是减函数，所以0＜A≤，故角A的取值范围是.
4．(2017·云南统一检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcos C
＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：选A　由a＝bcos C＋csin B及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，得sin Ccos B＝sin Csin B，又sin C≠0，所以tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.
5．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________.
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；
由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，
所以sin 2α＝.
答案：
6．已知△ABC中，AB＋AC＝6，BC＝4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为________．
解析：AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，
且AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即AC2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADC，
且(6－AC)2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADB，
∵∠ADB＝π－∠ADC，
∴AC2＋(6－AC)2＝2AD2＋8，
∴AD2＝＝，
当AC＝2时，AD取最小值，
此时cos∠ACB＝＝，
∴sin∠ACB＝，
∴△ABC的面积S＝AC·BC·sin∠ACB＝.
答案：

1．在外接圆半径为的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则b＋c的最大值是(　　)
A．1 B.
C．3 D.
解析：选A　根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝－，A＝120°.因为△ABC外接圆半径为，所以由正弦定理得b＋c＝sin B·2R＋sin C·2R＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋cos B＝sin(B＋60°)，故当B＝30°时，b＋c取得最大值1.
2．(2018届高三·武汉调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsin C，则tan A＋tan B＋tan C的最小值是(　　)
A．4 B．3
C．8 D．6
解析：选C　由a＝2bsin C得sin A＝2sin Bsin C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
即tan B＋tan C＝2tan Btan C.
又三角形中的三角恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
∴tan Btan C＝，
∴tan Atan Btan C＝tan A·，
令tan A－2＝t，
得tan Atan Btan C＝＝t＋＋4≥8，
当且仅当t＝，即t＝2，tan A＝4时，取等号．
3．(2017·成都模拟)已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________.
解析：因为S△ABC＝AC·BC·sin∠BCA，
即＝×××sin∠BCA，
所以sin∠BCA＝.
因为∠BAC＞∠BDC＝，
所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.
在△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝2＋6－2×××＝2，
所以AB＝，所以∠ABC＝，
在△BCD中，＝，
即＝，解得CD＝.
答案：

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